Х.А. Рахматулин, А.Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев - Газовая динамика (1161656), страница 88
Текст из файла (страница 88)
заключена в пределах — ($< О. Частицы с Составляющей скорости $)О будут удаляться от площадки. Объем указанного выше цилиндра, при выбранном направлении осей, равен 1$!<(А. З<О Общее число частиц, ударяющихся в единицу времени о еди„ицу площади передней части площадки, найдем интегрированием „о всем возможным скоростям: о ОО оо ('! ~ Л,.'1о/о Г -а, 11+С,и1 ° Р а, 1«+Пин Р— а, и+Пил Ио)е Так как ~ е оЧ = ~ е Ых = 1/У о а ~е ""+' '*ооо заменой )/Ь(о+ 1,Ц = х приводится к виду: Ум,и Уй,и ~Ж,и Г 1и Г 1( 1 -*и~ — хе о(х — — ~ 1 е Йх== — ( — — е л ) ~"й .) Л( 2 — Оо ОО Уа~,и 1,и (' - ' 1,и Р ' — 1 -«1аи1 е ох= — — е уй.') р.й.) 2Л о о — — — — — — ((~,(у~ ь), где введено обычное обозначение интеграла вероятности: Ь 2 ег1(6) = =~ е ог, то можно записать: -а ои ,) ~,,«, ~Р 1~ „о1«оУ«11). (46~ Вводя обозначение и и .
-ул ,= 1, Р й Ц = (, — = — з(п6 = Б,.з1пй = ~/ 2 М;з!п6 = где Б~= — — скорость относительно молекул (аналог числа с~ й(аха), получим окончательно выражение для количества моле- 611 кул, ударяющихся об единичную площадку в единицу времени — а ° Лг, = — ' = + а,.(1 + ег1 (а,.)) . 2г'Х~1 У~~ (4.10) — и — + а(1+ ег1(п)) = ф(е). у" (4 11) Тогда У, = ' 6(а,.). 2УЗ (4.12) рЖ Х р'йю а г г и а Х 1Хо й з Рис. !49 График функции у (а) представлен на рис. 149, а. В наиболее интересном случае больших скоростей, т. е. при а ) 3, функции )(а) с большой точностью приближается к значению 2я.
Отметим, что если среда, в которой движется пластина, представляет смесь нереагируюших газов, то вычисление надо вести для каждого газа в отдельности, причем под и и Ь следует понимать константы, характерные для данной компоненты газа. 612 Величина, стоящая в скобках, является функцией только без. размерного параметра а, Обозначим ь(асса частиц, ударяю|цихся в единицу времени об единичную плошадку, равна: О,.=„)У, (4. 13) 2У Ь, Если пластина неподвижна (ц 1 г' а (4.14) Количество молекул, ударяющихся об единичную площадку со стороны, противоположной направлению движения пластины, можно получить аналогичным вычислением, учитывая, что в этом случае 0(1( а и, следовательно, )уф л ( ~~г)'l~~ -ь, (е+пинч,(1~ — л, <ч+пин,~ ~ — ь и+пои„„ Проводя аналогичные расчеты, получим 2Р'Я; (4.15) где ф1(а) = — — а(1 — ег1(а) 1.
Уа (4.16) Из сравнения формул (4.11) и (4.16) очевидно, что ф1(а~) = ф( — аг). (4.17) График функции ф'(а~) приведен на рис. 149, б. Масса частиц, ударяющихся об обратную сторону пластины, равна: У,' = — 'ф'(Ч) = — "," ф'(ад. 2Уа, (4.18) ~пол 'и (11! + ч(з + ~1з )' 61 3 Каждая частица, ударяющаяся о пластину, передает ей некотоРую эчергию и импульс. Для определения действующих на пластину сил подсчитаем количество движения налетающих молекул. Проекция количества движения каждой отдельной молекулы на направление и', характеризующееся направляющими косинусами 1,, 1, 1, будет равна Проекция на это направление количества движения, переносимо„ го в единицу времени на единицу площади всеми молекулами, определится формулой О ррр рмр М..., = — Р( — ")'" ~ М ~ 11 ~ 1(1,'1~11,' .Р + 1' мР ~ — «с Н+г,о) +<з+ с,и>Р+ и+цш* ~~ (4.19) Произведя вычисления, получим: р м — — + рр'( ' (1, 1~ ар 1~ 41 1 1~) ' -р ( 1,(1 1(.р р".ли ~1,1,~1,1,1-,„',]~ „1(мГГ1,))(= С а 1 ~рр,р).р "11Р.Р 1(М1) 2а' ~ Количество движения, переносимое молекулами в направлении нормали, передается на поверхность в виде давления рь Для определения давления полагаем в формуле (4.20) (4.21) з ' з вследствие чего Р -ц~р 1,( — 'ГР-(1Р р, )(1~РЫ(рЗ(.
