Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 72
Текст из файла (страница 72)
ЕСЛИ В (4.18) ПОЛОжИтЬ д! = !) О < длр ГдЕ бакр КрнтИЧЕ- окая скорость, то получим, что Ь =, т. е. наставка удалена в бесконечность. Таким образом, мы переходим к известному случаю истечения свободной газовой струи из бесконечного сосуда, рассмотренному С. А. Чаплыгиным. При этом из формулы (4.17) получим; л=! 488 где 7(д) — неизвестная функция, Полагая в (4.15) !7 = д, и 6 = †, получим координату точки В (у = — а), полагая !7 = !71 и В = О, †координа точки Р (у = = — Ь). Вычитая из первого, полученного таким образом соотношения, второе и воспользовавшись уравнением расхода 9 = 2Ь (1 — д!)" о, (4.16) Глава Х Пограничный слой и проблемы аэродинамического нагрева ф 1.
Введение Уравнения движения вязкого теплопроводного газа были выведены в гл. 11. Однако при решении всех конкретных задач о течениях сжимаемого газа, рассматривавшихся в предшествующих главах, предполагалось, что газ является невязким и нетеплопроводным. Действительно, в указанных задачах влияние вязкости и теплопроводности могло проявиться только в ударных волнах, которые рассматривались как сколь угодно тонкий переходный слой, в пределе сводящийся к поверхности разрыва. Как указывалось в главе 11, все газы и жидкости являются вязкими и теплопроводными, однако воздух и другие газы являются маловязкими, слабо теплопроводными средами и для них внутреннее трение и теплопроводность в основном проявляются в тонких слоях, примыкающих к граничной поверхности.
Вследствие этого для решения многих практически важных задач обтекания тел потоком газа с большими скоростями можно воспользоваться идеями и методами теории пограничного слоя, выдвинутыми впервые Л. Прандтлем для случая течения несжимаемой жидкости еще в 1904 г. [Ц. Эти идеи и методы были обобщены на случай пограничного слоя в сжимаемом газе при умеренных скоростях и температурах, когда газ можно считать однородным, в работах А. А. Дородницина [2[, [3[, [4[ Л.
Г. Лойцянского [4[, Л. Е. Калихмана [5[, [6[ и многих друг советских и иностранных исследователей. Напомним вкратце основные положения теории погранично слоя. Так как газ является маловязким, то соответствующ числа Рейнольдса очень велики. Отметим, что при течени сжимаемого газа числа Рейнольдса могут быть большими и вследствие больших значений характерной скорости У.
Попытка получить соответствующие реальным явлениям выводы, целиком отбрасывая в уравнениях движения члены, содержащие кинематический коэффициент вязкости ч, не приводит к успеху, так как прн этом получаются уравнения движения для идеальной жидкости, решения которых, как указывалось в главе 1 1, принципиально не могут удовлетворить условиям прилипания, характерным для течения вязкой жидкости.
Рис. 123 Можно предположить, что влияние вязкости проявляется главным образом в тонком слое вблизи границы обтекаемого тела, а частицы газа, попавшие в этот слой и испытавшие влияние вязкости, не могут передать его в область, достаточно далекую от тела, вследствие малой длины свободного пробега (очевидно, что этот вывод перестает быть справедливым для течений разреженного газа). Следовательно, в той области, куда практически не доходят частицы, испытавшие влияние вязкости, течение с большой точностью будет описываться уравнениями идеальной жидкости. Тогда в области, близкой к контуру обтекаемого тела, должна существовать касательная составляющая скорости течения, в то время как на самом контуре эта касательная составляющая, как следует из граничных условий для вязкон жидкости, обращается в нуль.
Значит. распределение касательной составляющей скорости потока вблизи контура должно "меть вид, схематически изображенный на рис. 123. При этом, кз" будет показано ниже, изменение величины касательной со- 491 ставляющей скорости от нуля на контуре до значения, близкого к условиям потенциального обтекания, происходит в очень тонком слое вблизи тела.
Следовательно, в этом слое, вследствие больших градиентов скорости, силы вязкости могут быть значительными, во внешней же области они весьма малы. Основываясь на этих соображениях, картину обтекания можно схематически рассматривать как состоящую из двух областей: области вблизи обтекаемого тела, в которой существенны силы вязкости (пограничный слой), и внешней области течения идеального газа. Относительно малая толщина пограничного слоя позволив ет значительно упростить урав! пения Навье — Стокса.
! Вследствие существенного влияния вязкости течение в пограничном слое будет завихренным, и в случае обтекания выпуклых Ж тел или тел, содержащих угловые точки, может произойти срыв вих- Ф рей (см. рис. 123). В этом случае методами теории пограничного слоя можно рассчитать течение только до области отрыва потока.
Д' Вблизи тела, движущегося в сжимаемом газе, наряду со скои~ ростным (динамическим), возникает и температурный пограничный Рис. 124 слой (рис. 124), в котором температура изменяется от своего значения на границе тела до температуры внешнего потока. Аналогично динамическому слою, в тепловой слой не включаются области, в которых изменение энергии вследствие теплопроводности и вязкости очень мало по сравнению с изменением энергии вследствие влияния конвекции.
