Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 97

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 97)

Тогда по аналогии с соответствующей краевой задачей для течения несжимаемой жидкости около глад- ') Мы здесь считаем скорость д фвксироваиной, э д (или М ) — перемеивыи'параметром. 24.2. Проблема еуеаеетеоеанип паеаенип около профиле 499 кого профиля мы могли бы задать следующий вопрос. Существует ли гладкое потенциальное течение (т. е.

течение без вязкости и теплопроводности, а также без разрывов типа скачков) около заданного профиля Р, которое совпадает на бесконечности с заданным яевозмущенным течением? Конкретно, существует ли функция потенциала у (х,у) с непрерывными первой и второй производными, которая удовлетворяет уравнению (16.14) везде вне профиля Р, а также условиям д~р/дп = О вдоль Р (где д/дп означает дифференцирование в направлении нормали к Р) и д~р/дх — » д, д~р/ду — » О при з = х + (у — » со? Пусть д„епе, обозначает наибольшую скорость, которая достигается в рассматриваемом течении сжимаемой жидкости; тогда если фиксировать д, то величина дикие зависит как от д, так и от Р и удовлетворяет неравенству днако. < д ° Вски дпаис. < дп то все течение будет дозвуковым; однако если скорость д„,„,, сверхзвуковая, то течение неизбежно будет смешанным, т.

е. трансзвуковым, так как, ло предположению, на бесконечности, а также в критических точках на профиле скорость будет дозвуковой. В первом случае, т. е в случае чисто дозвукового течения, всегда существует потенциальное течение, так же как в случае аналогичной задачи о течении несжимаемой жидкости. Это было показано независимо Берсом и Шифманом "). Точнее говоря, они показали, что заданному профилю Р описанного выше типа соответствует дозвуковая скорость д, < д„ такая, что для д < д, существует единственное решение сформулированной выше краевой задачи; более того, что это решение является чисто дозвуковым, дикие. < д, и, когда д изменяется на открытом интервале от О до д„ максимальная скорость ди,„,, изменяется в интервале от О до д,.

(Если профиль Р симметричен относительно оси х, то можно даже показать, что д„,„е, является монотонной функцией д .) Коли д = ды то скорость должна быть звуковой в некоторой точке профиля, и если д ) д„то местные сверхзвуковые скорости не могут быть исключены; доказательства как существования, так и единственности терпят крах. В настоящее время основной интерес для нас представляет случай дозвуковой скорости д ) д,.

Мы спрашиваем, существует ли решение в виде смешанного течения, включающего сверхзвуковые области (где могут встречаться разрывы того типа, который, как мы нашли, возможен для гиперболических задач), которое все же будет потенциальным течением. Точнее, мы спрашиваем, существуют ли около заданного гладкого выпуклого профиля Р при скорости д, изменяющейся в соответствующем интервале за д„смешанные течения, в которых сверхзвуковые области образуют «зоны» или.

«карманы», примыкающие к профилю. (См. рис. 175, временно не обращая внимания на ливии ОТ» и ОТ», 32» Гя. У. Теория интеврирования и скачки а также рис. 166.) Это последнее требование 'основано на предшествующих примерах н на том обстоятельстве, что в дозвуковом течении максимальная скорость достигается на профиле. 3. Противоречие между математическим доказательством и экспериментом Конечно, могут существовать гладкие (без скачков) трансзвуковые течения; в'самом деле, мы научили несколько конкретных примеров течений этого типа. Из-за отсутствия математического доказательства существования мы начнем с обзора свойств этих Р н с. 172. Деа трансавукозых течення внутри сопла, получаемые не течення Рннглеба.

известных течений, включая также аналогичный в некоторой степени случай течения в канале, в ко~ором стенки канала заменяют профиль*). В течении Ринглеба (см. рис. 132) мы можем рассматривать две линии тока как неподвижные стенки, как на рис. 172. Мы получаем, таким образом, примеры гладкого трансзвукового течения внутри сопла; внутри каждого сопла показаны сверхзвуновые зоны и имеется характерная максимальная скорость, получающаяся на одной из стенок. Парис. 172 скорость ф;>„, получается *) Однако в протнвоположность задаче об обтекаанн профиля Пространство, н котором происходит теченне внутри сопла, ограничено.

Зд.д. Матемаепичеекве дскаваткввьстее и вкеиврквеент Ш в наивысшей точке линии тока 3, тогда как скорость дР~„, будет з наивысшей точке линии тока 4, и ф~„, > д~;~„,; на всех линиях тока д = 0*). В действительности мы получаем таким образом семейство гладких трансзвуковых течений с изменяющейся скоростью д„,„,. и с соответствующим максимальным значением величины М, которая будет много больше единицы. Иы можем выбрать в качестве стенок наших сопел гладкие линии тока, которых предельная линия не достигает (как на рис.

