Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 87

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 87)

147 нибудь значительном протяжении и будут заполнять весь объем. Следовательно, в объеме д с будет п1, молекул класса 1, а число столкновений между молекулами класса 1 и класса 2 в элементе объема за время й, линии ударов которых располагаются внутри телесного угла с(х, будет равно: пх !, !х 1(х Й сов ф с( х б в, с( вх й х й. гак как в результате столкновения а и /[ не изменяются, величины Я и ф одинаковы для обоих типов столкновений, а значения Дх!!/[а, и а/х!!'/[!х,', как можно показать непосредственным вычислением, связаны соотношением: /[ а! /! !ха = /[ ш ! /! !хх то суммарное увеличение числа молекул класса 1 в результате столкновений будет равно: [Ц()!'~,' — ~!~,)йл'/[ксозф/[х/(!х,)~/[х/!ЫтШ.

(3.21) Приравнивая соотношения (3.18) и (3,21), получим интегродифференциальное уравнение Больцмана в форме: Р;(п~!) = Д и'() ' ),' — ~! ~ ) /[! 2 соз (/ /[х /[ ах, (3.22) (3.23) ди! Ъ1 / ди! 1 др!/ '! — +,~~ 1и — + — — ) = О, (!'=1,2,3). (3.24) д/ ~, дк/ р дку ) / 1 др Х1 !/ д(ри!) 2 да! 2 Ъ ! ди! '! — +,:„~ + — — + —,~,р„— ) =О. (3.25) д/ [, дк! 3 дкс 3 / дку ) / 1 /-! При интегрировании члены, соответствующие столкновениям, обращаются тождественно в нуль вследствие условий сохранения массы, импульса и энергии при столкновении.

Вопрос о разрешимости в общем случае уравнения Больцмана (3.22) или получаемой нз него системы моментных уравнений, первыми нз которых являются уравнения (3.23) — (3.25), рассматривается в книгах по кинетической теории газов [Ц, [2). справедливое для однокомпонентного газа. Приведенные выводы могут быть обобщены на случай смеси газов [![, [2[. Пользуясь уравнением Больцмана (3.22), можно получить систему уравнений, определяющих изменение средних макроскопических параметров газа. Умножая, например, уравнение (3.22) последовательно на массу молекул и, составляющие скорости и, (где и, = и, и, = о, их = ш) и на с'и интегрируя по всем скоростям, получим макроскопические уравнения неразрывности (сохранения массы), уравнения импульса и уравнение энергии з / ! Максвелловская функция распределения сксростей.

Большое значение имеет случай равновесного распределения скоростей, при котором в результате столкновений в каждом заданном элементе объема а(т не изменяется число молекул каждого клас. са. При этом функция распределения не зависит от ), а уравнение Больцмана (3.22) сводится к виду: 1)(п~,) = Д па(~,'~а' — Яа)Раисов)((хдаа =О; (3.26) его решение дает искомую функцию распределения не зависящую от молекулярных столкновений, Очевидно, что достаточное условие равновесия можно записать в форме: ~,' 1а' = Я„или 1и ~,'+ 1и ~а'= 1и ~,+ 1п )а.

Необходимость этого условия доказывается в кинетической теории газов. Таким образом, сумма 1п~, + !п~ при столкновениях молекул не изменяется. Так как мы условились, что выполняются законы сохранения, следовательно, прн столкновениях не должны изменяться суммарная масса т, импульсы ти, п)о, ти) и энергия — т(и*+ о'+ пР), а значит, 1п~ можно представить в виде линейной функции этих величин: Щ = й, (и'+ о'+ и)')+ йаи+ йети+ йа(6+ й а где й, функции от х, у, г, Г. Удобно перейти к новым коэффициентам, записав функцию ~ в форме: Ве~((~~э)'а(а — юе)'+(~-~юе)'1 (3.27) Определим вид коэффициентов В, Ь, и„о„(еа; функция )". долж- на удовлетворять соотношению (3.3), т. е.

так как хйе йхВДх ( ) Следовательно, — р т р 3 .с=Г+3 + = 2„, й==, 3 2а' Зс' ~=(=,) 'е (3.31) Функция распределения ~ относится только к неупорядоченной части молекулярного движения, зависит от скоростей теплового движения с', ч', Г и от внутренней энергии единицы массы '/, с', которые в общем случае являются функцией координат и времени. В кинетической теории газов вводится наиболее вероятная скорость беспорядочного движения, т. е. скорость с , которой обладает наибольшее число молекул. Она связана с с' соотношением: с = — с'=2ЙТ =2 —,. 2 — ~ р 3 . т>,, Следовательно, входящее в формулу для функции ~ значение й равно 6=в =~~т.

