Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Пусть л„(Л, 8) =1ш(~„(Е)] (п=О, 1, ...). (33) Тогда, ввиду того что 1ш(~„'(Х)] =дд„/дЛ, из формулы (32) получаем —,—,"=1 У„(2)] = — 1ш~ —,,]„,(2)~ = — —,, ~„„, н уравнения (29) удовлетворяются. Последовательно применяя формулу (32) и ааписывая окончательно и-кратный интеграл при помощи одного знака интеграла, мы получаем з ~„(Е) = „), ~ ~,(К)(Я вЂ” С)" 'й (л=1, 2, ...); (32') о предполагая, что д~,/Ю=7з ~ О, и предполагая с этого времени, что уэ(0) =О, имеем г 7'„(Е)=,„, ~ /,'(8)(Š— г)" й (я=О, 1, ...). (32") 0 Последнюю формулу можно проверить, применяя интегрирование по частям к интегралу (32').
Для и = 0 правая часть равенства (32") сводится к 7з(Е) — 7,(0) = ~„(Е). Таким образом, вследствие формулы (ЗЗ) имеем л Ю„(Л, В) = „1ш ~ ~ 1,'(г)(Х вЂ” е)" й ] (п=О, 1, 2, ...). (33') о Подставляя этн функции -в ряд (27), получаем Х 2з ~ Сз(Л)1ш~~ ~э(г)(Š— г) Ш~ . (34) =з Подобие разложений (34) и (23) является очевидным. 406 Гл. Г. Тоорил интегрирования и скачки Если мы введем функцию трех переменных С(Р; Л, О)= ~', — „, С„(Л)(е — 2)", о=о (35) то сможем записать ряд (34) в виде х 0*(Л, 0) =1шГ 1 С(е; Л, О) ~у,(г)1, о (36) где с17о (Е) = го (Е) й.
Кроме того, испольэуя равенство (25), получаем ча, ч=сю [) сел 9)оо) ) . (37) Правая часть уравнения (37) таким образом иреврашает кроигвольную аналитическую функцию ~ (З) в решение чр(Л, О) дифференциального уравнения второго корядка (6). Относительно законности этих операций мы заметим, что для оправдания перемены порядка операций дифференцирования и суммирования, которая приводит к равенству (34), нам нужна равномерная сходимость этого ряда и его производных в некоторой области плоскости Л, О. Перемена порядка операпий суммирования и интегрирования, которая переводит формулу (34) в формулу (36), является несущественной для, нашего конечного результата. Для оправдания этой перемены нам нужна равномерная сходимость в области с для фиксированных Л и О. Обе перемены рассматриваются в следующем пункте. Теперь выберем надлежащим образом произвольную функцию 7о (с), которая встречается в вышеуказанных формулах.
Обозначим через ш (ь), где ь" = се — 'о, потенциал в плоскости годографа в задаче о течении несжимаемой жидкости. Тогда 1ш [шо (ь)) = чуо (д, О) будет функцией тока этой задачи о течении несжимаемой жидкости, и мы выберем А (г) = " (е') (38) Затем рассмотрим переход н пределу при о — + со для фиксированных (о, 0). Для большей ясности мы напишем чр(д, 0) или ф*(д, 0) вместо чр(Л, О) или яро(Л, 0). Мы предположим (это будет доказано позднее), что 1иш С(е; Л, 0) =1 о [этот результат следует формально из соотношений (35) и (29") и равенства С = Ц.
Заметим также, что в равенстве (37) У вЂ” ъ1, 407 27.6. Сходхмость в -хо д -нх 6. Скодимость Теперь мы кратко опишем исследование равномерной сходимоети ряда (35) и его производных по Л и О в дозвуковой области. Мы рассмотрим функции Р(Л), такие, что для каждого з < О, Л < з, соответствующей постоянной С и С (е — Л)в мы имеем ~хр,~хЯ )Р) ~; Х и — < — (к=1, 2, ...). (41) лЛх лЛх Мы будем писать кратко Р << Х в случае выполнения неравенств (41) и будем говорить, что О. превышает Р или что У' является мажоравтной функцией для Р.
