Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 85
Текст из файла (страница 85)
При М, — ь аа из формулы (34) 22.6. Отклонение линии тока, оыеыеаемое скачком ч37 имеем т,' — »1)Ьв, а из формулы (32) в — »(Ь* — 1))25=1/)~ук — 1. Таким образом, линия тока при пересечении скачка не может быть отклонена более, чем на угол агс в)п(1/у), каким бы ни было число Маха набегаюв(его потока. Для у = с( этот угол равен 45'35'. Формула (32) ыожет также быть использована для нахождения т, =с(па, в зависимости от т,. Так как 6 = а, — о, она дает чо — тк (ст1+ сО т, 1+кето (1 — с) се+1 — 6 так что (т,'+ 1) т, т, (36) — сч',+(1 — с — 6) ч1+1 — 6 сгт1+И, ' где с,= -с= 2 (у — 1) Ыо~+2 =(у+цм" ,'= = (у+1)м; с(,=1 — с)= —, Для каждого значения М, имеется соответствующая кривая в плоскости т, тг, связывающая наклоны а и а, линий тока Р и с.
151. Связь между углами скачков при фиксированном числе Маха набегающего потока. к скачку до перехода и после него(см. Рис. 151). Когда М, возрастает от 1 до сс, величина с, монотонно .убывает от 2/(у+1) до О, а б,— от 1 до (у — 1)!(у+1). Таким образом, для каждого положительного т, формула (36) показывает, что т, с увеличе- Гл. 'г".'"Теория интегрирования и скачки нием М, монотонно возрастает от при М1= 1 ( 1'+ () '21 до у.+ 1 т2 21 у — 1 при М,=со; для т, ( 0 имеет место обратный процесс.
Любая кривая (36), которая соответствует некоторому физически возможному переходу, лежит между этими двумя последними кривыми. Каждая такая кривая пересекает линию та = т, в начале координат и в двух точках (+ сСд а1, +сйд а,) и ( — с(д а„— с(6а1). Интерес представляет только тот участок этой кривой, который лежит между двумя последними точками, так как для физически возможного скачка должно выполняться неравенство (33). Формула (36) была получена путем, алгебраических преобразований соотношений (3). Теперь поменяем местами индексы 1'и 2, оставляя эти уравнения неизменными.
Отсюда получается, что перемена этих индексов местами в формуле (36) дает новую формулу, которая также является следствием соотношений (3). Таким образом, мы получаем с221+аг ' (37) где з (у — Э м1+х с2=( +в)М2~ 2= (,+в)мг Этот результат можно рассматривать как уравнение, определяющее М, в любой точке плоскости т„т,.
Рассмотрим в плоскости я„г, семейство кривых, определяелюе формулой (37) с неограниченным параметром М . Это семейство является зеркальным отражением относительно линии та = т, семейства, определяемого формулой (36) с неограниченным параметром М,. Мы только что видели, что физически возможным скачкам соответствуют только те точки,. которые лежат между линиями т, = т, и т = (у+ 1) 21/(у — 1).
Соответственно этому,. физический интерес представляет только та часть каждой иа кривых (37), которая лежит в этой клинообразной области. Теперь ограничения, наложенпые на й (см. п.3), могут быть проверены путем рассмотрения значений т, на концах этой части кривой. В некоторых задачах известной является степень сжатия 2( при переходе через скачок, а не число Маха М, перед ним (см. п.23.4). Отклонение' 2( от 1 является мерой интенсивности ударного фронта, так же как отклонения эквивалентных величин 22.В.
Отклонение линии тока, вывеваемое скачком 439 ь, ь Мги н Ме„. Из рнс. к43,б мы имеем т, с(д о, о/и, и ъв с19 о, о/ие ид что дает связь между о,, ое п интенсивностью скачка, характеризуемой величиной 9. Так как ок=о,— б, мы можем теперь заменить т, в этой формуле выражением (т,+э)/($ — ете). Затем, разрешая результат относительно е, получаем з=( Ь+ко в (т1+1) — 1 ' (38) где 1 '4 Ьее)+1 1 — 1 $ — 1 (а* — 1) (ч — 1) ' Для каждого значения интенсивности скачка г формула (38) дает в плоскости е, т, некоторую кривую (см. рис.
