Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 74
Текст из файла (страница 74)
рис. 126) становятся равными, т. е. количество жидкости, протекающей через площадку высотой оо со скоростью внешк него потока, равно тому количеству л а жидкости, на которое уменьшился д» расход через пограничный слой. д Во внешнем потенциальном потоке, как следует из первого уравнеРис. 126 ния гидромеханики идеального газа, выполняется соотношение: аи аи 1 ар — + и — = — —. д1 дк р дк' — а — = р ) — бу -1- р — ~ (3с(у, др Гди ди 1' а. — о За1 дк,~ о о в уравнение (3.4).
Тогда, учитывая, что по определению напря жение трения на стенке --'Ы о (3.7) будем иметь: аи, аГ Г,„„„(7 Г „„ о о Г ди — Р— с(ф = — с о д Поскольку величина давления поперек пограничного слоя не изменяется и, следовательно, др/дк одинаково в пограничном слое и в соответственных точках внешнего потока, подставим зто значение,.предварительно проинтегрированное по у, т. е. выражение: или дка» 1 дУ оа а В*а дРа 1 д дх У дх ра дх рь Уа дг о + — — (23*'+ д*)+ — ** — + — (р Уд*)— 1 д Г Каа — — — ) (р — р)Ф= роУ д,3 р,У о (3. 8) для установившегося движения сжимаемого газа из формулы (3.8) получим выражение интегрального соотношения импульсов: а* 1 дУ „, з- др — + — — (23**+ Р) + — — = У,, (3.9) дх У дх ро дх Ро с учетом обозначения: (3.10) преобразуем (3.9) к виду: ж*'+ „~8+2 дУ 1 дРо 1 дх [ У Их р Нх ) р уа (3.11) — ~ пав + — ) иайу — У(х, 1) — ) ш(у — У(х, 1) — = д Г д Г д Г да д1 д дх,) дх ~ д1 о о о 1 др (ди) = — — 3 — — «~ — ~ ядр/ =о (3.4') или а для установившегося течения: Ь У "'+ (23аа+ Зо) = ™а р Уа (3.9') или да* „(И+ 2) дУ х У их=рй (3.12) 32 эакаа ао ооо 505 Полагая в выражениях (3.4), (3.8), (3.9), (3.10) р = сопз1 = ра, получим соответственно интегральное соотношение импульсов для неустановившегося течения несжимаемой жидкости: где Н по-прежнему определяется формулой (3.10), а толщины вытеснения и потери импульса определяются соответственно фор мулами: (3.5') (3.6') Уравнение импульсов в форме (3.9), (3.9'), (3.11) и (3.12) сира.
ведливо как при предположении о слое конечной толщины о. Таки в случае асимптотического пограничного слоя, где интегрирование проводится в пределах от О до . Соответственно следует выбирать значения верхних пределов в выражениях (3.5), (3.6), (3.5'), (3.6'). Отметим, что в случае асимптотического слоя следует несколько изменить приведенный вывод с тем, чтобы обеспечить сходимость интегралов (см.
3 7). Приведенные соотношения широко используются при построении приближенных методов интегрирования уравнений пограничного слоя. Задавая из каких-либо соображений вид профиля скоростей в сечении пограничного слоя, мы сводим уравнение импульсов, содержащее три неизвестных (В~, 3** и т или Р, Н, т ), к уравне.-.ию относительно одного параметра, определяющего изменение формы профиля скорости в пограничном слое. Аналогично тому, как было выше получено интегральное уравнение импульсов, можно получить интегральное уравнение энергии, проинтегрировав уравнение энергии в любой из форм, приведенных в $ 2, по толщине температурного пограничного слоя вдоль нормали к обтекаемой поверхности, или рассмотрев баланс энергии в элементе слоя.Мы изложим только первый метод.
Используя уравнение неразрывности, перепишем уравнение (2.15'") для случая стационарного движения в форме: д .. д .. д ~н д1о'1 дх со д~ а =ду~о ду~ — (р и (1, — 1, )) + — (р о (1, — 1, )] = — ~~"- — ') + (3.13) 506 д, (ри('о 'о )1 "У+ ) а„(р (1~ — е~ ))ну= .а 1 д о о ),'( ф),„о ( [,(, )'("2)~, но д .. д д„(Ри((о (о Но(У = а ) ри((о — (о ) с(у, д (Ро (оо оооо))о(У = (РО (оо — (осо))о' — — О, 8 др о так как о = О при у = О (о = ю' прн у = Ьг, а д(оо) ди др =2и — обращается в нуль н при У=О н при у = дг ° ау Следовательно, окончательно получим д ( ..
(н д('1 — ) ри((о — (о ) о(у = — ~ — — / д „) (, ду/У о (3.14) илн, переходя к температурам, о д ( дТо д„) с ри(То — То~)о(у = — Л о (3.15) 322о н проинтегрируем его в пределах температурного (теплового) по. граничного слоя; получим: Оо,оо ио со Вводя, по аналогии с (3.6) етолщину потери энергии» в форме: ат,со ог =] р и ]т 1]с(у' о (3.16) получим из формулы (3.15) выражение для интегрального урав- нения энергии в форме: г ., 1 д(р У1 со + д дх г р 0 х (3.17) ;т,ри где д = Х„( — 1 — тепловой поток к стенке .
абдт ' е (,ду !м 4. Ламинарный ногрананный слой нра малых скоростях е Отметим, что интегральные соотношения импульсов и энергии справедливы и для турбулентного пограничного слоя, если входящие в них величины рассматривать как «усредненные» (см.
