Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Практически это достигается с помощью изученного выше построения, которое дает величину с1 вдоль всей линии ХАВУ. Значит, построение простой волны позволяет в некотором смысле дополнить граничные условия задачи до данных Коши. Однако истинное положение здесь несколько затемнено тем обстоятельством, что для простой волны распределение с1 во всей области волны следует сразу же из распределения с( на кривой АВ. С другой стороны, построение вдоль дуги АВ волны сжатия дает другие данные Коши, а именно данные, соответствулощне волне сжатия. Значит, здесь также имеется одно решение, соответствующее этим новым граничным условиям. Если же (как это мы видели в предыдущем примере) волна сжатия не может существовать, то это просто означает, что мы не можем задать' такие начальные данные, которые были совме.стимы с такой формой дуги и с волной сжатия.
Это, например, совершенно аналогично тому (мы приводим здесь тривиальный пример), что вдоль прямой стенки мы не можем «задавать» пере- 007 1В.В. Примеры простых волн пенный угол 0. Если, наконец, скорость й,и форма дуги таковы, что возможна как волна разрежения, так и волна сжатия, то это попросту означает (и это не противоречит теореме о единственности), что вдоль ХАВУ могут быть поставлены две совершенно различные задачи Коши: одна соответствует волне разрежения, а другая †вол сжатия, и эти два типа данных Коши приводят к двум различным движениям с постоянными параметрами.
в. Обтекание вогнутой дуги (см. рис. 117). Здесь О, — 0г = = Ь0 < О. Мы начнем с двух численных примеров. Р н с. 117. Течения около одной н той що вогнутой дуги. с — бегущая вперед волна раарежеиия, существует одно ржпеиие; б — бегущая вперед волна раарс- жеиия; е — бегущая засад волна сжатия. 1. Пусть М,=1,22, значит а,=55,9', г,г,=94'. Пусть 0 =0', 0, = 10', так что Ь0 = 01 — 8в = — 10' (рис.
117, и). Рассмотрим бегун(ую вперед волну (прямые линии С наклонены вверх по потоку). Тогда иа равенства (), — 0, = Дв — йв имеем (гв = 94'+ + 10' = 104', откуда М, = 1,57, а, = 39,6'. Так как гг, = Д,+ + 0, — 8, < 220,45', то зто течение представляет собой волну Разрежения, в которой поток поворачивается до нужного направления. В этом примере, т. е. для такой формы дуги и такого значения М, =1,22, бегущая назад волна не может быть построена, потому что ггг + Л8 = 94' — 10' < 90'.
2. Положйм теперь М, = 1,57, а, = 39,6', Д, = 104' (рис. 117,б). Здесь равенство Д вЂ” 0,=Π— 8, для 01=0' и Оп=10' дает г,г = 114', М,= 1,92, ав — — 31,3', т. е. мы имеем волну, бегущую вперед. В случае, показанном на рис. 117,в, вюжет быть построена также и бегущая назад волна, представляющая 72 ш миас ЗЗЗ Гл. 1 У. Гулоское установившееся потенциальное течение собой «обращенную» бегущую вперед волну, которую мы рассматривали в предыдущем абзаце. За этой волной сжатия параметры течения будут Да= 94', ах= 55,9', М =1,21. Видно, что в обоих этих случаях прямые линии Маха сходятся.
Зто схематически показано на рис. 118. В волне сжатия Р и с. 118. Сходящиеся ливии Маха лри обтека- иии вогнутой стенки. а — бегущая нааад волна сжатия; б — бегущая вперед волна раарежения; в — огибающая с точкой воаврата; чарва точку О проходят три характеристики, чсреа точку Р— одна характеристика. с характеристиками С" (рпс. 118,а) как З, так и а возрастают, а в волне разрежения (рис.
118,б) угол 180' — о, который наклоненные вниз по потоку характеристики С образуют с положительным направлением дуги, также возрастает. Значит, в обоих этих случаях прямые линии Маха сходятся. Они, вообще говори, 339 1В.В. Примеры простых волн будут иметь огибающую, и решение с простой волной будет существовать только в определенной окрестности обтекаемой дуги причем огибающая лежит вне этой окрестности. Размер такой окрестности зависит от отношения г>0 к приращению длины дуги, т. е. от кривизны дуги.
В частности, в случае вогнутого угла решения с простой волной вообще не суи1естеует. Зтот случай может быть рассмотрен с помощью решения, содержащего скачок (см. 3 22). На рис. 118, е изображена такая огибающая, или предельная линия, Я для случая гладкой вогнутой дуги; эта предельная линия имеет точку возврата. Здесь через точку Р проходит одна прямая линия Маха; скорость, давление и другие величины определены на этой линии единственным образом. Однако через точку вв проходят, вообще говоря, три прямые линии Маха, каждая из которых определяет некоторое свое, отличаю>цееся от других втечениев; такое положение является физически невозможным.
г. Последовательно пдуи1пе простые волны. Рассмотрим комбинацию, из двух типов простых волн, которые мы изучили в двух предыдущих подпунктах. Предположим, что контур имеет форму, показанную на рис. 119 (верхний чертеж). Два участка ХА и РУ движения с постоянными параметрами соединены здесь Р н с. 119. Последовательно идущие простив волны з физической плоскости н з плоскости годографа. контуром, который имеет сначала положительную, затем отрицательную, а затем опять положительную кривизну на участках АВ, ВС и СР соответственно. Допустим, что скорость дг известна. Мы снова имеем неполные данные Коши: вдоль участка ХА заданы д и 0, а вдоль участка АВСРУ известна только одна величина 0. Области 1 и П движения с постоянными параметрами Язо 340 Гл. 17.