Можно показать, что при больших числах Ке и числах Прандтля а порядка единицы толщины обоих слоев (динамического и теплового) сравнимы по величине и, следовательно, малы по сравнению с характерным размером тела. В тех случаях, когда в различных областях потока имеется различная концентрация каких-либо веществ, наряду с динамическим и температурным пограничным слоем вследствие происходящего переноса вещества (диффузии) следует рассматривать и диффузионный пограничный слой, т. е.
область течения, которой концентрация компонентов изменяется от значения стенки до значения во внешнем потоке. Следует напомнить, что, как указывалось выше, при течени сжимаемого газа с большими скоростями влияние вязкости 492 теплопроводности может оказаться существенным в области внутри ударных волн и в ряде случаев за ударными волнами. Так как в ударных волнах изменения скорости и температуры в основном происходят в направлении нормали к волне (а, значит, в большинстве случаев, в направлении, близком к направлению невозмущенного потока), а в пограничном слое основные изменения происходят поперек потока, то, очевидно, что в области взаимодействия пограничного слоя и ударных волн методы и результаты теории пограничного слоя неприменимы.
Этот же вывод верен и в тех случаях, когда за сильными ударными волнами возникает область интенсивного завихрения. Таким образом, при течении сжимаемого газа с большими скоростями в ряде случаев, в отличие от течения несжимаемой жидкости, нельзя считать, что течения в пограничном слое и во внешнем потоке независимы и, пользуясь предположениями теории пограничного слоя, следует в конкретных задачах оценивать область возможного применения изложенной теории. В ряде задач течения в области пограничного слоя и во внешнем потоке должны рассматриваться совместно. Отметим, наконец, что в зависимости от значения числа Рейнольдса и других условий течение внутри пограничного слоя будет ламинарным или турбулентным.
В последующем изложении будут рассмотрены оба эти случая. В связи с повышением скоростей полета и соответствующим повышением температур в области пограничного слоя в ряде практически важных задач приходится учитывать изменение химического состава (диссоциацию) воздуха, а также изменение свойств обтекаемой газом поверхности вследствие воздействия высоких температур (например, оплавление). Хотя эти вопросы должны были бы по своей значимости составить содержание отдельной главы, основные принципиальные соображения о методике расчета течений газа при наличии химических реакций также будут вкратце изложены в настоящей главе.
й) 2. Уравнения ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе Выведем уравнения плоского движения вязкого сжимаемого однородного газа в пограничном слое на теле, имеющем плавную крыловую форму. Направим координату х вдоль поверхности тела, у — по нормали к телу, соответствующие составляющие скорости обозначим через и, ш Так как для тел, имеющих плавную крыловую форму, отношение толщины пограничного слоя к радиусу кривизны тела очень мало, то можно в уравнениях движения пренебречь членами, зависящими от кривизны профиля (т е членами, учитывающими влияние центробежной силы), и рассматривать х и у как обычные прямолинейные декартовы ко- 493 уравнение неразрывности — + — + — =О, др д (ри) д (ро) до дх ду (2.3) уравнение энергии (дТ дТ дТ~ др др др д ! дТ~ с р( — +и — +о — )= — +и — +о — + — ().— )+ Р ~ Р дх ду! до дх ду дх (, дх) + ду ( ду) Н'(( ду дх) 3 (дх ду) + ((дх) + "( — ") Р уравнение состояния р = р хс 7'.
(2.5) Как и в 5 10 главы 11, перейдем к безразмерной форме этих уравнений, однако, учитывая, что в пограничном слое масштабы продольных и поперечных скоростей различны, сохраним для координат и скоростей в направлении основного потока масштабы 1, и и„а для координат и скоростей в направлении, перпендикулярном к основному потоку (т. е. в направлении поперек пограничного слоя), введем масштабы оо и о,, т. е.
примем: х = (о хо У = Оо Уо и = по ио и = оо оь (2.6) где хо уп мп о,— безразмерные значения соответствующих пе- ременных. ординаты. Предполагая, что внешние силы отсутствуют, у.=1х(Т), а ср, с и о=(хсрй не зависят от Т, перепишем уравнения движейия вязкого совершенного газа (см. формулы (7.24) главы 11) для случая плоскопараллельного движения в форме: уравнения импульса (2.6 ) г Рц = Роно Масштаб времени выберем в виде: г о ц (26 ) Оставшиеся произвольными поперечные масштабы 3, и оц вы- берем так, чтобы удовлетворялись соотношения: (2 61У) Первое из этих условий означает, что порядок отношения скоростей и /иц должен совпадать с порядком отношения средней толщины слоя 6 к характерной длине й ца цо (2.6 ) Из второго равенства (2.6 У) следует, что число Рейнольдса обратно пропорционально з'. Действительно, 2 6У1) Из соотношений (2.6 ) и (2.6У')получаем, что толщина по.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
