Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Пусть — 6 (которое должно 'быть найдено) представляет собой наклон прямолинейной разделяющей линии тока ВС к профилю АВ. Тогда в соответствии с формулами (18.4), которые определяют переход через бегущую назад волну, и формулой (8.16) имеем 6=Е,-а, (у — 1) Ме+2 )тлт — е> (11) (у — 1)М1+2 / — ) Кроме того, с помощью соотношений (22.32) и (22.21), описывающих ударный переход через ВЮ„получаем 6= — агс(,д ( '+ ) ' (1 — о) те+1 — Ы Г . 2уМ', (12) Рз (. (у+1) (1+ сее) Ье й' ' где т,— котангенс (отрицательный) угла АВ8,. Здесь величины с и е( должны вычисляться по формулам (22.31), где М, следует заменить на М,.
Остается определить те значения величин М и т„для которых формулы (11) и (12) дают одно и то же значение 6 и Рз=Ре. Если величинам Мз н т, в формулах (11) и (12) дают возможность изменяться, то соответствующие точки (6, Рз) и (6, Ре) ияк Ю) А Р и с.
157. График зависимости давления от угла отклонения линии тока для течеяия около профиля. вычерчивают в плоскости 6, р две кривые (см. рнс. 157), пересечение которых дает общие значения отклонения и давления'е). Для каждого 6о эти кривые имезот общий вид, показанный на рисунке, как это можно видеть нз рассмотрения формул (11), когда Мз увеличивается от М, до оо, н формул (12), когда Гя. 'е'. Теория интеерироеания и скачки увеличивается от — ссдао до О. Легко показать, что для достаточно малого 6, (зависящего от М,) точка А, будет лежать между Ао н А,", так что кривые имеют только одну точку пересечения й последняя будет достаточно близка к А„чтобы она соответствовала звуковому или сверхзвуковому состоянию 4.
В пределе при 6, -о 0 расстояние А,А," = 2ур, (М,' — 1)((у+ 1) стремится к 2ур,(М,'— 1)/(у+1) ) 0 и точка А, стремится к точке А„которая затем становится точкой пересечения кривых при Ме=М,) 1. Кроме того, точка А, лежит выше точки А для 6 ) О, так как р,) р,) р,. Этот результат следует теперь из непрерывности по 6, всех рассматриваемых функций. Как только точка пересечения становится известной, пз соотношений (11) и (12) легко могут быть найдены величина М, которая дает угол наклона аз=агсе1в(1/Ме) прямой ВИ', по отношению к ВС, и величина тю которая определяет положение прямой ВЯ .
Линии тока в области ЗеВТ, занятой бегущей назад волной, даются тогда (см. уравнения (18.9)) уравненияьш г( соз ~ =сопэо, 28=0,,+бе, ф — 2ч ~ье где г и ф — полярные координаты с полгосом в точке В. На практике для получения точки пересечения подставляют различные значения 6 в выражения (11) н (12), вычисляют соответствующие значения р, и р„а затем интерполнруют так, чтобы эти значения стали равными. Мы получим первое приближение, заметив, что на нижней стороне профиля переходы представляют собой бегущую вперед волну и скачок с отрицательным отклонением.
Следовательно, из формулы (8), полагая г"=р, мы имеем (14) р — р, = а (6 — 6) + 6 (6, — 6)'+ 0 (6,6)', (13) где а и Ь вЂ” некоторые постоянные, аависящие от нулевого состояния, но не зависящие от бо или 6. Аналогично для переходов на верхней стороне Р— Р = — (6 — 6)+ 6 (6 — 6)'+0(бо,б)о. Таким образом, р,— ро=2а(бо — 6)+0(бо 6)' .так что первое приближение 6=6 (прямая ВС вЂ” горизонтальна) дает значения рз и ре, различающиеся самое большее на величину порядка 0(6,') "). Рассмотрим в качестве примера случай М,=2, бе=10'. Течение на верхней стороне профиля для первого приближения 6 = бо = 10' обсуждалось в предыдущем пункте. В частности (заменяя индекс. 2 предыдущего пункта на 3), мы нашли ро=1 0028ро Ма=1 9884 кл.л.
