Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Предельные линии появляются здесь как огибающие одного из семейств характеристик и, в частности, как огибающие прямых характеристик в простых волнах. Пример линии ветвления был получен в п.12.5, а иллюстрация к нему была дана на рис. 62. Такой линией там являлась характеристика Их/й = и — а, т. е. линия ВР в физической плоскости, которая пересекает характеристики другого семейства в их точках перегиба.
Следуя идеям, изложенным в этом параграфе, можно разработать теорию предельных линий и линий ветвления и для данной задачи. Здесь характеристики дх/Ж = и+ а будут линиями Ч, а характеристики «ех/Ж =- и — а — линиями $. э1ы знаем, что о — и и о+ и остаются постопнными вдоль этих линий $ и линий Ч соответственно. Здесь имеются два типа предельных линий, Я, и е „и два типа линий ветвления, В, и В,'е). 1 20.
МЕТОД ЧАПЛЫГИНА 1. Разделение переменных «') В $ 16 мы вывели линейные уравнения (16.32") для функции тока ф(д,д) в политропическом течении: е Е е н — З д даь +д(1 — — — ', ) —,=О. (1) 2 ае ) да 266 Гл. Лс. Плоское. установившееся ивтенииолсное течение Следуя Чаплыгину, введем теперь вместо д новую переменную и, положив ое и — 1 рв д' 2 ае (2) 'Тогда уравнение Бернулли примет следующий вид: л а.,а т+~ — ) =1 или а=а,(1 — т)ме, (3) (..) а поскольку, как и прежде, о,=1 и (а(а,)е=ои — ', то имеют место следующие соотношенйя: Е = (1 — ) "(" — '> Р =,, (1 — т)"~~" причем индексы в, т, 1 в равенствах (2), (3) и (3') имеют свои обычные значения. Когда о растет от О до д, величина т изменяется от О до 1; звуковому значению скорости д, = а, соответствует приведенное выше значение т„которое при к =у=1,4 равно '!е.
Уравнения первого порядка (16.31) при этом станут такими Р(г) а ар ар (4) ~ (т) дф дср где Тогда уравнение (1) примет вид Рч — — — -(- Р— — = О. двф двф с(О дф дтв дзе дт дт (5) Подставляя сюда выражения (4') и упрощая, получаем 4 т е ( 1 т ) а + ( 1 т ) + 4 т ( 1 + т ) а О ( 5 ) *) Это обозначение употреблистсв несколькими авторами.
Фуницин О (т), определеннав второй формулой (4'), ве имеет ничего общего с углом О(д), введенным в 1 16. Мы видим, что коэффициент перед детр/дбе меняет свой знак с положительного на отрицательный, когда х, увеличиваясь, проходит через значение т = т,. К этому последнему уравнению мы применим метод разделения переменных, положив в)(т, 6) =А(8)В(т). После такой подстановки с помощью хорошо известных рассуждений найдем, что А"/А должно, равняться постоянной величине. Если принять 20.1. Равдеаение переменных А"/А= — и', то при ичя О получим, что А(0) =Ап(0) =апеспэ +()пе !»З У зш(и0+бп), где оп и р„или у„и оп являются произвольными постоянными.
Следуя Чаплыгину "), положим В (т) тп (т) т евв(т) так что вь (т, О) = вр„(т) Ап (О) = тп/2~„(т) (а„егпз+ р е е»Э). (б) Тогда для фп(т) н ~„(т) получим следующие уравнения: тв(1 — т)ф„"+т [1+ "т~ врп' — — ", ~1 — ~-т~ вр»=О (7) т(1 — т)~„",+ ~(и+1) — (и —:)т~ К„'+ ".( У»=О. (7) Уравнение (7') является гипергеометрическим уравнением вида т(1 — т))" +(сп — (ап+ Ьп+ 1) т] 7" — а„Ь») = О, (7 ) содержащим, однако, только два параметра и и х вместо трех параметров, входящих в уравнение (7"). Решение уравнения (7"), регулярное при г=О, дается гипергеометрической функцией г'(а„, Ьп, с„; т), разложение которой в ряд Тейлора будет сп Г(с„) п.в Г (ап+т) Г (Ь, +т) т п~ »1 и Г (ап) Г (Ь») ~! Г (с +т) т! »=з при условии,, что сп не равно целому отрицательному числу или нулю па).