и" 16). Уравнения ламинарного пограничного слоя при малых скоростях и методы их решения подробно рассматрицаются в общем курсе гидроаэромеханики и изложены в ряде монографий, учебников и учебных пособий (7] — 113]. Однако, поскольку одним из наиболее эффективных методов решения уравнений ламинарного пограничного слоя при больших скоростях является сведение их к соответствующим уравнениям для малых скоростей, то в этом параграфе для облегчения понимания последующих выводов будут вкратце рассмотрены основные результаты ламинарного пограничного слоя при малых скоростях, Отметим, что точное рещение общих уравнений двумерного пограничного слоя, даже в случае стационарного течения несжимаемой жидкости, весьма затруднительно, так как приходится рассматривать систему двух уравнений в частных производных.
Однако в некоторых простейших, но имеющих большое прикладное значение, случаях уравнения пограничного слоя можно преобразовать в обыкновенные дифференциальные уравнения и сравнительно простыми методами получить эффективное решение. Обтекание безграничным плоским потоком газа, имеющим постоянную малую скорость К плоской пластины, простирающейся в направлении положительной оси х до бесконечности.
Благодаря условию постоянства скорости во внешнем потоке гра- днент давления будет отсутствовать (ч/р/г(х = О) и, следовательно, уравнения погравнчного слоя (2.22) примут вид: ди ди дчи и дх+ Од-„— чдич ди дч — + — = О. дх ду (4.1) Граничные условия определяются формулами (2.18) и (2.19): и=о=О при у=О; и=У при у= чо. Для решения уравнений (4.1) примем, что компонента скорости и есть функция только от одной безразмерной переменной чр и = У т' (а), (4.2) определяемой соотношением: Г и (4.3) Второе уравнение (4,1) будет удовлетворено, если ввести функцию тока (ч по формулам: д(ч дф [и = — о = —— ду ' (4.4) Если для функции ) принять: (ч =),/чих т(ч)), (4.5) то условие (4.2) будет также удовлетворено. Пользуясь полученными соотношениями, вычислим значения ди/дх, ди/ду, д'и/ду' и подставим их в уравнение(4.1).
Будем иметь: и = д — — 1/чУхт'(а) д — Ут'(ч1); дф —, дч ду ду дт 1 ч/~0 — дч о = — — = — — 1/ — <р (ч1) — )/ чУх <р'(а)— дх 2 Р/ х дх 1 ч/чы 2 Р х (4.6) ди Г/ „ ди ч / // 509 и первое уравнение (4.1) преобразуется в обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка: 2 т"'+ т <рх = О (4.7) Коэффициент сопротивления сг= " 1,328, Г 1У где Ке = — — число Рейнольдса, подсчитанное по скорости ч на бесконечности. Для толщины вытеснения, в соответствии с формулой (3.8), воспользовавшись данными из таблицы, найдем: Если в качестве толщины пограничного слоя принять величину 5 = 3Р, то получим: (4.15) Приблизительно такая же толщина 3 получится, если воспользоваться приведенной выше таблицей и принять значение ч, прн котором и отличается от У меньше 'чем на 1 и4.
Вводя значение 3 в выражения (4.3) и (4.2), получим: т1=52 —, — = р [52 — ), у и,[ у1 ь и т. е. профили скорости в пограничном слое не зависят от координаты х. Отметим, что уравнения пограничного слоя сводятся к обыкновенным уравнениям н в случаях, если скорость на внешней границе слоя определяется равенствами У = Сх" и У = Се [7[. Приближенные методы решения уравнений пограничного слоя.
В случае обтекания выпуклого контура для решения задачи о пограничном слое развит ряд приближенных методов, основанных либо на использовании интегральных соотношений, либо на специальном выборе безразмерных независимых переменных, с помощью которых дифференциальные уравнения в частных производных сводятся к одному нли к последовательности обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, которые решаются в дальнейшем численно.
Подробное изложение этих методов приведено в ряде монографий [7) — [12) и отдельных статей. Мы изложим здесь наиболее удобный и допускающий непосредственно обобщение на случай течения газа метод использования интегральных соотношений, следуя в основном [7[. Основная идея этого метода, как и многих других приближенных методов, состоит в использовании вместо точного рас- 51! (4.16) с некоторым, пока неизвестным формпараметром 7". Тогда, по определению (см. (3.7)) ~д~ — "1 ~ ~ьв* ) (4.18) ~11 — т(ч 0Ич Н вЂ” — „— НД), ~ тМ)11 — т(ч:Икч и уравнение импульсов (3.12) перепишется в виде: + и.
ц (~5+ 2) [две у) или, после умножения на 2УР*/», (4.19) У Я + (2 + Н(Т = 2с ()). Если в качестве формпараметра выберем и ь-' (4.20) то уравнение импульсов принимает однопараметрический вид: У ( —,) = 2с(~) — 2Я2+'Н(~)) = Р()'). (4.21) Проводя дифференцирование в левой части, получаем искомое уравнение для определения формпараметра: и ЦУ ~= и р(~)+и (4.22) Так как величина У(х) задается обычно приближенно, то для того чтобы не вычислять входящую в уравнение(4.22) функцию 512 пределения скорости в сечениях слоя однопараметрического семейства профилей, причем параметр (формпараметр) зависит от продольной координаты слоя. В качестве характерного размера в сечении слоя используется толщина потери импульса Р*. Однопараметрическое семейство профилей скорости в сечениях слоя задается в форме: (/"(х), удобно заменить уравнение (4.22) уравнением, не содержащим [/"(х).
Для этого в качестве размерного параметра вводят величину Зчвч !/ . (4.23) Тогда уравнение (4.22) примет вид: Ю = 1/ (4.2ч) удобный для численного или графического интегрирования. Для определения входяшей в уравнения (4.22) н (4.24) функции Р(/), а следовательно, и функций ч(/) и О(/) рядом авторов были предложены различные двухпараметрические и одно- параметрические наборы профилей в сечениях пограничного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
