Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 71
Текст из файла (страница 71)
е. вертикальной прямой т1 г'). К зтнм линиям относятся также линии = сопз1 и ей =сопзс. Таким-образом, край Ь, является огибающей линией тока и зквипотенциальных линий. Направление $, т. е. направление С, является исключительным направлением на В,. Предполагая также, что дй,~дог Ф О, можно показать (см. аналогичное доказательство в предыдущем пункте), что изображение линии, которая в точке своего пересечения с В, имеет направление $, и, в частности, изображение характеристики С, должно иметь на Ь, точку возврата. Так как изображениями характеристик С являются горизонтальные линии $, то они доходят до края, а . рис. 130). Для характеристики предыдущем . анализе, отсюда с в плоскости х,у любую линию и Пиния 0 л и о. 130.
'Лвивя ветвления а край затем поворачивают обратно (см С имеет место соотношение сК(3 — а) = ( )сКК = — (1+ —,) ссз, ы поскольку сЦ меняет свой знак при пересечении с Ь„ то е1(3 — а) также моняет здесь свой знак, если 1+а'ф' ~ О. Следовательно, вообще'говоря, характеристика С имеет при пересечении с линией В, точку 'перегиба г'). Так как линии постоянного модуля скорости и постоянного угла наклона скорости в плоскости $, ц представляют собой линии и + $ = сопзс и е) — $ = совзс, то они пересекают вертикальный край под углом ц- 45' и, следовательно, не касаются его. Таким образом, в плоскости течения на В, они имеют исключительное направление.
Значит, в каждой точке линии В, характеристика С, линия постоянного модуля скорости и линия постоянного направления скорости касаются одна другой, в то время как линии тока и 1д.д. Линии ветвления зквнпотенциальные линии делят пополам угол между касательной к В, и касательной к характеристике С в ее точке перегиба и пересекают линию ветвления без особенности. Отсюда также следует, что на Вз направление вектора дгаь) д нормально к направлению С, т.
е. что дд/дв, = 0 (то же сакое имеет место и для вектора атайд). Легко видеть, что в установившемся безвихревом течении (также и в трехмерном случае) направление огас(д совпадает с направлением с(ц(сье. Значит, в льобой точке линии В, вектор ускорения перпендикулярен к направлению С, Ускорение на линии ветвления В, является конечным.
В самом деле, 6 = - - = д — = д з(п а ьд а (/с, + йз), йв дв Нт де а при кз = 0 эта величина конечна, если й, ограничено, и равна нулю, если й также обращается в нуль. Точка, где и =йз= О, называется двойной точкой ветвления. Линия ветвления является реальной физической линией. Действителько, зта ливия разграничивает две области течения, в которых находятся точки с различными значениями г, но с одинаковыми значениями скорости ц. Зто характерное свойство отнюдь не является чем-то необычным. Однако одно и то же (однозначное) решение годографа г =г(ц) ие может представлять такого течения. Позтому разложение в ряд решения годографа должно обрываться на краю в плоскости годографа. Линии ветвления (описанные Лайтхиллом и Черризз) (появлятотся в течении в симметричном канале, если поток в нем ускоряется от нулевой скорости на одном конце до сверхзвуковой скорости на другом конце (см.
п.25."з). Из-за симметрии здесь имеется ие одна, а две линии ветвления Вз и В„изображения которых 6,(Ф,=О) и Ь,(й =0) имеют направления ц и $ соответственно. Образом точки их пересечения является двойная звуковая точка ветвления (й, = й, = 0). Подытожим теперь основные полученные здесь свойства линии ветвления. Линии ветвления существуют только в сверхзвуковом тпечении.
Линия ветвления В„й,(х, у) =0 в плоскости течения является характеристикой С'. В каждой точке Р линии В„ где йз ~ 0 и дк,!дзз Ф О, характеристика С, линия постпоянного модуля скорости и линия поппоянного угла наклона скорости, проходящие через Р, касаются одна другой. Линии тока и зквипотенциальные линии в точке Р деляпе пополам угол между В, и характеристикой С, которая. имеет здесь точку перегиба. Ускорение в точке Р является конечным, а его направление нормально к С . Изображение б, линии В, (край) представляет собой вертикальную прямую линию ц.
