Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 63
Текст из файла (страница 63)
ь(=сопзФ и вся эта область отображается на одну-единственную точку плоскости годографа. Ыы видели, что во всей области с простыми волнами якобиан ь'=д(д,д)/д(хбу) =О. Следовательно, замена переменных х, у на переменные ьь, О, являющаяся основной в методе годографа, здесь невозможна, и простые волны являются, по сути дела, »потерянными решениями», которые не могут быть получены как решения линейных уравнений в плоскости годографа. Основным свойством простых волн является следующее: к области движения с постоянными параметрами момсет примьькать только либо еи(е одна такая область движения с постоянными параметрами, либо простая волна.
Иначе говоря, область течения с постоянными параметрами, которая отображается в плоскости годографа на одну точку, не может непосредственно примыкать к области' с течением общего вида, которому в плоскости годографа соответствует некоторая область. Некоторым связующим авеном между двумя этими течениями должна служить простая волна. Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим область Л, движения с постоянными параметрами и некоторую область В, неравномерного движения, примыкающую к ней.
Линия Ю, разграничиваьощая эти две области с различными типами движения, должна быть дугой характеристики, скажем С', потому что (как это было показано в $ 9) именно при переходе через такую кривую производные от функций течения могут иметь разрыв. Поскольку Я принадлежит к области Л„то величина скорости ь( на Ю постоянна и, следовательно, изображением д в области телеграфа будет некоторая точка Р. Через каждую точку области Ве проходит характеристика С .
Рассмотрим в области Л» такую подобласть В, характеристики С которой пересекают отрезок Ю. Образ каждой характеристики С подобласти В должен оказаться в плоскости телеграфа на характеристике Г, проходящей через точку Р. Поскольку, однако, существует только одна характеристика Г, проходящая через данную точку, то изображения всех этих характериСтик С окажутся на одной и той же характеристике Г = Г,. Следовательно, течение в области Л является простой волной. 320 Гл.
Лс. Плоское устоносиешсссл потснзиольнос течение Простая волна может свяаывать любой равномерный сверхзвуковой поток с параметрами у=дам 0=0, с другим равномерным сверхзвуковым потоком, у которого параметры будут равны а = а„ 0=0 при условии, что в обоих этих потоках величина ()+О (или Д вЂ” О) имеет одно и то же значение. Комбинируя бегущую вперед волну и бегущую назад волну и располагая их между этими двумя равномерными потоками, можно в конечном итоге получить поток с заданными параметрами а„0», причем, вообще говоря, во многих случаях этот поток можно получить двумя путями.
Простая волна может быть задана несколькими способами. Можно, например, определить некоторую характеристику Г, как изображение всей бегущей назад волны и, кроме того, видать в плоскостпи х, у семейство прямых линий, представляющих собой .прямые характер стики С'. Если все эти характеристики С' имеют одну общую точку, т. е.
если их огибающая вырождается в одну точку, то мы говорим о центрироеанссой волне сс). Распределение скорости для простой волны (центрированной или не.центрированной) находится без труда по приведенным выше определениям. Обозначим через ф угол, который линия Маха (характеристика С' в случае бегущей назад волны и характеристика С э случае бегущей вперед волны) образует с положительным направлением оси х. Тогда имеют место два таких соотношения Д(д) г О=сове», О+ а =Р, (2) где, как и всюду дальше в этом параграфе, верхний знак относится к бегущей вперед волне, а нижний — к бегущей назад волне.
Постоянная, входящая в уравнение (2), известна, так как характеристика Г; (или Г,) считается заданной, а угол Ф, сбразуемьш прямой С (или С') с осью х, также известен. Таким образом, скорость с( вдоль каждой прямой линии Маха определяется формулой (2). Мы знаем, что характеристика С (С') в точке Р нормальна к характеристике Г'(Г ) в соответствующей точке Р' годографа.
Следовательно, прямая характеристика С в случае бегущей вперед волны перпендикулярна касательной к фиксированной характеристике Г; в той ее точке Р', которая соответствует всей линии С . Итак, подведем краткий итог: обозначим через 6, угол между осью а„и «начальным» направлением характеристики Г; в плоскости годографа (см. рис. (б5), через ф~ обозначим угол между осто х и «начальной» характеристикой С (т. е.
той характеристикой С, которая соответствует звуковой точке на Г;), а через 2$ обозначим заданную постоянную, которая, как и в уравнениях (2) или (16.43), определяет выбор этой частной характеристики Г;. Тогда, предполагая, что течение газа является политропическим, мы будем иметь следую1цие соотношения. вв.л. Онределессие и основние свойснсво 32 с Для бегущей опвргд волны (рис. 105) с',) — Вана)-Ьа — 0=2$,  — а=ф, (3) и, следовательно, обращаясь к первой строке табл.
П1 (п.16.6) пля к рис. 105, получаем 23=90' — О,= — ф,, ф — ф;=Ьа, Д=90'+(Π— О,), ф =Ьа — 2$. (3) Для бегущей назад волны (рпс. 106) с)+ В ев а+ Ьа+ О = 2в), О+ а = ф", (4) и, следовательно, 2в)=90'+О,=ф;, ф' — ф;= — Ьп, ~ = 90' — ( — О,), ф' = 2т) — Ьа. (4') Так как, согласно равенствам (16.39'), а зависит только от а, то последнее из уравнений (4') (и аналогично (3')1 дает связь ьное пение )ванопьноя пиния С Р н с. 106. Бегущая вперед волна в физической плоско- сти и в плоскости годографа. между углом наклона ф' любой прямолинейной характеристики С' н скоростью д вдоль нее *). Приведем еще одно соотношение  — В, = -)- (Ьа — а'), (5) *) Мизес 1261 вместо угла ф использует угол )с=90' ~ ф, показанный на рнс.