152). Когда в) Р н с. 152. Связь между углом отклонения линни тока н нанковом скачка прн фиксированной интенсивности скачка. возрастает от в до со, в монотонно убывает от со до /ве/(/ве — 1) =' = (у + 1)/2. Таким образом, для фиксированного положительного т, формула (38) показывает, что с увеличением в) величина з монотонно увеличивается от э=О при т)=1 до 2ке (т+ ) (+у — 1 11се точки, лежащие между этими двумя кривыми, соответствуют физически возможным переходам. Заметим, что кривая т) = со является той же самой, что кривая М,= со на рис.
149. Гя. )е. Теория интеерироеания и скачки Формулу (38) можно также получить, полагая в коэффициентах с и ее формулы (32) М,*=М,'„(ч',+1) и используя соотношения (21). ?. Сильные и слабые скачки Мы видели, что для каждого заданного сверхзвукового состоявня р„, 0„ д,. 0, имеется бесконечное число состояний р„ йю 0ю котоРые УдовлетвоРЯют УсловиЯм на скачке.
Таким обРазом, требуется по крайней мере еще одно условие для того, чтобы фиксировать состояние 2. Во многих задачах (см. п.23.2 и 23.3) это условие заключается в задании отклонения линии тока Ь = = Ое — О,. Мы предположим для определенности, что заданное значение Ь положительно и, конечно, не превышает Ьи,„, Когда М, и Ь известны, уравнение (32) становится кубическим. уравнением для тп В интервале, определяемом неравенством (ЗЗ), это уравнение имеет лишь два корня (см.
рис. 149). При Ь.=бы,„,. эти корни совпадают и имеется только один возможный наклон скачка о,. В этом случае состояние 2 определяется однозначно. Ксли, однако, Ь < Ь„„„, то эти корни различны и имеется два возможных наклона скачка, каждому из которых соответствует разное состояние 2 эа скачком. Переход, соответствующий большему корню (меньшему значению и,) будем называть слабым скачком для задавного отклонения, а первход, соответствующий меныпему корню (большему значению пе),— сильным скачком е"). для оправдания этих названий мы заметим, что, когда т, увеличивается, величина М',„= М',/(те,.+ 1) уменьшается и, следовательно, отношение давлений рз/р, уменьшается [см. соотношения (21)].
На рис. 145,а слабый скачок определяется положением точки 1е„близким к Д„а сильный скачок —, положением, близким к точке А. Когда Ь -ьО, сильный скачок стремится к прямому скачку, а слабый скачок — к нулевому скачку. В общем случае течение за сильным скачком является дозвуковым, а за слабым скачком — сверхзвуковым (см. рис. 149). Однако это различие исчезает, если значение Ь приближается к Ьи,„, . Чтобы доказать это, достаточно показать, что для любого М, ) 1 положительное значение Ь„,, для которого течение за скачком является звуковым (т.
е. Мз = 1), не равно Ь„,„о Мы проделаем это, показав, что значение т„соответствующее Ь„., в действительности всегда болыпе значения, соответствующего Ьи,„о,. Таким образом, мы также докажем, что течение за сильным скачком всегда будет дозвуковым (см. рис. 149). Согласно формуле (3?), при М,=1 углы и, и и, связаны соотношением (у+1) т, 2тее+ У+ 1 2З.У. Сильные и ела6ые екачки 441 Но величина т всегда может быть выражена через т, и М, с помощью формулы (36). Таким образом, исключая т„мы находим 2т', + (у + 1) (с»т, '+ И,)е — (у+ 1) (с,т, '+ Ы,) = О.
