Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 98

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 98)

В общем случае замедление происходит неиээнтропическим образом с по- 25.А Предполоонение о предельной линии мощью скачка, хотя замедление с отсутствием заметных скачков также было описано для значений скорости д, немного больших, чем д»"). В работе, обсуждавшейся вьппе (основывавшейся на потенциальном течении, которое обратимо), нет математического аналога наблюдаемого резкого замедления и общего отсутствия гладкости в наблюдаемых трансзвуковых течениях. Таким образом, представляется, что существует определенное противоречие между некоторыми теоретическими результатами и наблюдениями; Однако экспериментальные наблюдения, проведенные над заданным фиксированным профилем с некоторым соответствующим параметром, скажем М, изменялись так, чтобы получить семейство течений около одного и того же профиля *), тогда как в наших теоретических примерах профиль Рм изменялся только с изменением М .

Сравнивая наблюдения над течениями около фиксированного профиля Р с математическими результатами, касающимися течений около последовательности изменяющихся профилей Рм, мы предполагаем справедливость недоказанной гипотезы о том, что основные свойства течения будут одними и теми же для двух различных случаев. Возможно, что различие двух случаев имеет второстепенное значение, если основываться на таких результатах, как результаты Томотики и Тамады, где были найдены почти идентичные профили Рм для различных значений М . Однако до тех пор, пока мы не будем иметь более определенной информации по этому вопросу, мы не сможем точно сказать чтонибудь о противоречии между наблюдениями и теорией, так как они не относятся к одной' и той же задаче. 4.

Предположение о предельной линии Отсутствие экспериментального соответствия рассчитанным примерам гладких трансзвуковых течений указывает на противоречие между теорией и наблюдением (хотя верно и то, что при вычислениях мы неточно воспроизводим обстановку, имеющую место при эксперименте). С другой стороны, заметим, что при математическом изучении течений были найдены их некоторые особенности, именно предельные линии. Может ли объяснение основываться на этом'обстоятельстве? Замечания и предположения Кармана, Цянь Сюэ-саня, Го «Он-гуая н других, подсказанные в значительной степени примером Ринглеба, касаются атой возможности.

После перечисления некоторых особых свойств предельных линий (бесконечное ускорение, бесконечный градиент давления, «поворот» линий тока назад на предельной линии и возникновение «совершенно невозможной картины течения> и т. д.) Карман заключает, что основные физйческие предположения о неразрывности и незавихрен- ') То же имеет место и для течений внутри сопла. 504 Гл. г'. Теория интегрирования и елочки ности, которые лежат в основе нашего анализа, должньг окаэатьсн несостоятельными.

«Так как неразрывность не может быть нарушена, необходимо предположить, что течение становится вихревым». Это не может произойти в установившемся течении невяэкой сжимаемой жидкости, свободном от скачков. Таким образом, появление предельной линии рассматривается Карманом как (математический) критерий (фиэического) разрушения ") установившегося нээнтропического (беэвихревого) течения*) невяэкой жидкости. Эта идея, которая лежит в основе предположения о предельной линии, была сформулирована не как точное утверждение, а скорее как общее положение, которое постулируется для рассматриваемой задачи,— взаимная зависимость между наблюдаемыми рдизическими скачками и вычисленными предельными линиями в поле течения.

(Другие объяснения, основанные на совершенно других идеях, также были предложены теми же самыми авторами, и част'ности Цянь Сюэ-сэнем.) Исторически предположение. о предельной линии тесно связано с исследованием математических свойств таких линий; ввиду того что эти свойства оказываются особой природы и подразумевают разрушение гладкого потенциального течения, полученного математически, напрашивается связь между этим решением и физическим. явлением — возникновением скачка. Думается, что верно и обратное', именно, что физический скачок подразумевает математическое «решение со скачком», характеризующееся наличием предельной линии. В более точной форме это'предположение может быть изложено следующим образом. В случае течения около фиксированного профиля мы внаем, что если число Маха на бесконечности меньше некоторого М„то все скорости будут доэвуковыми. При этом, вообще говоря, предполагается, что существует некоторое значение М, ) М, (которое может быть очень бливким к М,), такое, что для М, лежащего между М, и М, получаются гладкие смешанные течения, которые при некоторых обстоятельствах должны быть типа течений с «карманами»**).

С одной стороны, предполагается, что фивическое течение для этих значений М будет беэ скачков, а с другой,— что якобиан1= д(х,у)/д(д,д) (или эквивалентный детерминант) будет отличен от нуля во. всем поле течения. (Для дозвуковых скоростей этот якобиан отрицателен, эа исключением, возможно, изолированных точек.) Если затем М будет г) Ринглеб говорил, что на предельной линии имеет место Я»гощвпязвьозв, и назвал предельную линию Ясов»11п1е; З»озз означает по-немецки скачок. *') Кажется, что предпосылками »того последнего предпояожения являются, вообще говоря, аналогии с подобным обстоятельством, которое имеет место для течений около изменяющихся профнлей, а танже ревульг таты, полученные приближенными методами (п.З).