Если неравенства (41) выполняются, мы можем найти мажорантные функции Р„(Л) для С„следующим образом. Мы определим Р„(Л) с помощью уравнений Рот ~ = Р„"+ С (е'- Л) зР„(п = О, 1, ...), 42 Р, 1, Р„( — )=О. (42) Тогда С„<< Р„. (43) В самом деле, при и = О мы имеем Р, = С„следовательно, С, << Р, в смысле вышеприведенного определения. Теперь предположим, что С„<< Р„; тогда из формул (29'), (41) и (42) мы видим, что С з « Р Легко проверить, что функция Р„(Л) может быть определена в явном виде как Р„= и! рх(е — Л) ", (42') где ( С), аз= 2+(4 — С 7 + +С)(п+Ц-'= = р„(п-!-а,) (и+ а,)(п+ 1) '.
1 а 2 (44) ро=1 рекуррентяая формула для р совпадает с рекуррентной формулой для козффициентов гнпергеометрического ряда Н(а„а„1; х), когда о — э со. Затем на основании равенств (36) и (37), исполь-. зуя соотношения (31') и (38), мы получаем, как и предполагалось, 1!ш ф(д, О)= Иш ф*(д, О) =1ш(ш (~)) =ф,(д, О). (39) Гя. У.
Теория ияяееерироеания и скачки и мы можем написать со Н (а„а„1; х) = ~ч ', )зях". » з (44') Ввиду того что ни а„ни ае не являются отрицательными целыми числами, ряд не является конечным. Он сходится для ~х(< 1, расходится для ~х~ ) 1 и сходится равномерно вместе со всеми производными для ) х! <Ь < 1, где Ь вЂ” произвольное положительное число, меньшее единицы. Теперь мы можем оценить функцию С(~; Л, 0), определяемую формулой (35). Подставляя в эту формулу выражения (42) и (42'),. получаем со О С« '5', Р„(Л)2" — „, )Š— С!" ~~е', р„п!2 "(з Л) "— !Я вЂ” 1)"= т|=з и=0 Таким образом, используя равенство (44'), имеем С(8; Л, О) « Н(ам ае, 1; — Л. ).
Следовательно, ряд для функции С, тан же как и все его производные по Л и В, сходится равномерно и абсолютно в области, где (45) !х — ю( (46) Это оправдывает все преобразования, ранее выполнявшиеся в п.5, и доказывает, .что функция фе, определяемая соотношением (36), удовлетворяет уравнению (8). Пусть теперь д — и со. Тан как ряд (35) сходится равномерно и по ах, то мы заключаем, что С(г; Л, О) — и1 при и -о со.
Мы использовали это обстоятельство'при установлении результата (39). Наконец, мы хотим представить условие (46) геометрически. Если интегрирование функции С(е; Л, О) от 1=0 до е=е. производится вдоль прямой линии, проведенной из точки 0 в точку Е, то максимумом )Х вЂ” г( является (Я! и условие (46) будет удовлетворяться, если )2~ < 2(з — Л('или Ле+ Ое < 4(з — Л)з. (46') Границей этой области (см. рис. 140) является гипербола, уравнение которой при е — оО принимает вид ЗЛ' — О' — 8сЛ+ 4с' = О, где с = а+ 1п д,„.
409 27.7. ХХнтеерееьнее ареебраеееаиие Мы видим, что чем больше значение д„„т. е. чем ъъеньше проявляется влияние сжимаемости, тем больше становится та часть плоскости Л,б, которую мы получаем как область законности решения, и при д -е со пелучается вся плоскость 1п д, 8 'е). Равномерная сходимость ряда (35), а следовательно, н ряда фе= ~ С„д„в этой области обеспечена при условии, что сама функция Д(7) там ограничена. Р и с. 140. Область сходимости ропе- нин, полученного методом Бергмана. Вышеприведенное доказательство должно быть слегка видоизменено для функции Р, соответствующей политропическому течению, когда неравенства (41) не выполняъотся непосредственно.