Следовательно, для каждого М, > 1 значение т„для которого 6 = б,к, является корнем уравнения Ат', + Вт»е + С = О, где А=2, В = (у+ 1) М; — (3 — у) М;+ 4, С = — (М', — 1) Иу — 1) М,'+ 2]. Корни этого уравнения, которые соответствуют действительным значениям т„определяются формулой т', = с1в' и, = — 4 [(у+ 1) М, — (3 — у) М',+ 4]+ 1 + 4 )е (у+ 1) [(у+ 1) М» — 2 (3 — у) Ме -[-'у -[- 9], (39) н искомый корень есть положительный квадратный корень из этого последнего выражения. Формулу (39) следует сравнить с формулой (34), которая определяет значения т„соответствую- щие 6=6„,„, Следует также сравнить формулу (у+Я м*,— [з — у) з[п и»= 4,М[ + (у+1) [(у+1) М[ 2(З у) М[+у+9) + 4уМ» с формулой (35). Чтобы показать, что значение т„определяемое формулой (39), всегда больше, чем значение, даваемое формулой (34), мы рассмотрим поведение функций )(х) =Ахз+ Вх+С и я(х) =Аха+ +Вх+С при х > О.
Ясно, что функции 1(х) и д(х) являются положительными для достаточно больших значений х и что разность /(х) — д(х)=(у+1) М,'х(х+1) положительна при х > О. Следовательно, функция я (х) отрицательна, когда х принимает значение положительного корня уравнения /(х) = О, но затем становится положительной. Таким образом, положительный корень уравнения я(х) = О, определяемый формулой (39), больше, чем корень уравнения ~(х)= О, определяемый выражением (34). В табл. т[ приведены значения 6„,„,, б„и соответствухицие значения и, для различных значений М, и у = '! . Соответствующие кривые в плоскости т„е изображены на рис.
149. 442 Гя. Г. Теория интлариреваяия и екачхи Разность между этими двумя значениями О никогда не превышает 4'30'. Аналогично Ь„,„,, — б„, никогда не превышает 30'. Таблица Ч1 ОТКЛОНЕНИЯ б е И бвв. И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ЗНаЧЕНИЯ а1 ПРИ У=он Маиеинальнее отклонение м м, бвв. онана. а, -' -В качестве примера рассмотрим равномерный поток с М„= 2, который отклоняется на угол б = 10' прямолинейным скачком ОЯ, проходящим через заданную точку О (см. рис.
153). 83 42 Я л 32'72' Р и с. 153.' Отклонение однородного потока сильным и сла- бым скачками. Для заданного' М, это значение б меньше, ' чем обе величины б„, и б„. Из формулы (32) мы находим, что сильный скачок имеет наклон 0,=83'42' по отношению к набегающему потоку, а слабый скачок имеет наклон О, = 39'19'.
Эти наклоны показаны на рисунке. Соответствующие значения М,„равны 1,9879 и 1,2671; следовательно, из уравнений (21) н (22) мы получаем М,„= 0,5794 и 0,8032, Р* = 4,4438 и 1,7066, Р, 9' =.2,6487 и 1,4584. Оь 1,0 1,5 2,0 2,5 ,3,0 Я.Б 4,0 90' 66'36' 64о40' 64'48' 65'15' 65'41' 66'3' 67'48' 0' 12об' 22'58' 29'48' 34'4' 36'52' 38о47' 45'35' 90о 62'15' 61'29'. 62'39' 63'46' 64 37' %'15' 67'48' Оо 11о41' 22'43' 29'40' 3401' 36'50' 38'45' 45о35 оЗ.Е Сравнение отклонений, вывваннык екачками и.лроетыни волнами 443 Два значениЯ пе Равны 83'42' — 10' = 73'42' и 39'19' — ' 10' = 29о19;, а соответствующие значения М равны 0,6037 и 1,6405. 6 20. ПРИМЕРЫ. ТЕЧЕНИЙ СО СКАЧКАМИ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
