Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Действительно, на основании формул (23) и того обстоятельства, что / и /' конечны, ии дф/дд, ни дф/дО не обреа>а>отея в бесконечность нигде, кроме точки д = О, для которой х — ь со и у- со. Эта точка будет изолированной точкой ветвления. Здесь интересны особенности типа предельной линии (см. п.19.4). По формулам (23) вычислим величины д (дф/дд) ь ->- )/М' — 1 (дф/д8), которые по существу идентичны дф/дг> и д»>/д$.
Это дает ('') > ~ . в > э 2т/'+ — / > вш 2 ~ — )/М' — 1/ сов 2 = О, (25) или ~ )/М' — 1с~д —,= 4т — +1. Эта линия в плоскости годографа, т. е. критическая кривая имеет при О= 180' двойную точку Ы, где 1+4т/'//= О, т. е. т =0,45. В этой точке дф/д$ = 0 и дф/д» = 0; следовательно, Ь, = Ь, = О, и на основании уравнений (19.7) дЬ,/д>) =дЬ,/д$=0. Вычислим далее в этой двойной точке вторые производные от <р и получим, что дз р/дд' = д'~р/д8з = О, дз>р/дд д9 Ф О. Отсюда (подобно тому, как это было сделано в конце п.19.4) мы можем заключить, что эта точка является точкой экстремума для и седлом для у: через зту точку не проходит ни одна линии тока >)>=сове>,; линии тока окружают эту точку (см.
рис. 128). Критическая кривая состоит из двух замкнутых петель, касающихся звуковой окружности при 0=0' и окружности максимальной скорости при 0 = 180' (см. рис. 135). Первая из этих двух точек является звуковой точкой на прямой линии тока (подобиой точке А в течении Ринглеба). Предельная линия в физической плоскости состоит из линий Ь,=О и Ь =0; обе эти линии имеют точки возврата в одной ВВ4 Гл, Ее'. Плоское кстеиоеиетеесл потенциальное течение общей точке Ю.
Касательные в этих точках возврата имеют направления характеристик. В окрестности точки Х> течение заключено внутри тупого угла (перекрываемого четыре раза), который снизу ограничен линиями Хь и Хз. Данный случай ость ьиоа и Характеристические направления Р п с. Г35. Прелельвая лвввя для сжи- маемого диполя. является интересным примером предельной точки высокого порядка Ь =бе=О, в которой пересекаются критические кривые.
6. Дозвуковая струя Рассмотриы теперь одну краевую задачйч применим метод Чаплыгина к задаче о дозвуковой струе*). Задача об истечении газа через щель между двумя плоскими стенками особенно удобна для решения методом Чаплыгина (п.2), так как по существу она является задачей в плоскости годографа"). Форма истекающей жидкой струи заранее здесь неизвестна: границы струи представляют собой свободные гранины.
Поскольку течение предполагается устанозивщкыся, то его границы (как фиксированные стенки, так и свободные границы) не меняются во времени и являьотся линиями тока. Таким образом, вдоль границы функция тока о) В атой связи см. также замсчаввя, сделанные з пЛ5.2. 666 20.6.
Дозвуковая струя должна быть кусочно постоянной. Вдоль прямой стенки угол 9 имеет заданное постоянное значение; следовательно, изображение этой стенки в плоскости годографа является радиусом, проведеняым через точку О' под известяым углом наклона. Вдоль свободной границы давлевие постоянно. Пренебрегая силой тяжести и доугими внешними силами, получим из уравнения Бернулли, что как,в несжимаемой, так и в сжимаемой жидкости скорость па свободной граничной поверхности имеет некоторое постоянное Ф'-Я Р и с. 136.
Чаплыгинская дозвуковая струя значение, скажем с,. Значит, граничные линии тока отобразятся з плоскости годографа ка дуги окружности с центром в точке О' и радиусом д,. Таким образом, в этой аадаче мы знаем в плоскости годографа и границы течения и значения функций на границах как для несявимаемой, так и для сжимаемой жидкости.
Если форма сосуда, расход жидкости через отверстие и скорость на границе струи в обоих этих случаях одинаковы, то граничные условия совпадают. Частная задача о струе, исследованная Чаплыгиным, соответствует рис. 136. Здесь имеется особенно простое расположение стенок, так как вертикальная стенка АВ является продолжением степкп АВ. Расстояние ВВ = 2а вадаио. Мы предполагаем, что полуплоскость слева от АВВА заполнена жидкостью. Течение начинается яа бесконечности, где скорость равна нулю, а затем переходит в параллельную струю с постоянной скоростью д, ка ее свободных гэапицах, являющихся линиями тока.
Мы примем, что зр= О вдоль средней горизонтальной линии тона, зр = зр, вдоль АВС и зр= — ф, вдоль АВС. 25 г. маеее 386 Гл. 1'е'. Плоское иетоноеиетеесл потенчиольное течение где Д = 2ф, обозначает секундный расход жидкости [через щель, а скорость на свободных границах ВС и ВС принята равной единице (д,= 1). Ряд, входящий в выражение (26), сходится для всех ~ ь ~ < 1. В случае течения несжимаемой жидкости величина О связана с шириной струи на бесконечности соотношением е3= = 200од, = 28оо. Из формулы (26) имеем .е,— — — (9.~. 1 — ~ 2 8), к=1 е' еп ~р = — ( 1п 2д+ 'У вЂ” соэ2п8 т о и ( и г ! п=1 (27) Отсюда видно, что прн 0=0 будет его= О.
