Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 80
Текст из файла (страница 80)
У. Теория ава«вврированаа к скачки 412 Производящая функция, удовлетворяющая всем этим условиям, является функцией, определенной равенством (35), где теперь мы напишем С(ц Л, 8) =К(е', 2, 1) или (56) где С„= С„в+РС„. Мы нашли прямым вычислением, что выражение, стоящее в правой части равенства (56), удовлетворяет уравнению (51). Следовательно, не только функция фо(д, 0), определенная равенством (36), но также и производлзцая функция С(Ц Х, 0), определенная формулой (35), удовлетворяет уравнению (8). Мы видели раньше, что для данного К, определяемого равенством (56), условие (52) выполняется, и мы можем проверить, что для него условие (48') также выполняется ").
В качестве второго примера рассмотрим производящую функцию Лайтхилла, входящую в выражение (23). Здесь используются другие обозначения: 2 = в — е — (8, 1 = 1п ~ или е' = Ь; функция зо в выражении (23) является потенциалом в плоскости годографа и обозначается теперь через вос Полагая а =У ', рассмотрим производящую функцию сс К (2, 2, 1) = а Я С,,вй (т) е «=о (57) Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению, так как ему удовлетворяет каждый член суммы в отдельности.
Усло- функция о(з„з ), определяемая выражением (49), удовлетворяет тому же уравнению, а именно Х'(о) =О. Если затем мы положи.к с=Р!4 и ограничимся рассмотрением комплексных переменных к = Л вЂ” (О, о = Л+ 18 вместо з, з, то функции К(2, У, 1) и и(2, Е) будут удовлетворять уравнению (8). Если, наконец, мы предположим, что для К выполняется условие (52) и выберем ранее произвольную функцию /(1) в виде (53), то мнимая часть функции и(2, Й) при д -«оэ будет стремиться к функции тока течения несжимаемой жидкости.
Рассмотрение было проведено в области комплексных переменных Лм 0, из-за его простоты (уравнение (47) является гиперболическим, условие (48) является условием вдоль характеристики и т. д.1. Однако легко проверить, что производящая функция К должна удовлетворять — также и для действительных Л и 0— лишь уравнению (51), условию (52) и граничному условию дК .дК вЂ” — ( — =О при 1=1 — (0. дХ де Ве.д. Сваеь методов Лалнгаилла и Бергмана вие (48) также имеет силу. Действительно, мы имеем ге дК - дК т<е+гв+г) Г д — — 1 ~ — ~~~~ Сте ' ~в (аФ„)+та~>т~ = д. дев ( ве т=о =„— ~а ~, 'С вт'ф (т)~ при! =Я. ге=О В соответствии с формулой (21) это выраяоение равно — (аУ) =О, так как У=1/а; то, что условие (52) выполняется, было проверено раньше в п.4.
Таким образом, у нас есть общий принцип, который позволяет нам преобразовать аналитическую функвеию (решение задачи о течении несжимаемой жидкости) в решение уравнения длл функггии тока с помощью производящей функции К, и у нас есть два примера таких производящих функций. Чтобы такая производящая функция была полезной, она должна обладать некоторыми свойствами: новая картина течения сжимаемой жидкости для малых чисел Маха должна быть подобна картине течения несжимаемой жидкости.
Производящая функция должна быть задана в явном виде, т. е. с помощью хорошо сходящегося разложения, и сходимость должна иметь место в настолько большой' области, насколько возможно. Операторы Лайт- хилла и Бергмана этими свойствами обладают. 8. Связь методов Лайтхилла и Бергмана" ) Теперь мы более детально рассмотрим связь между методами Лайтхилла и Бергмана. Мы начнем с формулы Лайтхилла (23) — — во СО 1 $=1ш ~ 'У', г 'в' 'о ~ ьт — е(~~, — о .о и перепишем ее так: е-е — во е г гр=1ш ~ ~в~ Л (в)в ~ ' ' ~ ь ош(ь)), где Л (в) = г вт(г — гО. Член г-г — гв е г -т<; — г,-го> ~ гт 1 (г) о Гл.
У. Теории интлерирооанил и скачки является аналитической функцией г — (О, и поэтому е — е — 4О е е — и Ое — ее — ег) ~ ~са ~1а ] Ь ос о (58) является гармонической функцией г и О. Таким образом, фор- мула (23) может быть записана в следующем виде: со ф (г, О) = ~ В (г) Ь (г, О) (59) плы при фа = аф Р фа = ~ Н„(г) Ь (г, О), (60) где Н (г) = а (г) В (г). (61) Учитывая равенство (21) и вспоминая, что а = 1/)е, мы получаем СО лл Но (г) = 1 (62) тогда как из формулы (58) мы находим д "+ Поэтому нз формулы (28) получается такая формула для Н„: О ч~~ (Н„"— 2пН„'+ГНа) Ь„= — 1ш(ш'(е 'е «~)] 2 ~~~~ Н,',(г). (63) =о — о и видим, что имеется тождественно выполняющаяся связь между функциями Н (г).