172,а). Между такими гладкими стенками теоретическое течение ускоряется непрерывно от дозвуковой скорости через звуковую к сверхзвуковой скорости и непрерывно же замедляется снова. Примером точного решения для трансзвукового течения (не типа течения с «карманами», а скорее типа несимметричного дозвукового — сверхзвукового течения внутри сопла) будет решение для смешанного спирального течения между двумя линиямв тока (см. п.17.4).

Мы ляжем также упомянуть вихревое течение веежду двумя концентрическими окружностями, разделенное окружностью, на которой М = 1. В этом течении предельной линии нет. В п.21.3 мы подробно рассмотрели течение около профиля подобного окружности, а в п.1 обсудили работу Черри и его учеников, которые рассчитали такие течения со сверхзвуковыми областями, а также течения около профилей других предполагаемых форм (см. примечание 52).

Мы также знаем, что для любого заданного профиля Р существует скорость д, такая, что прн д ( д, около этого профиля получается только чисто дозвуковое течение. На основании общих соображений и результатов Лайтхилла и Черри мы можем указать также, что для каждого заданного профиля Рс существует дозвуковая скорость д, > д„такая, что для любого д, заключенного в интервале между д, и д„около некоторых гладких профилей Р(д ) вн Ре получается'трансзвуковое течение со сверхзвуковыми зонами. Одйако во всех этих примерах течений, определяемых так, чтобы они сводились к течению около заданного профиля Ро при д -+ оо, действительный профиль Р„ находимый непрямым методом годографа, изменяет форму с изменением скорости д . Следовательно, эти результаты не дают примеров течений около заданного фиксированного профиля Р для изменяющихся скоростей набегающего потока. (При интерпретации течения Ринглеба как течения внутри сопла этот эффект изменения профиля также наблюдается, поскольку формы стенок изменяются, когда мы рассматриваем области увеличения д~„с ) «) Заметны, что в атом случае нецелесообразно выбирать в начестзс параметра с„нлн М 502 Гл.

У. Теория интегрирования и скачки Напомним в этой связи интересные результаты, полученные Томотикой и Тамадой путем процедуры, специально приспособленной для области трансэвукового течения "). Полученные ими профили изменялись с изменением скорости д (или М ); однако оказалось, что для изменяющихся (дозвуковых) значений величины М„(0,717; 0,745 и 0,752) получающиеся профили Рм будут почти идентичными. Таким образом, можно рассматривать их решения как приближения к течению около фиксированного профиля для изменяющихся значений параметра. Наконец, течения около заданного профиля Р, как и различные типы течения внутри сопла, были рассчитаны при помощи некоторых иэ обычных приближенных методов.

Мы приведем несколько результатов, полученных с помощью таких методов, ввиду того что они представляют интерес для данной задачи. Тэйлор рассчитал симметричное течение внутри сопла со сверхзвуковыми вонами при помощи разложения в ряды в физической плоскости ").

Другой метод, идея которого принадлежит Прандтлю, заключается в построении процесса последовательного приближения с «линеариэованным течениемэ в качестве первого приближения (метод Прандтля — Глауэрта) "). Гертлер видоизменил этот метод и представил решение в виде разложения по степеням параметра толщины; этот метод также дает картины гладких трансэвуковых течений около заданных профилей", кажется, что никакое препятствие в вычислениях не возникает. Наконец, Эммонс успешно применил классический метод замены исходных дифференциальных уравнений в физической плоскости раэностными уравнениями и решения получившейся системы конечного числа алгебраических уравнений при помощи некоторого итеративного метода (иэвестного теперь как «релаксационный методе).

Вдова можно было провести численные расчеты и получить некоторые примеры потенциальных течений с ограниченными,,сверхзвуковыми зонами "). Таким образом, мы видим, что точные трансэвуковые течения (спиральное течение, течение Ринглеба и т. п.) существуют для некоторых контуров частного вида; были найдены (с помощью методов годографа) также течения со сверхзвуковыми зонами около контуров, определявшихся а роз~ег1ог(. Приближенные решения для течений около заданных контуров были найдены с помощью различных прямых методов. Однако кажется, что будет мало экспериментального подтверждения существования таких гладких смешанных потенциальных течений со включенными в них сверхзвуковыми зонами. Непрерывное ускорение от дозвукового к сверхзвуковому течению наблюдается. Но наблюдаемое замедление от сверхзвукового к дозвуковому течению не является таким, какого можно было бы ожидать, основываясь на математическом доказательстве.

Характеристики

Список файлов книги