Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Это обстоятельство можно объяснить н с геометрической точки зрения. Точка Р, с координатами а, Ог в плоскости годографа находится в кольце, заполненном эпнциклоидами. Двигаясь от точки Р, по эпициклоиде Г, можно достигнуть другой 5 М е 21 св (градусы) 130 (Ь-1)аО р и с. 112. Области, где) существует два решения, одно решение и не существует аи одного решения с простой волной. точтпе с заданной координатой О, ( О, (т. е. точки, лежащей на заданном луче) только в том случае, когда это произойдет раньше, чем мы остановимся, достигнув окружности максимальной скорости. Указанного луча можно достигнуть также, двигаясь от точки Рг по эпициклонде Г' при условии, что это произойдет раньше, чем мы встретим окружность внуковой скорости.
Численные примеры (для во=1,4, Ь= )/е6) ее). Приведенные выше неравенства могут быть представлены в геометрической форме. Для этого в плоскости ЬО, М построим графики ~',1 = 99о+ ЬО и () = Ь. 90' — ЛО, которые будут пересекаться при ЬО 65' и М 3,94. Эти кривые вместе с линией М= 1 и двумя асимптотами разграничивают четыре области, соответствующие четырем вышеупомянутым возможным случаям (рис. 112).
1. Пусть, например, О, = 0', ЛО = О, — О, = 38', М, = 1,5 Из тригонометрических таблиц или из табл. Ч найдем, что и, = 41,8', о, = 24,6', Д,'= Ьо, + «, = 2т1 =' 101,9'= — 38'+ (~е; ЗЗЗ Гл. 1 г'. Плоское установившееся потенциальное течение следовательно, Чв=139,9', что дает а,=19,5' и М,=З. Таким образом, все параметры определены. Линии тока в угловой области между С; и С; определяются в явном виде уравнениеы (9), причем 211= ф1=101,9'. Здесь при переходе через волну величины д и М увеличиваются, а р, о, Т и а уменьшаются. Такая Р и с. 113. Простые волны, огибающие один и тот же выпуклый угол.
а — Ма=1,б, бегущая нааад волна раареженяя, единственяое реженне б — ыг=з, бегущая вперед волна сжатия; е — ыг=1, бегущая навад волне рвврежоаяя. волна называется волной разрежения (св1. рис. 113, а). При выбранных нами численных значениях Дг — ЬО = 101,9' — 38' ( 90', значит, второго решения здесь ив существует. Действительно, точка Р, с координатами АЗ=38', М= 1,5 лежит на рис. 112 в области, где существует только одна бегущая назад волна. 2. Рассмотриы такой же угол 91=0', 0,= — 38', но пусть теперь М, = 3, так что а, = 19,5'. Тогда а, = 49,1', ()1 = па+ йпа = = 139,9' (что равно величине с)в иа предыдущего случая).
1В.В. Примеры простых волн а) «7 — ЛО = 139,9' — 38' = 101,9' = Д»; М, = 1,5, и, = 41,8'. Эта бегущая вперед волна представляет собой «обращенную» бегущудо назад волну, которая рассматривалась выше. Здесь при переходе через волну величины Д и М уменьшадотся, а давление, плотность и угол Маха увеличиваются. Такая волна называется волной сжатия (см. рис. 113,б). б) При тех же самых данных 0,=0', М,=З (а,=19,5', д,«»=139,9')', 60=38' существует еще второе решение — волна разрежения, тан нак Дд+ ЬО = 139,9'+ + 38' = 177,9' = Д» < 220,5'.
Этой величине е„е» соответствует число Маха М»=6,4 и а, = 9' (см. рис. 113,в). Таким образом, в атом случае мы имеем два равличнмх решения с простыми волнами рассматриваемого типа (см. на рис. 112 точку Р» с координатами Л0=38' и М=3). Для того чтобы определить, какое пз этих двух решений будет реализоваться, необходимы еще другие данные. 3. Пусть теперь Мд — — 3, ЬО = 85', тогда Од — АО = 139,9'— — 85'< 90', а при этих начальных данных решения с волной сжатия не существует. Тан как Де+40=139,9'+85'= 224,9'> > 220,5', то решения с волной разрежения также не существует.
Действительно, точка Р» с координатамн Ь8= 85' и М =3 находится на рис. 112 в правой области, где не существует никакого решения. Будем здесь, как и в предшествудощих случаях, употреблять для состояния р = о = О, о = о термин «наверна» пли «вакуум». Тогда можно сказать, что между характеристикой С;, образующей угол — 80,6'(=139,9' — 220,5') с осью х, и заданной второй стенкой, образующей угол — 85' с осью х, будет существовать каверна (или зона вакуума). б. Обтекание выпуклой дуги; Пусть теперь обтекаемая граница является выпуклой ломаной линией вли гладкой дугой.
