Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Если же р, ниже, чем критическое давление, то струя будет полностью или частично сверхввуковой, и метод Чаплыгина в атом случае применять нельзя'е). ГЛАВА У 'аКОРИЯ ИНХКГРИРОВАНИЯ И СКАЧКИ з 2Е РАЗВИТИЕ МЕТОДА ЧАПЛЫГИНА 1. Задача В этом параграфе мы излол<им два различных метода построения решений некоторых краевых задач. Задача о струе, разобранная в предыдущем пункте, является краевой задачей, которую можно решить точно. Основная причина этого заключается в том, что граничные условия в плоскости годографа появились естественным путем; кроме того, задача, с которой мы имели дело, была полностью дозвуковой. -В практически важных задачах о течении за телом и течении в канале граничные условия задаются в физической плоскости, к поэтому. применение метода годографа к этим задачам связано с болыпими трудностями.
В первой части настоящего параграфа мы обсудим методы, разработанные главным образом Лайтхиллом. Работа Черри сделана неаависимо от работы Лайтхилла; Черри идет в том же направлении, а в некоторых отношениях и дальше. Однако кажется нецелесообразным обсуждать здесь обе работы— Лайтхилла и Черри, а работу последнего несколько труднее палок<ить в малом объеме. Во второй части этого параграфа мы будем иметь дело с методом Бергмана и некоторыми из его результатов. Мы также укажем математическую связь между этими двумя методами. В и. 20.1 и 20.2 был изложен метод Чаплыгина построения течений сжимаемой жидкости.
По определенным правилам было построено течение сжимаемой жидкости, соответствующее течению несжимаемой жидкости. Для определения течения за препятствием метод Чаплыгина применяется следующим образом. Во-первьгх, мы попытаемся определить комплексный потенциал ш (з) = ~р (х, у) + + <<р (х, у) данной краевой задачи для течения несжимаемой х<идкости. Затем с помощью производной «ш/<Ь = д„— <о„= де — <з = <. комплексный потенциал ш (з) выражается как функция 390 Гя.
Г. Теория интегрирования и скачки а именно гп(х) =гпс(ь) =рс(0,0) +(г)гс(д,0). Как было объяснено в п.2 предыдущего параграфа, потенциал шс (ь) аатем разлагается в ряд Тейлора в окрестности точки торможения г,=О; используя переменное т = да/д,'и, мы связываем функцию тока для сжимаемой жидкости гр (т,0) с функцией тока для несжимаемой жидкости фс (д, 0) по правилу, выраженному формулами (20.10) и (20.11); па основе того, что ф(т,0) стремится к фс(0,0) при д — + со, мы принимаем ф(т,0) в качестве приближенного решения исходной краевой задачи.
Следует сразу указать дзе основные трудности, связанные с этой концепцией. Во-первых, нет основания предполагать, что если вернуться в физическую плоскость, то г(г(т,0) будет удовлетворять исходным граничным условиям для М ) О. Линия тона в плоскости х, у, соответствующая в течении сжимаемой жидкости заданному контуру, для которого мы решили задачу течения песжимаемой жидкости, ие будет совпадать с этим контуром; ее форма будет зависеть от (безразмерного) параметра, т. е. от т„ вскорости» иевозмущепяого. потока.
Мы будем удовлетворены, если для некоторой области значений т, эта кривая будет близка к заданному контуру. Мы можем также рассматривать эту трудность со следующей точки зрения. Мы ие можем найти решение, которое удовлетворяет как уравнениям движения, так и заданным граничным условиям. В только что упомянутом подходе мы удовлетворяем дифференциальным уравнениям точно, а граничным условиям приближенно *).
Другая возможность, хорошо известная в приложениях,— попытаться удовлетворить граничным условиям точно, а диффереициальиым уравнениям только приближенно. Это является одним из методов, в которых точные уравнения заменяются приближенными уравнениями в физической плоскости. (Если эти уравнения линейны, то краевая аадача может быть решена во многих случаях, по крайней мере в принципе.) Во-вторых, ясно, что метод построения функции гр(т,0) примеиим только в той области, где сходятся ряды для г)г (д,0) и гр(т,0). Ввиду того что течение несжимаемой 1кидкости имеет особенность в плоскости годографа, разложение функции во(ь) в ряд Тейлора (вблизи некоторой точки торможения) будет иметь ограпичеппый круг сходвмости; для каждой области сходимости требуется свой степенной ряд. Эти ряды должны быть аналитическими продолжениями один другого при переходе через границы этих областей, и мы здесь предположим, что эта задача может быть решена в рамках теории функций.
Однако даже если такое решение аадачи о течении несжимаемой жидкости будет *) Это применяется даже длн упрощенного подхода, обсужданщегосн е п.17.5 и 17.6. зкз. Замена коэффициента Чанаиеина (ф„(тк)) — 1 391 найдено н мы свяжем эти ряды с соответствующими рядами Чаплыгина, как в уравнениях (20.10) и (20.11), то еще нельзя утверждать, что последние должны быть аналитическими продолжениями один другого; мы увидим, что в действительности они ими и не будут (см.
п.З). В этом параграфе мы обсудим только вторую трудность, для разрешения которой были получены результаты, имеющие решающее значение. Первая трудность никем не рассматривалась. Это относится к исследованиям Черри, Лайтхилла и других, работавших в этом же направлении, а также к работам Бергмана и его сотрудников. Б следующих трех пунктах мы изложим метод Лайтхилла и его основной результат. При этом кажется полезным после некоторой подготовительной работы, которая будет проведена в следующем пункте, начать с рассмотрения конкретного примера, а именно бесциркуляционпого течения сжимаемой жидкости около кругового цилиндра, и объяснить принцип решения и встречающиеся существенные трудности, не вникая в различные математические детали.