Ойа является огибающей линий тока и эквипотенциальных линий, а изображения в'сех 364 Гл, г у, Плоское уСтановившееся аотснэиальнос течение кривых, имеющих в точках их пересечения е В, исключительное направление С, имеют на Ь, точки ветвления. Подчеркнем еще один результат. В случае предельной линии край складки разделяет различные листы плоскости х,у, а в случае линии ветвления рааделяюший край находится в плоскости $,г). Окрестность критической кривой в плоскости $,г) в первом случае и окрестность линии ветвления в плоскости х,у во втором случае, по предположению, перекрывается один раз.
Обиаружеииое различие в свойствах предельной линии и края (критической кривой и линии ветвления), имеющих в сущности аиалогичвый математический смысл, обусловлены различием между плоскостью х,у и плоскостью $,г); величины $,г), непосредственно связаны с параметрами течения, а х,у — иет. 7. Заключительные замечания а.
Условия на звуковой линии. Как отмечалось выше, среди линий ветвления ие существует аналога звуковой предельной линии, поскольку якобиаи Р ие может стремиться к бесконечности, если Ь, или Ь, или оба ояи яе стремятся к бескоиечиостис Однако для того чтобы некоторая точка при а=90' была точкой ветвления, необходимо, чтобы ие только Ь, (Ь,), ио также и Ьг соэ а (Ь, соэ и) стремились к бесконечности; тогда Ь, — + 0 (Ь -+0) и грэ — ьсо (грр-+со). Двойная пгочка ветвления характеризуется тем, что в ней обе величины Ь, и Ь, равны нулю.
Этот результат можно добавить к результатам, установленным в п.б для особенностей при а=90'. б. Замечания о некоторых частных решениях. Простейший примертечеиия с предельной ливией — радиальное течение (п.17.4)— имеет звуковую предельную линию, у которой некоторые свойства, установленные для обычной предельной линии, видоиэмеиеиы. Спиральное течение (п.17.4) имеет обычную предельную ливию Ь, = 0 без точек возврата. В следующем параграфе, рас-' сматривая течение, иэучеиное Рииглебом, мы обнаружим предельную линиго с двумя точками возврата.
'Это течение характеризуется двойной предельной точной ка бесконечности и звуковой -точкой иа прямой линии тока*). Предельиая линия с двойной предельиой точкой Ь,=Ь,=О будет обнаружена нами также в следующем параграфе в примере сжимаемого диполя (который также имеет звуковую предельную линию иа прямой линии тока). Поэтому для простой, волны, г (х,у) = 0 в некоторой двумерной области, вся область изображения иа плоскости годографа сводится к одной линии г) (в случае .бегущей вперед волны) и переход к уравнениям годографа невозможен. Основываясь иа сообрапге- *) Тяпая точка имеет некоторые особые свойства з связи с тем, что на прямой линии тока' ав)г=О, аз=О н,'следовательно, г)го ††Πн Э, =О.
20.1. Раедеаение переменных ниях, изложенных в данном параграфе, легко исследовать неко-' торые характерные особенности геометрии простых волн. Возьмем бегущую вперед волну /е — 0=2$=сопз1, на которой, таким образом, е/$ = 0 (для простоты 'мы предполагаем, что а ~ 0' п а чь 90'). Тогда формулы (14) показывают, что /ее аа О, Ь, аа со, и каждая поперечная характеристика С' является здесь линией ветвления й, = О. Эти линии ветвления прекрывают двумерную область в плоскости течения.
С другой стороны, прямые характеристики С имеют, вообще говоря, огибающую, которая, как нетрудно видеть, обладает всеми свойствами предельной линии,ве, хотя здесь и не существует решения годографа, которое могло бы служить отправным пунктом. Каждая прямая характеристика С является одновременно линией постоянного модуля скорости и линней постоянного угла наклона скорости, а характеристики С', линии тока и эквипотенциальные.
линии имееот на огибающей точки возврата. На этой предельной ливии якобиан /'(х,у) становится неопределенным, так как здесь./е,=О; а /еа= ~со. в. Замечание об одномерном неуетаноеиешемсл течении. Линии ветвления и предельные линии существуют также в одномерном неустановившемся, течении идеальной жидкости, которое рассматривалось в гл. 1П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