Рассмотрим сначала последний случай. Эта задача по сравнению со случаем (а) ничего существенно нового не представляет. Опять предпололдим, что набегающий поток является равномерны»д. В точке, где начинается дуга, заданы параметры о„бд набегающего равномерного потока, а также характерные значения а, пли а,. Дуга ограничена с двух сторон прямыми ХА и ВУ (см. рис. 114), а геометрическая Форма всей стенки ХАВУ задана. 'Так как эта стенка является линией тока. то значение 0 вдоль иее известно. Равенство 2«1=О(дд)+Од=(7(д»)+8» снова определяет в точке В скорость о» для решения с волной разрежения при условии, что Д(дд)+ЛО < 220,45', где 60= Од — 8 > 0'.
Аналогично если Ч (ад) — ЛО > 90', то оба равномерных потока »дажно связать волной сжатия. Первая линия Маха, скажем Сл, в случае волны разрежения определяется углом а, = а(од), который эта линия Маха образует с ХА в точке А. Последняя характеристика Св образует угол а» = а (ад) с направлением ВУ. В каждой промежуточной точке дуги угол 0 известен, поэтому. 334 Гл.
УУ. Плоское установившееся потенциальное течение пользуясь равенством 2т~=9+()(д), всегда можно найти соответствующие значения д, Ъ| и а. Если мы предпочитаем геометрический метод решения, то тогда в диаграмме зпициклоид, построенной, как и в 3 16, положим радиус внутренней окружности равным а, (определяя, таким образом, масштаб). Найдем затем на этой диаграмме точку А' с заданными полярными координатами ром 9,. Через А' проходят С Р и с. И4.
Простая волна, огибающая дугу характеристика Гс, при движении по которой в направлении к окружности максимальной скорости угол 9 уменьшается, и характеристика Го (не покааанная на рис. И4), (при движении по которой в направлении к окружности звуковой скорости угол 9 увеличивается. Рассмотрим сначала характеристику Гс. Чтобы в произвольной точке Р дуги АВ найти графически угол а, т. е. направление Ср, проведем в этой точке Р касательную к дуге, а из начала координат О' в плоскости годографа проведем луч,параллельный атой касательнов.
Этот луч пересечет Го в точке Р', причем скорость др будет равна отрезку О'Р'. Касательная к Го в точке Р'перпендикулярна направлению линии Ср (так как Ср 1 Гр). Точно таким же обрааом можно построить решение с волной сжатия, используя характеристику Го, проходящую через точку А'. Конечно, можно заранее с помощью упоминавшегося выше кри- ЗЗЬ зб.о. При яерьь гзросгнмв волн терия установить, будут ли при атом существовать два решения одно или ни одного.
Отметим, что здесь в обоих рассмотренных случаях (волва разрежения и волна сжатия) прямые линии Маха расходятся: угол 0 возрастает, когда мы перемещаемся от А к В. В первом случае линии С' направлены от обтекаемой дуги вниз по потоку; а угол а, который они образуют с положительвывь Св' С У У Р и о. згб. Дяе возможные простые волны, связывающие вдоль одной н той же дуги дна течения о постояянымя параметрамя. а — бегущая назад волна раврежеяия; б — бегущая вперед волна сжатия. (вниз по потоку) направлением етой дуги, уменьшается при перемещении от А к В (см. рис.
115га). Во втором случае (рис. 115,6) угол а, который линии С обраауют с отрицательным (вверх по потоку) направлением дуги, при перемещении от А к В: увеличивается, и, следовательно, угол, образуемый линиями С. с положительным направлением, уменьшается. Аналогичный подход применяется и для выпуклой ломаной линии. Если набегающий равномерный поток полностью задан, то могут существовать несколько решений, в которых ломаная АВСЮ' (см. рис. 116) является линией тока.
В этих решениях центрирозанвые волны Ие, и Иев связывают три различных равномерных движения К„К, и Кв. Теперь нетрудно выявить связь и полное соответствие между только что изложенными результатами и теоремами единствен- ЗЗ6 Гл. 1Р. Плоское устаноеиеисееса аотенциаллное течение ности для краевых задач гиперболического тяпа ($ 10 и 16).
Мы проведем рассуждения для случая гладкой дуги (рис. 114), так как здесь картина, вероятно, яснее, чем в случае ломаной линии или угла. Рассмотрим, например, случай с двумя решениями. Здесь имеет место следующее положение. Если нам известна только форма линии тока ХАВУ и скорость дл вдоль ХА, то мы еще не имеем данных Коши. Чтобы получить данные Коши, мы должны знать.п вдоль всей нехарактеристической кривой ХАВУ.
Эта скорость может быть задана многими способами. Рассмотренный здесь нами тип решения, который содержит одну простую волну, соединяющуло два движения с постоянными параметрами, является как раз одним из таких решений, хотя н особенно простым. Следовательно, если мы думаем искать такое решение, А Ю Р и с. 116. Течение около выпуклой ломаной линии. которое представляет собой простую волну вдоль дуги АВ и, в частности, волну разрежения, то мы должны задать е( на АВ таким образом, чтобы это соответствовало волне разрежения. Иначе говоря, мы должны задать с1 вдоль АВ так, чтобы от заданных' д„йл прийти по характеристике 1'б к заданному значению 8,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