Плоское устаноеиетеесл потенциальное течение можно связать с помощью трех простых волн. На годографе (рис. 119, нижний чертеж) показаны два возможных решения такого типа: а) волна сжатия 1-2, волна разрежения 2 1-3 и волна сжатия 3-1; б) волна разрежения 1-4, волна сжатия 4-1-5 и волна разрежения 5-1.
В обоих атих случаях конечная скорость дп равна дг. 4. Примеры более сложных течений, содержащих простые волны Мы рассмотрим здесь несколько задач о течении в двумерных каналах'е). В конце пА6.4 мы видели, что сверхзвуковое течение в канале определяется, если заданы скорость е1 во входном сечении АВ и форма двух стенок. При произвольном распределении скорости и вдоль АВ и произвольной ,форме стенок выполнить требуемые вычисления (см.
рис. 91) довольно затруднительно, и в общем случае здесь необходимо приближенное решение. Однако при определенных обстоятельствах здесь существует решение, содержащее простые волны, и зто упрощает задачу. а. Равномерная скорость на входе. Общий случай. Рассмотрим канал, стенки которого на входе представляют собой параллельные прямые, а затем начинают искривляться (см. рис. 120). Пусть на входе задан равномерный поток, имеющий скорость е)о.
Зона еэоомодедстеол долма, ввеуьнао ноеод Р а с. $20. Канал с одвородамм течением ла входе (общий случай). Область ХАРАХ будет при атом областью движения с равномерной скоростью, а АР и АР являются прямыми линиями Маха, наклон котоРых"известен, посколькУ е1л=е(-„=е(о. К пРЯмой характеристике АР примыкает простая бегущая вперед волна с прямыми линиями Маха С, а к АР примыкает бегущая назад волна с.
прямыми линиями Маха С'. Поперечные характеристики ле.о. Прилнри более ел«леон»ее течений Св и Св, исходЯЩие из точки Р, кРиволинейны; они пеРесекают стенки в точках Е и Е соответственно. Предположим сначала, что стенки з этих точках являются криволинейными. Так как в точке Р иавестно»1, то мы знаем постоянную 2$ для бегущей вперед волны АРЕ, и поскольку вдоль линии тока АЕ известно 0, то величины д здесь также находятся.
Следовательно, мы знаем а вдоль каждой прямой С в области АРЕ, а это определяет линию Сй (см. конец п.16.4). Соответствующее графическое построение проводится в такой последовательности. Продолжим в точке Р прямую АР до пересечения с некоторой прямой С, проходящей вблизи точки Р. В этой точке пересечения мы снова знаем о и 0, а значит, и направленце нового короткого прямолинейного отрезка характеристики РЕ,и таким образом мы можем продолжить наше построение дальше. Аналогичное построение проводится и для волны АРЕ. Коли теперь предположить, что в точках Е и Е стенки являются криволинейными, то, вообще говоря, других простых волн в этом течении не будет, и мы снова должны рассматривать здесь задачу о течении общего вида. Значение о (и соответствующей величины О) вдоль характеристик ЕР и ЕР определяет течение в характеристическом четырехугольнике ЕВЕР— в так называемой «зоне взаимодействия».
Далее можно найти течение в треугольной области, ограниченной характеристикой ЕР, продолжением характеристики Ег и участком верхней стенки, вдоль которой задано 0. То жв самое можно сделать и для нижней стенки. Прн этом приходится решать задачу «смешанного» типа, когда заданы условия вдоль двух кривых, одна из которых является характеристикой. Такая задача обсуждалась в 0 10 и 16. На следующем же шаге мы должны будем опять решать задачу, в которой условия. заданы на двух характеристиках и т.
д. б. Дее прямые св»енки, соединенные небольшим криволинейным уноси»ком. Решение задачи упрощается, если стенка после небольшого криволинейного участка, начинающегося в точке А, опять становится прямолинейной, так что точки Е и Е снова лежат на прямых стенках (см. рис. 121). Равномерный поток Ко имеет место вплоть до границы АРА; затем, как и в предыдущем случае, следуют две простые волны — бегущая вперед волна Игл и бегущая назад волна И'л. Здесь также можно построить поперечные характеристики РС и РС.
До сих пор картина течения здесь была такой же, как и в предыдущем случае. Однако поскольку теперь стенка за точкой В и характеристика С, т. в. линия ВС. являются прямыми, то в треугольнике ВСЕ имеет место течение с постоянными параметрами, причем СЕ представ- 342 Гл. 1Р. Плоское уетлноеиешееси лотенциольное течение ляет собой прямую характеристику С', направление которой известно. Подобное течение существует и в треугольнике ВСЕ.
Далее следует «зона взаимодействия» СВСР, где линии СР и СР представляют собой характеристики. В втой аоне имеет место течение общего вида, которое определяется решением задачи ~жнаонь оппи Р н с. 121. Две прямые стенка, соединенные небольшим крнзолннейным участком; физическая плоскость н плоскость годографа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