(4.22) м ар В нашем случае 1, = з1п8, 1, = соз6, 1, = О. Следовательно, формулу (4.22) можно переписать так: р,— р мт ( — ".-"1 -1(м р- —,' )(1 р.рм,))(= 'р м 'м( — '~Р(14Рр)(Р.Р 11мР)( ар 6Н гда формула для коэффициента давления, 'отнесенного к единице поверхности, примет следующий вид: р 1 ЫО~ — '»-(»»- — «) ()»- 1(,))). (4:2»» р,и ( р»««» — 2«'; 2 для случая покоящейся пластины (У = 0) из формулы (4.23) получаем: рс 1 .
«2 (4.25) Полученный результат в точности равен половине давления, обычно подсчитываемого в кинетической теоРии газов. ВтоРаЯ половина давления возникает вследствие передачи пластине импульса отраженными (испускаемыми пластиной) молекулами. Для определения касательного напряжения от падающих молекул положим в формуле (4.20) В=О, Г= — 1, Г=О. г ' з — «' + — '(1+ег1(ар)) = 1,1., — '-1- с,=— .=р,и = » 2 + 1 + ег1(ар) = — '' р (а,.), ар (4. 26) так как в нашем случае 1, = з)п6, 1з =-соз6, 1з= О, то — «р с,= ~~, =з1п9соз9 ~ ' +(1+ег1(а,)) .
(4.27) р,. и« 1' »«а. 2 ! У Для вычисления коэффициента лобового сопротивления от налетающих молекул положим в формуле (4.19) (э з 2 2' тогда !,»-»,') ~ «»,[(»,'»~»',»;»,')»- з « + ~1+ —,; (1+ ег1(.р)), (4,29) »«а; — [»+ рр~ й «3 р,.и« = — 1' »««, 2 р'1 + 2,', [ [1+ ег1(а))= 1, 615 Тогда найдем, что коэффициент напряжения трения от падающих молекул' равен: и если 1, = з!п9, то 92 = ! а~ ' ' 4-(! 4- „, ) (!4. Ю( ЮЮ~. (4.99! )( а а( Если нас интересует воздействие потока на обратную сторо. ну пластины, то в формулу для количества движения молекул, налетающих на эту сторону пластины: М',, =р, — * с(с сЬ~ с ( 1(3 +1 2)+ — ью Г(+ Псн+ (2+ с,(юн+ (с+ ю,(ю>41 +1;~)е "' — — +9" Р( ' (Ю,Ю;4-(,Ю;4-(,Ю(, '""— 991 аю — [ц (юю,-(-ю (4-(ю()4-!в ,! (! — ю(а(!) (499! следует подставить соответственно: а) для определения нормального давления 1,'=1, 1,'=О, 1;=О; б) для определения касательного напряжения 1;=О, 1'=1, 1'=О; в) для определения лобового сопротивления 12 12 12= 12 Легко показать, что соответствующие выражения могут быть получены из формул (4.24), (4.27), (4.29) с помощью преобразо- ваний М'..., (а;) =— (4.31) где величины со штрихами соответствуют стороне пластины, про.
",е тивоположной напрзвлению ее движения относительно потока Однако полученные выражения не определяют полностью возд 616 ср,(аю) с, (а;) = Ю са (а;) = Ю вЂ” М...( — а(), с ( — аю), РЮ с, ( — аю), с ( — а;), аю ия потока на пластину, так как следует еще учесть силовое воздействие отраженных молекул. о, Отражение молекул от поверхности при свободно-молекулярном течении.
Ч'ак как задачи газовой динамики обычно свяаиы с движением газов вблизи твердой поверхности, то при ешении этих задач влияние поверхности иа поток газа учитывается граничными условиями, которым должно удовлетворять решение уравнений движения. Эти граничные условия определяются в результате рассмотрения механизма обмена массой, количеством движения и Гг 1т энергией между молекулами газа и поверхностью тела. Сложный механизм этих процессов в настоящее время яв- 1- ляется предметом интенсивных исследований, В теории свободно-молеку- У лярного течения вначале обычно рассматривают два предельных вида взаимодействия молекул газа со стенкой: так называемые «зеркальное отражение» и «диффузное отражениер, принимая, что истинное взаимодействие приближенно можно пред.тавить некоторой комбинацией двух указанных выше видов отражения.
Зеркальное отражение совместимо с изоэнтропвческим течением. Предполагается, что поверхность тела абсолютно гладкая, а молекулы газа абсолютно упругие. При ударе молекулы о поверхность абсолютная величина скорости и ее касательная составляющая не изменяются, а нормальная составляющая меняет знак 1рис. 150).
Очевидно, что при таком взаимодействии нормальное давление есть просто статическое давление потока, а касательное напряжение вообще отсутствует. Не происходит также энергетического обмена. Величины, связанные с отраженными молекулами, обозначим индексом г, тогда нормальное давление р„ возникающее вследствие воздействия отраженных молекул, будет равно Рр = Р1 а касательное напряжение следовательно, суммарное нормальное давление Р«ерк Р~ + Р«йР1 а полное касательное напряжение тр«р„—— тп — «р = — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