Таким образом, сравнивая формулу (60) с формулой (27) и вспоминая, что с точностью до постоянного слагаемого г и Х совпадают, мы видим, что одно и то же уравнение решалось двумя авторами с помощью разложения одного и того же типа и что формула (60) неизбежно приводит к тождеству (28) с Ь„ и Н„вместо я„и С„. Теперь, однако, разница становится очевидной: требование, налагаемое на ун, отличается от требования, налагаемого на Ь„. Бергман выбирает условие (29), а именно дга 1 2 йа-е 22.1. Отеутетеие решений Здесь, согласно равенству (62), выражение, стоящее в правой части, равно нулю, и уравнение (63) будет удовлетворяться, если Н,", — 2пН„'+ ВН„= О. (64) Теперь Н„= а (г) В„(г) =- С„а (г) ф„(е) е"', используя равенство р = — (а /а), мы находим Н„" — 2пН„'+ гН„= а (В„" — (Т+ 2п) В„'+пТВи] = = аС„е™ (лРи — Тфи — пелРи) = О 1 22.
лЕОРИИ УДАРНЫХ ВОЛН 1. Отсутствие решений Точно так же как в случае одномерного нестационарного течения (см. п.14.1), можно показать, что дифференциальные уравнения, описывающие установившееся плоское течение идеальной лкндкости, не допуокают решения, удовлетворяющего некоторым граничным условиям, которые могут обусловливаться простыми физическими требованиями. Рассмотрим уравнения, получающиеся как проекции на оси х и у уравнения Ньютона (1.1) при пренебрежении действием силы тяжести йух др 0 — = —— дл д йуе д1е е — = —— дл ду' вследствие. уравнения (б').
Следовательно, уравнение (64) выполняется. Уравнения (64), а именно ̈́— 2пН,', + РН„= О (и = О, 1, 2, ...), можно сопоставить с уравнениями (29'), а именно С,",— Си+~+ГС„= О (п=1, 2, ...), С =1. Преимуществом метода Лайтхилла является то, что функции Н (г) связаны с гипергеометрическими функциями, свойства которых всесторонне изучены. Как показано в п. 4, сходимость гарантируется во всей дозвуковой области.
Функции Бергмана С„(е), определенные рекуррентными формулами (29'), не связаны с какой-либо хорошо известной системой функций. Это является следствием его определения функции д„, которое в свою очередь составляет достоинство его метода.
Рекуррентвые формулы (29) для функций я„являются з действительности рекуррентяыми формулами для гармонических функций Бе(()л+еО)"] при надлежащей нормировке. Благодаря таколеу соответствию оператор, определенный формулой (37) и преобразующий аналитическую функцию комплексного переменного в решение уравнения (8), сохраняет многие свойства предшествующего оператора "). Гл. У. Теории ъгнтегрироеаиил и скачки где А/ггг = г/„д/дх+ двд/ду, уравнение неразрывности (16.1) а— (яд«)+ ~„(йр„) = О (2) и замыкающее уравнение ЫЯ/ггг =О (см.
п.2.3). Предположим, что между точками А и В, расположенными на оси у (см. рис. 141), жидкость течет равномерно со сверхзвуковой скоростью, параллельной оси х: д„=д„г/и=О, р=р, и а = и, ( г/о, где г/о, ро и ао являются постояннымй. Через точки А и В проводятся две прямые линии с углами наклона + агс з1п (ае/г/о) и — агс з1п (ао/до) и наносятся горизонтальные линии тока, изображающие однородное течение д„= г/„г/и — — О и р=р, внутри треугольника АВС.
Тогда это решение удовлетворяет приведенным' выше дифференциальным уравнениям, а также граничным условиям на прямой х= О. Далее, течение является баротропным вследствие того, что энтропии будет одной и той же для всех частиц, когда они пересекают линию АВ. Р и с. 141. Граничные условия, при которых не существует решения задачи о течении невязкой жидкости. Кроме того, любое решение этих уравнений (см. п.6.5), удовлетворяющее граничным условиям, должно соответствовать безвихревому течению, так как определяемая этими граничными условинми функция Бернулли будет постоянной во всем соответствующем течении.
Но, в соответствии с изложенной в п.16.4 теорией безвихревого баротропного движения невязкой и нетепло- проводной жидкости, решение в характеристическом треугольнике АВС однозначно определяется условиями вдоль АВ. Зто означает, что дифференциальные уравнения невязкой и нетепло- проводной жидкости не имеют в АВС решения, согласующегося с заданными граничными условиями, кроме решения д„= г/з, г/„О везде в АВС. 23.1. Отсутствие ресвенау 447 Конечно, можно на жидкость, проходящую между А и В, наложить некоторые дополнительные условия. Это утверждение основывается на двух свойствах жидкости, которые наблюдаются при сверхзвуковом движении»»).
Во-первых, жидкость, движущаяся равномерно, может быть отклонена без заметного возмущения условий вверх по потоку при условии, что отклонение происходит постепенно. Во-вторых, если данное отклонение происходит постепенно при некотором значении числа Маха, то оно будет также происходить постепенно и при всех ббльших значениях числа Маха. Эти обстоятельства будут отражены в теории, представленной в последних двух пуйктах этого параграфа. Предположим, что в данном примере (рис. 141) жидкость ограничена снизу стенкой, один конец которой находится в точке А, и что в этой точке касательная к стенке горизонтальна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