Это можно сделать несколькими путями, причем основная идея доказательства и результат (46) для области сходимости сохраняются ьъ). 7. Интегральное преобразование В предыдущем пункте мы построили решение уравнения для функции тока, зависящее от произвольной аналитической функции 7с(е), в удобной форме в виде интеграла (37) с производящей функцией С(1; )ъ, О), определяемой рядом (35).
Кажется очевидным, что производящая функция С этого частного вида не является единственной функцией, с помощью которой может быть найдено Гл. г. Теория интеерироеания и скачки 410 такое решение. Теперь мы охарактеризуем такие производящие функции с помощью некоторого дифференциального уравнения и граничных условий, которым они должны удовлетворять.
Следуя Бергману, мы рассмотрим дифференциальное уравнение в частных производных Ь'(о) — = — + =О, дго дгг дгг где 'з, и з, — комплексные переменные, а с в аналитическая функция зп зг. Пусть функция трех независимых комплексных переменных К(зп з„г) является аналитической функцией переменных в некоторой должным образом выбранной области В. Мы предположим, что для всех 1 в области В функция К удовлетворяет уравнению (47) и граничному условию — =О при 1=а,. дК (48) д, Затем с помощью /(1), произвольной аналитической функции ц мы образуем функцию гг о (гз, з,) = ~ К (ап г„1)П1) г(1 (49) а и докажем, что о является решением уравнения (47).
В самом деле, мы имеем гг дг д г дг дг г () +~( г)~ дг )~= Вследствие условия (48) второй член в правой части равен нулю. Так как с не зависит от 1, а К удовлетворяет уравнению (47), мы получаем (50) Чтобы установить связь между уравнениями (47) и (8), мы будем считать, что введенные ранее переменные Л и 0 могут принимать также комплексные значения и обозначим зти комплексные переменные через Л, и дг.
Тогда з,=Л,— 10г и зг= = Л,+ 10г являются независимыми комплексными неремениыми и д 1 д 1 д д 1 д 1 д — = — — + —— дгг 2 дЛ 2г дВ,' дгг 2 дЛ 2г дз если затем в уравнении (47) мы положим с(з„з,) = "!4Р(Л,), то увидим, что 4 ( дЛ(+ дВг+ ) ' 21.с. Инпсеералъное преобразование Если в Л, и О, мнимые части положить равными нулю, то прежде независимые переменные г, и з, станут комплексно сопряженными переменными г, =е'=Л вЂ” 10 (см.
формулу (30)] и ге=с = =Л+10. Тогда из того, что Е'(К) =О для всех х„з„лежащих в области В, следует, что К(Е, Й, 1) удовлетворяет уравнению Т (К)= дае+ е+Р())К=О. дЧГ де К Далее мы ограничим наше внимание производящими функ- циями К, для которых 11ш К(Х, Е, Е)=1 (52) -ссо равномерно по е для фиксированных д и 9, В качестве функ- ции 1(1), входящей в формулу (49), мы выберем, как и в равен-, стве (38), 1 (е) = (е'), (53) где, как и в предыдущих пунктах, и1,(1,) — потенциал в плоскости годографа.
Если положить для краткости йод = то'(1), так что п1,'(е') е'де =Йо (е'), то из вышеприведенного построения следует, что функция и (Е, Е) = ~ К (Е, 2, 1) е(эо(е') а (54) удовлетворяет уравнению (8), а именно ден дои Ь(и) = —,+ —,+Ри= О. (5Г) Тогда из соотношений (54), (52) и (31') следует, что 1и с Вш и(2,2) = () йо (е') =ш (ь)+сопяь. Е со ос а 11ш фа(0, 9) = Вш 1]1(д, 9) =еро(д, О)+соней, (55) О -ссс Е сс гДе еде(д, 0) = 1ш]шо(Ь)] и еР= Ре]1а, как и в Равенстве (7). Если производящая функция К(зд, з„е) где зд, з„е являются независимыми комплексными переменными, удовлетворяет уравнению (47), а именно Ь'(К) =О, и граничному условию (48), то Таким образом; видно, что для еда(д, О) =1п11и(Е, Й)], где и(Е, е.) определяется выражением (54), будет иметь место соотно- шение Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