Во всяком случае, вто предположение не следует рассматривать как часть «предположения о предельной липин». 26А. Предположение о предельной линии 50Ь еще увеличиваться до М = М, то начнут появляться скачки и в то же время при математическом решении задачи будет найдено, что 1 = О вдоль некоторой бесконечной малой дуги кривой. Эта предельная линия становится более ярко выраженной прп. дальнейшем увеличении М В конце этого пункта мы увидим, что тщательное рассмотрение различных примеров, которые обсуждались в предыдущих пунктах, в действительности не подкрепляет предположения о предельной линии.

Однако, обратившись к истории вопроса, мы убедимся в том, что критика этого предположения носила чисто ана; лвтический характер. Фридрихе исследовал .математический вопрос (подразумевавшийся в вышеописанном предположении)"): возможно ли такое течение, при котором 1 < О везде в поле течения для М < М, несмотря на то, что для М = М, мы нашли, что в сверхзвуковой области, существуют точки, где Х = О (внутри» «кармана» или на звуковой линии, илп на контуре тела)? Ответ,. полученный Фридрихсом при довольно строгих предположениях относительно характера течения, был отрицателен. (Работе Фридрихса предшествовали результаты в том же направлении, полученные А.

А. Никольским и Г. И, Тагановым ") и интересные в ряде отношений.) Его результат и доказательство были усовершенствованы Мануэллом, а позднее Моравец и Колоднером, которые. смогли ослабить предположения Фридрихса "). Он рассматривал решения х(д, О), у(д, О), где х и у — аналитические функции д, 0,. непрерывным образом зависящие от М . В последней из названных работ авторы требуют, кроме непрерывной зависимости решения от М , только существования непрерывных вторых производных функции тока.»0(д, 0).

Этот результат основывается на. некоторой лемме, которая может быть применена к обоим интересующим нас случаям: случаю течения около фиксированного профиля при изменяющихся значениях М и случаю, когда сам профиль изменяется вместе с М . Сущность основных полученных результатов заключается в следующем. а. Рассмотрим потенциальное течение около заданного неподвижного профиля с ограниченной кривизной.

Предположим, что. течение зависитнепрерывным образом от М и что при некотором значении М течение будет смешанным и имеет сверхзвуковые «карманы». Тогда предельная линия не может появиться ни внутри. такого сверхзвукового «кармана», ни на его границе. б. Если в физической плоскости при помощи метода годографа построено семейство профилей Рм, зависящее непрерывным образом от М, и если при М = М, появляется предельная линия, то соответствующий профиль Рм больше не может иметь кривизну,. ограниченную всюду. Зададим теперь следующий вопрос.

В какой связи находятся математические результаты, рассмотренные в предыдущем пункте„ Гя. вг. 'Теория интегрирования и скачки и вьппеприведенные результаты, полученные Фридрихсом и другими авторами? Рассматривая все эти теоретические результаты, мы можем видеть (так как речь идет об одном и том же вопросе), что они, несомненно, соответствуют один другому. Мы видим, что утверждение (а) не может дать ни подтверждения, ни отрицания наших сомнений, так как мы не имеем математического примера семейства трансзвуковых течений около фиксированного профиля. Сопоставим, далее, утверждение (б) с результатами исследования примеров течений в плоскости годографа.

Мы изучили течения около профилей Рм, которые меняются при изменении параметра М таким образом, что первоначально дозвуковое течение (в котором М ( Мд) становится трансзвуковым при М ) М,. Для этих течений около профилей ограниченной кривизны было установлено, что предельная линия лежит енутри профиля (см. п.1), т. е. оне области течения. Когда М увеличивается еще больше, оста.ваясь в интервале М, ( М ( М„ точка возврата предельной линии приближается к иеменяюи»емуся профилю Рм, и, наконец, достигает этого профиля, который при этом искажается; в частности, в общей точке контура и предельной линии кривизна контура должна быть бесконечной (как видно из $19). Все это находитсж в полном соответствии с результатами Фридрихса и его последователей: предельные линии не появляются в поле течения, т.

е. сне профиля или на нем, а если предельная линия достигает профиля, то его кривизна не может быть всюду ограниченной. С другой стороны, мы хотим сравнить математические результаты, в том числе результаты, полученные Фридрихсом и другими, с экспериментальными данными, и, в частности, .проверить предположение о предельной линии. Утверждение (а) Колоднера н Моравец, которое относится к фиксированному профилю, можно сравнить с наблюдениями над фиксированными гладкими профилями; мы знаем, что скачки наблюдаются в связи с замедлением, но, согласно утвержденшо (а), в случае контура с ограниченной кривизной предельная линия,не может появиться в поле течения нли на контуре. Таким образом, это сравнение противоречит предположению о том, что «окончательное разрушение потенциального трансзвукового течения происходит за счет возникновения предельной линии в поле течения».

Это также подтверждается тщательным рассмотрением примеров, описанных е п.1. Имеются трансзвуковые течения около гладких профилей, содержащие сверхзвуковые зоны с числами Маха, настолько ббльшими . единицы, что эксперименты дают скачки, но никакая предельная линия не появляется при этом в поле течения. Следовательно (поскольку обосновано сравнение этих математических результатов, относящихся к изменяющимся профилям, и наблюдений над фиксированными профилями), Зд.Б. Лок«Л»эое и»»леда«ание предположение о предельной линии здесь не действует.

Характеристики

Список файлов книги