106 и )06. Тогда соотношение, соответствующее вторым уравнениям (3') и (4'), будет таким: Ьа-)- Е~=)., пРичем знаки берутся тек, кан мы условились ранее. 21 Р. Месье Гл. 1У. 11аоское усвиаиовившееси лоотеииианъное течение где а' = 90 — а представляет собой введенный в п. 16.6 угол между направлением характеристики Г в точке Р' и радиусом- вектором О'Р'.
Начал лино Р и с. 106. Бегущая назад волна в физической плоскости и и пло- скости годографа. 2. Численные результаты. Линии тока и поперечные линии Маха Рассмотрим теперь случай политропической связи между р и ц при я=у=1,4. Возьмем отдельную бегущую вперед волну с постоянной 26 = 90', которая соответствует характеристике Г;, т. е.
8=а+Ьа — 90'. Помня, что о, =0' и а, =90', мы видим, что бв — — 0', кроме того,.очевидно, ф =8 — а=йод — 90'. Подобным образом для волны Г, с постоянной 2ъ) =90' или 8=90' — а — Ьо будем иметь 8,=0', ф =8+а=90' — Ьн. Если скорость меняется от о, до д, а число Маха М от 1 до со, то угол Маха а меняется от 90' до 0', а а от 0' до 90'. Рассмотрим как характерные две указанные выше волны со значениями 8, = 0'. Из приведенных формул мы получим, что при таком иаменении д в бегущей вперед волне угол ф меняется от — 90' до (Ь вЂ” 1) .
90' = 130,45', т. е. на 220,45', а угол 8 — от 0' до '130,45', в бегущей назад волне' р' меняется от 90' до — (Ь вЂ” 1) 90'= — 130,45', т. е. на — 220,45', а 8 — от 0' до — 130,45'. Эти результаты сведены в табл. 1у'. На рис. 107 н» одном и том же чертеже показаны годографы двух характеристик Г; н Г, при 8, = 0', а также две пары прямолинейных характеристик Св, С" и Ср, С в физической плоскости.
Бегущая назад волна Г, начинается от пунктирной линии С~' (которая соответствует точке Р,) и разворачивается на 220,45' по часовой стрелке до пунктирной линии С', а бегущая вперед волна начинаегся от сплошной линии Свъ (также соответствующей точке Р,) и равворачнвается на 220,45' против часовой стрелки до линий С 18.2., Линии жопа и поперечные пинии Маха. 323 Табанил 1Ч ИЗИВНЕНИБ ОСНОВНЫХ ВЕЛИЧИН В ВОЛНЕ, ББГУЩЕИ ВПЕРЕД, И ВОЛНЕ, БЕГУЩВИ НАЗАД Бегущая вааад волна Го 0= — а — ла+00', 15'=0+а Бегущая вперед волна Го а=а+Ля — 00', 15=0 — а На рис. 208 для простой волны построены графики изменения угла наклона скорости 9 в зависимости от числа Маха М, а танисе от угла а. С 1 Сс Р я с. 107.
Бегущая вперед и бегущая назад простые волны для ее=О. Для любой волны с произвольным значением 9е первые шесть строк в табл. ЪЧ остаются без изменений, но в седьмой строкЬ вместо р надо написать 15 — 15, =г 90', а в последней строке вместо 9 надо написать 9 — 9,. В формулах же (3') и (4') мы по-прежнему соответственно будем иметь 15; = 9, + 90' = 2е) и ф, =9,— 90'= — 2$. 21о 0 М а а' а % 1 90' 0' 0' 90' — 90' — о 130,45' 0' — о 130,45' ет 0' 90о 90 о 220,45' +90' — > — 130,45' 0'.
-о †1,45' 324 Гл. 1'е'. Плоское устоноеиеиееесл нотенциальное течение Таблица У (я = у = 1,4) содержит раалнчвые параметры, характеризующие сверхзвуковое течение в простой волне, а именно 8 — В„М, а, Р— Оо„Р/Ре и ф свЯзь междУ Различными Углами определяется формулами (3) и (4). Конечпо, в этой таблице можно было бы добавить соответствующие значения О/О„Т(Т, в т. д. В табл.
1 (п. 8.4) мы затабулировали величины р(р„ я!О, и Т(Т„причем ~ =0,5283 Р, О =0,6339 О, — =0,8333 —. ре ' р~' рл ' О~' те т,' В предыдущем пункте мы видели, что распределение скорости для всего семейства прямых линий Маха будет определено, если ЮО ВО ~~, ВО Ф оо 00 0 1 В Г М ч Е В 40 00 ВО сх (градусы) Р и с. 108. Угол наклона скорости О в зависимости от числа Маха М и от угла Маха а. мы знаем эпициклоиду, являющуюся иэображением данной простой волны в плоскости годографа (т. е.
знаем соответствующую постояннуео 2$ или 2Ч) и угол наклона р каждой ливии Маха. Рассмотрим, например, эпицнклоиду 2ц = 120', т. е. бегущую назад волну 13+ 8 = 2ц =120'. Пусть мы хотим найти вектор скорости и на прямой линии Маха с наклоном, равным, скажем, С828'. Здесь ф, =120', О, =120' — 90'=30', а величина 18 в физической плоскости меняется в пределах от 120' до — 100,45', таким образом, значение р = 28' попадает в этот интервал. В соответствии с величиной ) р — ф,~ = 92' по табл. 'Ч найдем значения М = 2,132, 8, — 8 = 30' (для бегущей назад волны Ое>8) и а=27,97'. Так как 8,=30', то отсюда 8=0', а для 18.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