Изучение этого течения, в котором встречаются как сверхзвуковые, так и дозвуковые скорости, будет, таким образом, способствовать пониманиао общего случая. Решение, приведенное в примере, основано от начала до конца на разложениях в ряд в плоскости годографа потенциала ша(ь) течения несжимаемой жидкости. Этого можно было бы избежать в дозвуковой области (см. п.4), если бы продолжение в область сверхзвуковых скоростей не начиналось во всяком случае с разложения в ряд потенциала в плоскости годографа. Далее в п.4 будет обсуждено общее решение для дозвуковой областик).
Однако мы не будем вдаваться в объяснение общей процедуры, рекомендованной Лайтхиллом в случае сверхзвуковых скоростей. 2. Эамена коэффициента Чаплыгина [а(э„(т,)) ~ Обратимся к разложениям (20.13) и (20.14), где функции цэ„(т) определяются формулами (20.8). При т=т, правая часть равенства (20.14) совпадает с правой частью равенства (20.13) при д= = 1, где о = д, = 1 — скорость на бесконечности и т, = 1Щ. Ранее мы указали, что если начать с одной ветви решения для течения сжимаемой жидкости ф(т,б), то главная задача заключается в нахождении его аналитического продолжения в заданной области.
Лайтхилл заметил, что использование для этой цели коэффициента Чаплыгина (ф„(г,)) ' является нецелесообразным (оно ведет к усложнениям, которых можно избежать) и заменил его другим коэффициентом, который сохраняет основные свойства прежнего и лучше приспособлен к задаче аналитического продол- Гя. )с.
Теория иитеерироеаиия и скачки 392 11ш дря(т)/(п,тд) =11ш( — ) = д . 9 со Оо, "'" т. е. чтобы при д -и о> коэффициент /(п, тд) вел себя как т;"/2. Второе требование заключается в том, чтобы разложение оэ д(>=1ш Я с„дря(т)/(п,тд)е а=э которое заменяет разложение (20.14), имело бы тот же круг сходимости, что и исходное разложение (20.13) в ряд по степеням ~ вблизи ь=0 и при т=т, практически вело бы себя подобно разложению (20.13) для 7=1. Чтобы перейти к соответствующему нормируюшему множнтелдо /(п,т,), введем вместо т новое переменное Л, определяемое так же, как и в соотношении (17.17), т.
е. ИЛ/с(д =)сс1 — МО/д; это приведет к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка для д(>(д,б). Выражая все переменные через т, имеем ' ЕЛ Л/дд у'д — М де„) с>:Ие д,/.д — т/т, ат ат/ад д 2д 2т 2т е' 1 — т Выберем пределы интегрирования так, чтобы Л=О при т=т,, сд 1 С 1 /д — т/сс Л = — — — — с(т= 2) с Г 1 — т с (2) Мы будем пользоваться переменным г=Л+о, (4) где и†постоянная, определяемаятребованием, чтобы гяк 1п(д/д ) при малых т, т.
е. чтобы 2е е Д вЂ” 29 1пп е 1шд — = е (5) с-О с О или При к=у=1,4 и Ье =тс'=6 это дает о = — й А г Рй — — — 1п (й' — 1) + 1и 2 — 1,1 7. /д 2 жения. Каковы эти основные свойства? Мы видели, что Вдп ?и(т) д(>я (тд) обозначая через /(п,тд) рассматриваемый коаффициент, соответственно потребуем, чтобы 21,2. Замена нвэгнцаициента Чааангина (Щт1)) 1 393 Видно, что г — н — оо, когда т — + О, М вЂ” + О.
Когда т увеличивается от 0 до т„г увеличивается от — со до с= — 1,17. Когда в качестве независимого переменного берется г (или Х), уравнение для функции тока (20.5) превращается в следующее: Заф баф дф — + — =Т— еа гза ав (6) где Т вЂ” функция от г (плн т, пли о), т. е.') Е З Р'1 — и ) )'1 — М* а' ( Е Если мы проведем в уравнении (6) разделение переменных, ПОЛОЖИВ ф=фи(г) Е1"В, тО ПОЛУЧИМ ураВНЕНИЕ г'Фи ° "Фи йаа "— паф =Т вЂ”" п,1а которое будет использовано далее.
Для того чтобы получить уравнение, содержащее ф, а не ее производную дф/дг как в уравнении (6), заменим зависимое переменное, положив (7) ф=~'(т)Ф* Элементарное вычисление дает (8) где*) 1" 2Р" Я'— ра У,' =Т, =( — ') =Š— ' 1 =( 17) штрихом обозначено дифференцирование по г. Уравнение, соответствующее уравнению (6'), тогда будет оно дает возможность предполонснть, что при больших )и) асимптотически ф„* = е"'. Этот результат вместе с уравнением (7) делает до некоторой степени правдоподобным следующее утверждение (которое мы приводим без доказательства).
Асимптотическое поведение функции ф„(т) для дозвуковых т при )п') — э со опреде- -"."~(а (а ') Заметим, цто а'=К ~, где К было введено формулой (17.24'). Гл. и. Теории интеерироеаиил и скачки 394 исключаются); или более точно ф„(т) = й(т) е"' ( 1+ О ( — ~ ~ (10) при /л/ — ь со, равномерно для 0 <т (т, — з, для комплексных п и ~ и+и ~ > 6 для всех положительных целых т (6 и з — произвольные малые положительные числа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