Прн о = о,='1 и 8 пь О ряд, входящий в выражение ф„упрощается деп . Мп 2пз я ',~', — в)п 2п0 = ~ч~" = ~ — — 0, и и 2 пэл причем верхний знак соответствует 8 ) О, а нижний 0 < О. Отсюда на ВС пРи 0 ) О имеем еуо = — Я/и) (О+ (и/2) — 8) = — ф2, а на ВС при 8 < О имеем еро —— — (()/п)(0 — (я/2) — О)= с1/2, как это и должно быть.
На АВ и АВ для 0= ~ и/2 сумма этого ряда равна нулю; значит, на АВ будет еро= ~/2, а на АВ будет еро= — ()/2. Таким образом, граничные условия удовлетворены. Рассмотрим теперь сжимаемую струю. На свободных границах скорость д и в этом случае будет оставаться постоянной; Граница АВС отображается в плоскости годографа на А'В'С' и аналогично АВС отобразится на А'В'С'.
Все линии тока в плоскости годографа идут от А' до С'. Вдоль В'С'В' скорость д = Ч,. В этой задаче метод Гельмгольца — Кирлгофа — Жуковского непосредственно дает комплексный потенциал в плоскости годографа шо (ь) (для несжимаемой жидкости), который необходий для применения метода Чаплыгина. Этот метод можно применить н к задачам с данными более общегр вида, чем рассматриваемые нами теперь. В нашем случае результат является простым и хорошо известным. Здесь зависиьюсть шо от ~ дается следу1ощей формулой: + 1 ф 1 е о, 2(.~ т = О 1п 2~ — О„1п (1 — Г) = х— (1п 2~+ ~~~ — „), (26) п=е 20.0. доооукооол струя 387 мы обозначим это значение скорости через а, и будем считать его равным единице, т. е.
положим т, = 179'. Согласно правилу, указанному в п.2, построим функцию Ф= — — ~ 0+ ~~ — " з1п2п0~ О Г 1 1ф„(т) ° фп(т1) п=1 (28) Ь(ы помним (и это можно проверить), что при о -о со (т. е. прн т,-+ 0) эта функция сведется к фо, определенной первой формулой (27). Чаплыгин доказал, что ряд, который определяет эту функциго ф, сходится вместе со всеми своими нужными нам производными при о < д, < йом т. е.
при т < т, < '!о. Кроме того, как мы видим, функция (28) точно удовлетворяет граничимм условиям. В самом деле, при 0 =- ~- и/2 мы имеем ф = .т Д/2; а при т=т„т. е. при у=ум выражение (28) является совершенно таким же, как первое из выражений (27) при д = 1. Значит, действительно, вдоль АВС будет ф=Д/2, а вдоль АВС будет ф = — ф2. Таним образом, выражение (28) является точным решением задачи о дозвуковой струе. Потенциал скорости ~р, соответствующий функции тока ф (28), можно определить так, как это уже объяснялось раньше.
Далее, х и у получаются в виде бесконечных рядов по т и 0, причем каждый ряд в качестве множителя включает расход ф Наша конечная цель состоит в том, чтобы найти распределение скорости во всем поле течения, т. е. найти т и 0 как функции от х и у. Так как наша задача является дозвуковой, то в ней не существует особенностей типа линий ветвления или предельных линий, однако численные расчеты здесь оказываются очень сложными.
Некоторые типичные вопросы, связанные со струйным течением, можно исследовать непосредственно с помощью решения годографа. Одним из таких вопросов (так же, как и в случае несжимаемой жидкости) является определение формы струи, т. е. формы ее свободных границ, и в частности определвнне ширины струи на .бесконечности.
Обозначим ширину струи на бесконеч-, ности через 2Ь (см. рис. 136), а заданную ширину щели через 2а; мы хотим определить отношение Х = Ыа. Так как мы знаем функции х и у от т н 0, то мы можем найти значения х и у на границе струи, т. е. при т=т,. Выражение для у, в частности, получается из условия, что уф равно известной функции от т, и 9. а величина () пропорциональна 2Ь. Если теперь ширина щели равна 2а, то значение у на границе струи при 9= я72 будет равно — а.
Таким образом, можно получить величину Х в зависимости от т, (см. рис. 137, соответствующий х = 1,4). В случае несжимаемой жидкости, т. е. при т, — э О, Кирхгоф 25о 388 Гл. 1/7. Плоское установившееся потенциальное течение нашел следующее эначение: Х = и/(я+ 2) = 0,611. Другой край ннй случай иыеет место при т, =0,167(т.е. прн скорости звука), где я =0,745. Значения )ь для равлнчных т, были рассчитаны Чаплыгиным. абб агб ь а70 а абб абб абб 0 або а об а/г а/б с; Р и с. 137.
Относительное сжатие струи Ь/а в вависи мости от тм Метод, изложенный в етом пункте, прнмениы и к более общим задачам об установившихся струйных течениях в тех случаях, когда скорость д на свободной границе всюду меньше скорости внука. Коли рассматривать значения давления, то такое положение будет тогда, когда внешнее давление р, в окружающем струю пространстве оказываетоя выше, чем критическое давление, соответствую.цее числу Маха М =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