Течение около ирллчолинеаного ирофилл 455 Аналогично для течения на нижней стороне профиля при 6 =10' мы находим ре = 0,9995ро Ме= 1 9862' Таким образом, приближение 6 = 10' дает большее значение величины рз, чем ре. Поэтому истинное значение величины 6 несколько больше 6„(см. рис. 157). Для 6=10'6' соответствующие значения будут равны рз = 0 9970ро Ме = 1 9920 ре = 1'0052ро Ме = 1~9822 и теперь ре превосходит ре.
С помощью линейной интерполяции находим второе приближение 6 ='10'2'. Повторением этого процесса с более точными значениями давления может быть достигнута любая заданная точность. Таким образом, в этом примере разделяющая линия тока ВС отклоняется вниз даже в том случае, когда первоначально поток отклоняется вверх. Соответствующие значения чисел Маха будут Ме = 1,9894 и М4 — 1,9850, и общее значение давления будет р, = ре = 1,0011р,.
Читателю полезно самому вычислить величины рю 94, Мк, 94 94 и определить положение характе(исгики ВТ, н линии скачка ВЯк. При этом получается, что отношение плотностей 94~94 очень близко к единице, так что разрыв при переходе через ВС в действительности будет незначительным, хотя мы начинали с большого отклонения 64=10'. Численные значения, полученные в приведенном примере, были использованы при построении рис. 156. Сила. давления на профиль равна (р, — р,)1 = (1,7066 — 0,5480)р 1 = 1,1586р,1 н направлена вниз перпендикулярно к АВ. Заметим, что для определения атой силы не требуется знать' состояний 3 и 4.
В общем случае по аналогии с разложениями (13) и (14) мы можем написать р ре — або+ 664 + О (64), р р,= — аб,+66,'+0(6,'), так что р,— р,= 2аб,-(-0(6,'). В соответствии с формулой (2) постоянная а равна — 'чед, ий а, = е Следовательно, сила давления на профиль будет равна УМ1 — 1 Р 2тм454 1+ 0 (64) Для вышеприведенного примера первый член этого выражения дает значение 1 1285ро1, которое меньше точного примерно на Зо/о.
458 Гл. У. Теории интесрирасанил и скачки Отражеиньс скачок 4. Поведение скачка у стенки (отражение косого скачка) ") В этом пункте мы рассмотрим другой пример, основанный на теории отклонения линии тока скачком, развитой в предыдущем параграфе. Данный пример служит дополнением к примеру лобового отражения скачка от стенлокоеци пса ки, который был разобран в п.15 1. Допустим (см. рис. 158), что неподвижная плоская стенка рас/7адающил положена под некоторым углом окачок к направлению движения одномерСтаико ного ударного фронта, ивтенсивность которого постоянна и впереди которого газ покоится. После Ноарооление печенок прохождения скачка газ начинает двигаться к стенке, тогда как на стенке он должен двигаться параллельно ей.
Задача заключается в том, чтобы найти картину течей ния за скачком, удовлетворяющую обоим этим граничным условиям. Так как скорость скачка постоааараоаание янна, линия пересечения скачка' и теченаа стенки движется поступательно Р в с. 458. Отражение косого вдоль стенки с постоянной скоскачка от яеподввжяой ростью. В системе координат, двиставкя. жущейся с этой скоростью, скачок покоится, а стенка движется вдоль самой себя.
Если теперь направить ось з вдоль линии пересечения, то, ввиду того что граничные условия не зависят от з и г, мы можем рассматривать эту задачу как задачу об установившемся течении в плоскости х, у. В этой плоскости (см. рис. 159) прямая линия ОЯ изображает ударный фронт, наклоненный к стенке И'ОЙс под углом в. Теперь газ перед скачком движется вдоль стенки, а линии тока будут вертикальными прямыми линиями, которые ниже ОЮ отклоняются к стенке.