Отсюда мы получим следующее решение уравнения (7): вуп(т) = спгзр(а„, Ьп, и+1; г), г" (а„, Ьп, и+1; т) =1+ ("+ т+ ап(ап+!) Ь (Ьп+!) з+ 2! (н+()(и+.2) Это решение называется функцией Чаплыгина или решением Чаплыгина. Здесь и произвольно, но не может быть пелым отри- цательным числом. Нетрудно видеть, что этот ряд сходится, имея при т= 1 особенность, т.
е. сходится при т < 1. Таким образом, 368 Гл. 7У. Плоское установившееся лотенииальное течение вр(т, О) =()(т) в(ьв ~ А„(0) АО вв ср„(т) ~ А„(0) ЫО. (6') 2. Связь с решением для течения несжимаемой япщкости Теперь мы собираемся установить связь между полученными выше результатами и соответствующими результатами для течения несжимаемой жидкости. Предельный переход от течения сжимаемой жидкости к течению несжимаемой жидкости можно ') Вблизи т=1 можно, вообще говора, пользоваться следующим выражением вз): Р(а, Ь, с; т)=с (а, Ь, с; 1) Г(а, Ь, а+Ь вЂ” с+1; 1 — т)+ +Р(с — а, с — Ь, с; 1) (1 — т)с а ос" (с — а, с — Ь, с+1 — а — Ь; 1 — т). Эта формула будет использована в п.б. **) При а=О дза независимых решевил уразвеиил (7) будут 1 и)яхат.
тв *е') Мы употребляем здесь обозначение вр(т, 3] также и дла суммы членов вида (6), обозначение же вул(т)=фи сохРавлем длл РешениЯ УРавиеииа (7). г' является аналитической функцией от' т', которая при т — ьО стремится к 1 *). Решения уравнения (7), соответствующие исключительным значениям и, когда ~и ) 1, не будутимвтьформу (8);ем. п.4. Формулы (8) показывают, что при и = — 1 величина а„обращаетс ся в нуль; в этом случае г'= 1 удовлетворяет уравнению (7'), а ф,(т) = т-'7в по-прежнему имеет форму (8); см.
п.З и начало п.4. Хорошо известно (и мы напомним это для применения в дальнейшем), что обычное дифференциальное уравнение второго порядка (7") 'имеет второе независимое решение т "г'(а„— и, ܄— и, 1 — и; т), где ол и Ь„также определяются формулами (8). Любое решение уравнения (7') является линейной комбинацией этих двух частных решений """). Применяя принцип суперпозиции, можно получить для уравнения (5) 'решение более общее, чем решение (6), а именво**а) вР (т, 0) = а0+ ~ вРл (т) (а„е" з+ ()ле — в"з) где пл и ()„— произволвные постоянные, а функции ф„(т) определшотся формулами (8). Интервал изменения и должен отдельно выбираться для каждого частного случая; если берется бесконечное число членов, то при этом необходимо исследование сходимости.
Согласно уравнению (4), каждому члену ф(т, О) = = А„(0) вр„(т), где через А„(0) обозначена величина у„зш (иО+ б„), соответствует потенциал ЗО.З. Сея»с с решением для кеес» иыаемса иееедкссты 309 совершить, полагая д„, — » со. Равенства (2) и (3') показывают, по при фиксироеанных о и 0 условию о -+ оо соответствуют +О и М-»О. Если в уравнении ($) положить М= О; то получим 0 д,+дз,+00 — — О, (9.) ев («1 ° .
/ т ~п/з Цш и — Нш — й» В 'е» («е) « ~- тв е ПШ ЕЕ«»В и — Еп«п»дп Ф (ч) ' 'е» в(те) ПОЭтОМу С КаждЫМ ЧЛВНОМ 0»ЕВН»Ь, ВХОдящИМ В РЕШЕНИЕ дЛя течения несжимаемой жидкости, мы свяжем член («Р„(т)/«Р„(т,)] еа«»Ь, который удовлетворяет уравнению (5'). Очевидно, что при таком соответствии аргумент 0 вектора «) остается без изменения.