т ф 4. Свободно-молекулярное течение При свободно-молекулярном течении, как уже указывалось, молекулы, отраженные от тела, движущегося в неограниченном потоке, не оказывают влияния на невозмущенный поток. Следовательно, в окрестности обтекаемого тела не должны возникать ударные волны и недолжен образовываться «пограничный слой». На основании этих соображений при расчете теплопередачи и аэродинамических характеристик тел, движущихся в свободно- молекулярном потоке, можно рассматривать независимо два течения: течение, образованное молекулами, сталкивающимися с телом при его движении, и течение, образованное молекулами, отраженными от тела или испускаемыми им. При вычислении потока количества движения или энергии молекул, достигающих поверхности тела, предполагается, что „ з находится в состоянии местного максвелловского равновесия. Поэтому результаты таких вычислений должны применяться при рассмотрении течений на бОльших высотах с некоторой Осторож р стью, так как в настоящее время наши знания о состоянии и составе верхней атмосферы все еще ограничены.

К Расчет аэродинамических сил, действующих иа пластину в свободно-молеку- й лярном потоке. Воздействие налетающих Фгз2Ю молекул. Вследствие того, что при свободно- молекулярном течении летящее тело не возмущает поток, аэродинамические характеристики выпуклых тел могут быть получены илнэ 2' интегрированием по поверхности тела усилий, действующих на элементарную площадку поверхности. Пусть площадка 4(А (рис. 148) перемещается в разреженном газе со скоростью У. Рис, 148 Выберем прямоугольную систему координат, связанную с площадкой, таким образом, чтобы ось х'была направлена по нормали к площадке и образовывала острый угол с вектором скорости 2).

В дальнейшем эту сторону площадки будем называть передней. Проекции вектора скорости площадки на оси координат обозначим через 1,0, 12У, Щ где направляющйе косинусы 1„1„12 связаны соотношением: 12 + ~'+ 1~~= 1. Проек, ии тепловой скорости движения молекул газа а выбранные оси координат обозначим через 2', 21', 1'. Распределение тепловых скоростей молекул будет определяться функцией Максвелла. Количественная плотность молекул в единице объема пространства, составляющие скоростей которых заключены в интервале ~' — ($'+ 212'), и' . (21'+ Щ), Г,' —.

(~'+ Ж'), будет равна: (4. 1) а,~Ж~'ЩЖ', где и; — полное число молекул в единице объема (здесь и в дальнейшем индекс 1 относится к частицам невозмущенного потока), функция Максвелла, а з 1 1 з 2КТ 2сз ~ 00 2 Р», а р Р00 (4.3) с< = ~l 2КТ вЂ” наивероятнейшее значение модуля скорссти теплового движения молекул, Т, р, р — температура, давление и плотность газа в невозмущенном потоке. В системе координат, связанной с площадкой, составляющие скорости молекул будут равны: ~=Ч' — (,(), <=4 — (,и, г.=С' — (,и. (4.4) Следовательно, в этой системе координат число молекул с составляющими скорости в диапазоне ! —:($+ <<ч), 4 —: (4+ <г4). ~ †: (Г. + «т), т.

е. количественная плотность молекул с такими скоростями в единице фазового объема будет равна: Л< < Ж<<4<К = 1,,'<'/, — М<<<+<,Ш +<а+<,ив+<с+с н<в1 =И,— „1 Š— ( — ~ <(с<! К. 4.5) <(с <г4 К. Учитывая, что и что в наших обозначениях (см.

рис. ! !4) (1 — — 3!п Е, (,=соз9, (,=О, (4.6) можно переписать выражение (4.5) в виде: Л<< ъ, <(с<(4<К = 00 (2Дт )1,' <<+и мв1 ° +<у+и в<+< ~ сагоэ ~,(! <( (~ (4.7) Подсчитаем число частиц, ударяющихся о площадку <)А в единицу времени. Из всех молекул, обладающих относительными скоростями в интервале с — '. с+ <<с, '4-' 4+ <тт), 1 —:<, + А, за единицу времени о площадку <(А ударятся те, которые в данный момент располагаются в цилиндре с основанием <(А и образующей ~ГР+ т<з+ <' и составляющая скорости которых по оси х направлена в сторону площадки, т. е.

Характеристики

Список файлов книги