Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Следовательно, если в частности величина Х выбрана обратно пропорциональной Й'~е, то соответствующая функция в аамещающем течении будет всюду постоянна. Таким образом, если исходное течение является течением некоторого совершенного гага, то замещающие течения также будут течениями совершенного газа; кроме того, одно из них будет иззнтропическим, а другое будет иметь постоянный полный напор.
Для адиабатического течения совершенного газа, в котором величина Н всюду постоянна, уравнения, выведенные в предыдущем пункте, могут быть упрощены. Без потери в общности мы можем принять это постоянное значение величины Н равным 1!(2в), что эквивалентно выбору единиц таким обрааом, чтобы д =1. Тогда уравнение (16) станет таким: (19) где Ч' = ( — У~ ~ ехр (Р(еу)(узее) беу.
(20) Таким абрагом, д является функцией только от величины (дЧе~дх)з+(дЧе/ду)з, а из уравнения (10) следует, что то же самое 94.8. Приээип вамещеиия 479 справедливо и для а': аэ = — (1 — Чэ). 2 Из соотношений (5) и (15) находим Ч =(1 Ч~)-тцт-$) дЧ' 1 Чв= Ч э) — 1Л~ 0 ач (21) (22) = — — (а +(у — 1) Ч ) — + 9 Ч вЂ”,. Е'р' э э 49' э, Х''У ухд ~щ Ифэ Здесь на втором этапе преобразования мы использовали соотношения (5), (9) и (12). Далее, нз формулы (20) мы имеем Ы'Ч'/о1р' = (Р'/ЧЛ) ИЧ" / 1ф, так что последнее вырая~ение становится д~ — а э, лч' уаЛ Е Ф~.
Наконец, из соотношений (15) и (19) мы находим так что' Ч~ удовлетворяет уравнению Ээ — э~ г1, э)элт — 0 эР = уел ( ы~~' Все коэффициенты в левой части этого уравнения зависят только Заметим, что производные функции Ч", в отличие от производных функции ~>, определяются только компонентами скорости. Модифицированная функция тока Ч~ была введена Крокко47). Она остается постоянной вдоль линии тока, так как она является функцией только от ф; однако в отличие от функции ~р она претерпевает разрыв при переходе через линии скачков. Чтобы найти уравнение, которому удовлетворяет функция Ч', заменим в левой части уравнения (9) ф через Ч'.
Таким образом, мы получим 480 Гл. Ес. Теория инеаеерираеанил и скачки 4. Другой подход к задаче об аднабатическом течении ее) К задаче об адиабатическом течении возможен и другой подход. Он до некоторой степени аналогичен проведенному в п.15.7 рассмотрению адиабатического одномерного течения. Если уравнение неразрывности (22.2) умножить на и, и сложить с проекцией уравнения Ньютона (22.1) на ось х, а затем умножить на пи и сложить с проекцией на ось у, то получаются уравнения ~ ( +ей)+ —,„(ечл„)=() д д (Оч Д )+ (Р+Оч ) О (2З) Зги два уравнения позволяют пам ввести две новые функции 4(х, у) и Ч(х, у), такие, что ее 8 = — йд„п Ых + (р+ Оде) сеу, 1 (24) с(Ч= — (р+опй)дх+ЕЧ.Ч„е(у, ~ так же как уравнение неразрывности допускает введение функции ер(х, у), такой, что йр = — Ед„дх+ ЕЧ. ду (25) ]ем.
соотношения (5)]. Подставляя последнее соотношение в соотношения (24), получаем *) сей= д„йр+рссу, й~=дедф — рдх. (26) Мы видели, что в адиабатическом течении энтропия Ю(р, о) является функцией только ер. Предполагается, что эта функция, скажем Р(ер), определяется граничными условиями. Следовательно, предполагаемая функция Р обеспечивает связь между р, о, ф во всем потоке. Если аа новые независимые переменные вместо х и у выбираются любые две иа этих трех переменных, то третья переменная в любой заданной задаче может рассматриваться кан известная функция от этих двух.
Кроме того, соотношения (24) могут быть переписаны в следующем виде: п$ = д„й~ — у Йр, с(т~ = с7„йр+ х йр, (27) ') Для элемента линии тока аф=О величины ае и дц являются компонентами по осям х и и силы давления, дейстетющей на этот элемент. Следоеательно, полные изменения величин $ и Ч вдоль фиксированной границы дают компоненты силы даеления жидкости. от дЧс(дх и дЧ'(ду [сьь формулы (21) и (22)].' За исключением произ- водной ИР~ЫЧе, которая является заданной функцией от Ч', пра- вая часть зависит только от (дЧе~дх)е+(дЧ'/ду)е. 482 Гл. 'е'. Теория интеерираеания и скачки ношением (29) (34) так что уравнение (33) является уравнением Бернулли, в котором величина полного напора Н на каждой линии тока равна СЦ)/д. Как и ранее, мы предполагаем, что эта функция определяется граничными условиями. Уравнение (33) может быть записано в виде 2Д (т) (35) где правая часть является функцией от ф и р, определяемой граничными условиями.
Таким образом, уравнение Бернулли выражает то обстоятельство, что для любой заданной задачи скорость д является известной функцией от чр и р. Определив эту функцию, мы можем заменить уравнение (31) уравнением (34). Дифференцируя уравнение (35) по р, находим — = — о — ° аа др (36) Далее, величина а' представляет собой скорость изменения р при изменении о, когда частица движется вдоль линии тока, так что эо' 1 др ае' поскольку эта производная берется при постоянном чр. Таким образом, дифференцируя уравнение (36), получаем М 1 йачэ '*Ч . др~ ' (37) Следовательно, движение будет дозвуковым или сверхзвуковым в зависимости от того, является ли величина дад/дра отрицательной или положительной (см.