На стенке скорость должна быть вертикальной, и, следовательно, линия тока, проходящая через точку О, в которой ударный фронт встречается со стенкой, должна оставаться вертикальной. При соответствующих условиях решение, удовлетворяющее этому требованиао, получится, если предположить, что существует и второй ударный фронт ОЯ, составляющий угол а с вертикалью, идущей вниз от точки О; при переходе через этот фронт линии тока снова меняют направление так, что становятся опять вертикальными. В соответствии с п.22.7 имеются два возможных положения этого второго скачка и, следовательно, 457 23.4. Отраакение косого скачка два значения величины в для каждого соответствующего о». В противоположность примеру, разобранному в предыдущем пункте, в данном случае мы можем точно определить условия, при которых такое решение имеет место.
Наблюдатель, покоящийся относительно стенки (теперь движущейся), видит сначала скачок ОЮ, движущийся наклонно по направлению к стенке, а затем скачок ОХ движущийся наклонно от стенки. Это явление известно как отражение косого скачка. Термин «отражение» подразумевает выполнение условия симметрии со = «е. У Р и с. 159. Отражение скачка, рассматриваемое в движущей«и системе коордиват.
Йг Однако мы увидим, что это условие может выполняться только для одного частного значения «о. Для очень слабых скачков оно может приближенно выполняться для всех значений «о. В плоскости годографа (рис. 159) состояние жидкости перед первым скачком изображается точкой 1, лежащей на оси ок. Точка 2, соответствующая состоянию за первым скачком, лежйт на пересечении ударной поляры с вершиной в точке 1 и линии, проходящей через точку 1 под углом 90' — о» к оси д„. Точка 2 будет обозначаться также через 1, чтобы показать, что она изображает течение перед вторым скачком.
Точка 2 (соответствующая состоянию за вторым скачком) должна лежать на ударной поляре с вершиной в точке 1 и, кроме того, на оси д„, так как мы требуем, чтобы линии тока за вторым скачком были снова вертикальными. Вообще говоря, имеются два возможных положения точки 2; одно из них соответствует слабому отраженному скачку, Гл. У. Теория иилвегрироваиия и скачки те=с1я(а — б) = т,+е 1 — етд ' екк (дб. Разрешая его относительно М„получаем М,' т, (т',+ Ц (15) (Л' — 1) (е'+1) (1 — ет,) [ет',+(Ле — 1) т,+Л'е) Второе уравнение получается из этого путем замены индексов и 2 на 2 и 1 соответственно и одновременной замены е на — е М2 т- (те+1) (1+ет-) [ет — (Л вЂ” 1) т-+Л е] ('6) (Л' — 1) (ее+1) где, очевидно, т-=стйа.
Правые части уравнений (15) и (16) станут одинаковыми, если положить тз = — т,. Этот случай должен быть исключен, так как он соответствует равному и противоположному переходу, следующему сразу за первым, а такой переход нарушал бы условие (22.16) для скачков. Приравнивая эти две правые части, мы получаем кубическое уравнение для т- как функции т, и е. Одним корнем этого уравнения является т-= — т„и им надо пренебречь; два других корня удовлетворяют уравнению Ат.-+Втй+С=О, т-=ссйа, 2 2 (17) а другое — сильному отраженному скачку. На рисунке изображен угол а, соответствующий слабому скачку.
Чтобы фиксировать состояние 1, мы заметим, что скачок Оо характеризуется своей интенснвиостью, которая мовсет представляться с помощью величины т) = р /р„п углом а наклона к стенке. Тогда формулы (22.21) при М,„= М, э[в а определяют величину М„ а следовательно, и точку 1, так что может быть проделано построение, описанное в предыдущем абзаце. Теперь наша задача заключается в вычислении величины а и отношения давлений в) при переходе через второй скачок как функций а и т). С этой целью мы прежде всего ааменим т) через б — 'отклонение линий тока, вызванное скачком в плоскости х, у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