Если ври этом функцию тона течения неся<ив«аемой жидкости задать в форме ф а0 + ~~~~ па» (а е«»Ь + ()пе-«»В) » ((О) то ве можно связать с «соответствующим» течением сжимаемой жидкости ф=а0+~~~' " (О»Е«»В+(3 Е.«»В). » и (И) 24 г. мы»ее т. е. получим уравнение Лапласа в полярных координатах о, 0.
Это уравнение имеет частные решения дпеь«»В (для любого и), а также решение (а + 60) (с+ с( (и о), где а, 6, с, й — произвольные постоянные. Мы хотим найти такие решения длл течения сжимаемой жидкости, которые при о — »со сеодятся к решениям (9). Такие решения в«агут быть определены многимн путями. Ниже мы наложим такое соответствие между течениями сжимаемой и несжимаемой жидкости, предложенное Чаплыгиным.
РасСМОтрИМ РЕШЕНИЕ д»Еаы» И ИСПОЛЬЗувы уПОМнпазщввея ВЫШЕ обстоятельство, что ИшР(ап, Ьп, с„; с) = 1. Введем теперь неко«-~ 0' торую характерную скорость ом ветеран будет сохраняться постоянной, когда мы устремим о к бесконечности. Не умаляя общности, мы можем принять д,=1.
Если с есть соответствующее значение т, а именно т,=1/д", то тогда (фд,)»=т/т, илн 0» = т!тв. Отсюда 070 Гл„1У. Плоское установившееся потенциальное тсчсиив Прежде чем продолжать изложение, мы приведем здесь для ссылок упомянутые ранее решения уравнения (9): а) ьре = АО, Фс= — А 1п д, б) фа= В1пд, р,=ВО, в) ьре = Спцеюп(пб+ 6„), Ф, = — Сицесоз (п0+ О„) и соответствующие им решения уравнения (4): Ф=А~ Р'с(т, а) чр=АО, вь б) вр=В ~ (в 'с(т, Ф= ВО, *) Фуниция в(ь) квн обратная фуннцин в общем случае ве является однозначной. В случае многоэнзчного решения в(й) потенциал годогрвфе шь(Ц будет представлять тельно одну ветвь этого решения. е) ьр=С вЂ” ' — еш(пО+6 ), Ф= — — "с) " соз(пд+6 ), Ф (т) С„1р;,(с) и 1р (.ь) е ' и Фе(т,) и где функции ф„(т) задаются формулами (8). Каждое из трех последних решений удовлетворяет уравнению (4)'4).
Решения (а) и (б), которые отвечасот и = О, представляют собой соответственно решения для источника (стока) и решение для вихря; см. п.17.4. Теперь мы закончим объяснение метода Чаплыгина. Рассмотрим два уравнения первого порядка для течения несжимаемой жидкости, получаемые в пределе иэ уравнений (16.31), а именно О = — — — =Π—. ОФе дро д'ре дФе да де ' де да (12) Эти уравнения, которые можно рассматривать как условия Коши — Римана, показывают, что Фе+(ьРе ЯвлЯетсЯ аналитической функцией от (1п д — 10), следовательно, от ае 'е = а„— (Ов — — ь.
Метод Чаплыгина, развитый им для изучения газовых струй, можно описать тогда следующим образом. Допустим, что задача о течении несжимаемой жидкости уже решена при помощи метода комплексного потенциала. Пусть ш(г), где г=х+(у,— комплексный потенциал, 'обозначим через с(ш/<1г=ь= де 'э комплексную скорость и назовем и (Ц) =ш(г) =Ф,(д, О)+ (ьРа(д, 0) потенциалом есдографа. Преобразование, обратное преобразованию ь (г) = с(ш)е(г, а именно преобразование г = г (ь), существует, если ь' (г) чь О *). Далее, в окрестности точки торможения ~ = О (при условии, что это— регулярная точка) функция шс(с",) разлагается в ряд Тейлора по степеням с"„ так что О ьь фа=1 1Х сеГ]=1ш1Х с„а".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