также п. 8.1). Если разрешить уравнения (32) и (34) относительно дц7дчР и дач)!дра и исключить из полученных уравнений ч1 путем приравнивания дач17драдф и дач1/дфдра, то мы получим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка для $. Это уравнение является уравнением типа Монжа — Ампера, но весьма сложным в отличие от уравнения этого же типа, фигурировавшего в п.15.7. Так как уравнения (32) и (34) симметричны относительно $ и ч), такое же уравнение Монжа — Ампера получается для ч) при исключении $.
Если ~ и ч) выражаются через направление потока 8(чр,' р), то получается менее сложное уравнение. Согласно соотноше- 483 8б.б. Достоточиосоьь условий иа скачке киям (29), можно написать — = д соз 8, — ~ = д з)п 9, 88 дс ' дф (38) и тогда уравнение (34) автоматически выполняется.()Дифференцируя уравнение (32) дважды по ву, мы получаем два уравнения; из этих уравнений и уравнения (32) $ и ц могут быть исключены с помощью формул (38).
Окончательное уравнение для 9 будет иметь вид двз двз дв8 А — +2 — +С р дфв дьу др дрв где Вто Уравнение, подобно УРавнению (9) для ф в фиан плоскости, является квазилинейным и неоднородным. Его преимущество по сравнению с уравнением (9) заключается в том, что коэффициенты А, В, С и г" известны в явном виде как функции от вр, р, д91дкр, дд/др, поскольку изменения полного напора и энтропии при переходе от одной линии тока к другой заданы граничными условиями. Функция о(вр, р), входящая в эти коэффициенты, тоже известна (см. уравнение (35)]. В уравнение (9) входили 8, йи и оо, которые должны были быть определены как функции величины кр и ее производных с помощью соотношений (5) и (10), так что в общем случае они не выражаются в явном виде. 5.
Достаточность условий на скачке в') В п.14.2 было показано, что условия на скачке (14.2)и (14.9) являются необходимыми условйями, связывающими исходное н конечное состояния жидкости при резком переходе, который является пределом одномерного неустановившегося течения вязкой жидкости.
В п. 22.2 то же самое было показано для условий на скачке (22.3) и (22Л6) в случае установившегося плоского течения. Сейчас мы покажем, что эти условия являются в некотором смысле также достаточными. Для этой цели мы сначала рассмотрим случай одномерного неустановившегося течения и введем более удобную систему координат в плоскости я, 1. Мы рассмотрим заданную линию Ю с уравнением х = Щ которая нигде не параллельна оси х, а в остальном произвольна, и введем криволинейную систему координат, координатные линии которой состоят из линий, параллельных оси х, и кривых, 31* Ги и.
Теория иитегриреваник и скачки получающихся параллельным ререносом линии Я в направлении х (см. рис. 164). В качестве одной координаты (а) точки Р Р н с. 164. Криволинейные коордвнаты в плоскости к, в. мы берем расстояние этой точки от линии Я в направлении оси х, а в качестве другой (р) — время в': а = х — ~(1), (39) 'Таким образом, д д дх да' д д д — = — — с (р) —, дг др да ' (40) (41в) где К = )сдТ(да и в соответствии с равенством (11.6) о„' = р,ди,'да. Эти уравнения подобны уравнениям (14.4), (14.5) и (14.6). Проиэ- где с (р) = вЧ(р)д1р представляет собой измеряемый от оси наклон линии а = совзь в точке Р.
Дифференциальными уравнениями, описывающими квазиадиа- батическое течение совершенной вязкой жидкости в плоскости х, 1, будут уравнения (11.2), (11.3) и (11.4'). Преобразуя их с помощью формул (40), получаем — (д (и — с)) + — — О, (41а) о (и — с) — + — (р — о„) + о — = О, ди' д ди да да х др (41б) д Г иг дЛ 1 д Е( — с) — ~ — + Т")+ — (в( — „) — й-)+ да'ь 2 т — г ( да ад. Достаточность условий на саочас 485 водная д'/д/, входящая в уравнение (14.6), эквивалентна производной д/д(1.
Однако в 2 14 не было необходимости вводить новую систему координат в явном виде. Теперь мы увеличим координату а в отношении 1:р„т. е. введем новое независимое переменное г= а/р„предполагая для удобства, что р постоянно. При такой замене переменногоуравнения (41) станут следующими: д ьч( )ь ро д д дс (42а) ди д ди й (и — е) д + д (Р '") = Р Е дб д Гиь 2В, 1 д о(и — с) — ~ — + Т ~ + — (и(р — о„') — К'1= до ~ 2 т — 1 1 до д Г иь гЛ = — рой — ( — + — Т1, (42в) дд( З (42б) где ди о„'=— да К= — —. а дТ (43) уо дс Правая часть каждого из уравнений (42) содержит множитель ро, который, как мы видели в п.11.5, является чрезвычайно малой величиной для воздуха (и других газов).
Заменим теперь правые части. нулями н рассмотрим решение получившихся уравнений, в которых и, р, й и Т стремятся к конечным .аначениям как при г — ь — со, так и при г — о+ со (каждое состояние зависит от р). Для этих состояний мы будем использовать индексы 1 и 2,' приписывая индекс 1 состоянию г= — со и индекс 2 состоянию г = + со, если величина и†с положительна, и наоборот, если и†е отрицательна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
