Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 59
Текст из файла (страница 59)
П и Ш. Мы видели, что в окрестности такой предельной линии имеются два течения, которые встречаются на этой линии; а это означает, что сба течения имеют там одни и те же значения величин д и 9. Эти обстоятельства, а также соответствующее положение для случая М = 1 станут ясными, когда мы изучим другие примеры и общую теорию. Во всяком случае, если отобрангение плоскости течения на плоскость годографа, и наоборот, лишено особенностей, то между величинами в этих плоскостях существует соответствие. Но если такое отображение осуществляется функцией, имеющей особенность, то в окрестности этой особенности свойства отображения должны быть изучены дополнительно.
В реальных задачах мы сталкиваемся с дополнительными трудностями. До сих пор мы предполагали, что частное решение, скажем ф(9,0), уравнений в плоскости годографа уже было найдено, и мы могли встречать трудности лишь в связи с возможностью появления предельных линий. Однако важные практические задачи, такие, как течение в канале и течение около крылозого профиля, являются яраевыма задачами, и здесь возникают новые обстоятельства. В данньш момент мы дадим здесь лишь некоторые укавания относительно этих задач.
Прежде всего 'в таких задачах граничные условия задаются к физической плоскости и в общем случае из ннх нельзя получить граничные условия з плоскости годографа, которые определяли бы соответствующую линейную задачу в плоскости годографа. Возьмем, например, течение около профиля с тем типичным граничным условием, что контур профиля в физическая плоскости является линией тока, т. е. что вдоль данного контура $= О. Так как по этому условию мы не можем найти распределение скорости г) вдоль рассматриваемого профиля, то мы, следовательно, не знаем изображения этого профиля в плоскости годографа и не можем поставить соответствующую линейную задачу в плоскости годографа.
Кроме того (и это, вероятно, является даже более серьезной трудностью), во многих случаях нет уверенности, имеем ли мы даже в физической плоскости корректные граничные условия, корректные в том смысле, что существует единственное решение задачи, которое Удовлетворяет дифференциальным уравнениям и граничным условиям и которое зависит, в соответствующем смысле, непрерывно от граничных значений. Эта новая трудность в значительной степени связана с нелинейностью задачи: действительно, тип наших нелинейных УРавнений (эллиптический или гиперболический) зависит от самого определяемого решения, которое в свою очередь должно быть найдено по граничным условиям. А хорошо известно, что ЗОО Гл.
в У. Плоское установившееся нотенеиальвое течение в случае эллиптической или гиперболической задач для определения решения должны быть поставлены совершенно различные граничные условия (см. $ 25). Рассмотрим, например, канал со сверхавуковым потоком во входном сечении (см. конец п.16.4). В эхом случае течение до тех пор, пока оно остается сверхзвуковым, будет определяться однозначно. Если же течение не остается сверхзвуковым, то тогда оно больше не определяется (полностью) условиями на входе.
Рассмотрим далее течение около крылового профиля: если мы знаем или предполагаевц что обтекание будет чисто дозвуковым, то аналогия с задачами для течения несжимаемой жидкости указывает на постановку граничных условий в фиаической плоскости (в последнее время здесь были достигнуты определенные математические результаты (см.п.25.2)). Однако если не исключена возможность появления смешанного течения, то мы можем поставить граничные условия предположительно, исходя из физических догадок илн математической аналогии. В этом случае мы не можем даже сказать, будут ли принятые нами граничные условия определять решение (т.
е. не постав- лево ли их слишком мало или слишком много), не говоря уже о том, каким образом следует вычислять решение. Ввиду такого положения дел мы будем в большей мере прибегать к помощи непрямых методов. Начав с рассмотрения примеров точных решений, мы сможем затем описать а розтеПог1 ту физическую картину, которой в действительности соответствует течение, определяемое этими точными решениями.
Эти примеры интересны сами по себе; кроме того, онн иллюстрируют некоторые общетеоретические положения, которые могут быть типичными. Это будет иметь место как для тех простых примеров, которые мы рассмотрим в следующем пункте, так и для аадач, которые мы будем научать в $ 20 после ознакомления с общей теорией. Даже более эффективные методы, которые будут изложены в $21, представляют собой, в действительности, непрямые методы, хотя нашей целью здесь будет решение граничных задач.
4. Точные решения в плоскости годографа: радиальное течение, вихрь, спиральное течение В качестве первых примеров точных решений в плоскости годографа мы рассмотрим теперь некоторые из тех течений, которые ранее ($7) уже были получены нами в физической плоскости'а). Это приведет нас к новому пониманию некоторых свойств этих течений. а. Савсимаемый вихрь. Это течение является таким частным случаем осеснмметричного течения из п.7.5, когда радиальная скорость в)„ = О. Здесь в качестве отправного пункта мы примем 1У.».
Тоинаье решения е иеооеоети аодогрофа уравнение (12) и частное решение Ф= — се (с > 0). (28) Из уравнений (7) н (4") находим два дйг дд ' д — =О=х зв+уз1пв, — =-С=д(ус  — 1пе) и, следовательно, Сыаэ Сдо а д д С сое В С де (29) д да Разрешая эти уравнения, что не составляет никаких трудностей, получаем Сэ с. с Чх= а Ч = а Ч=— га ' о га г (30) откуда следует уравнение дэ до — =аббе= — = — — нли х +у =-,; с' (31) д» у да это — уравнение линий тока, которые представляют собой концентрические окружности, причем на каждой такой окружности скорость д имеет постоянное значение. Максимальному значению скорости д = д соответствует, согласно уравнению (31), минимальное значение радиуса г = г „,, = г;, и, значит, С= д г,.
Циркуляция вдоль всех линий тока имеет одну и ту же величину 'Ъ Г= $Ч Л= ф дге(0 = 2ягд = 2лС, (32) или г Ч 2 $ г — = гд, 2я. Тогда я г,= Г/2яд . гад» 1/ 2 г — г, 1+ — г ( — ем 1, -и=т (30') Мы видим, что на окружности гее г, (где д = д ) давление и плотность равны нулю. Когда г неограниченно возрастет, то д убывает до д=о, а о и р увеличиваются от нуля до нх заторможенных значений в точке торможения (см. рис.
100) ае). На окружности г=яг, скорость равна скорости звука, М=1. Таким образом, внутри кольца между г=г, и г=йг, имеется сверхзвуковое течение, а снаружи этого кольца — дозвуковое течение. Из уравнения (6') следует равенство у = — Ф = Св, которое подтверждает, что эквипотенциальные линии являются ортогональными траекториями линий тока. 302 1л. /У. Плоское установившееся яотенциальное течение б. Радиальное течение. Источник и сток. Теперь мы собираемся рассмотреть радиальное течение, т.
е. течение, которое происходит вдоль радиусов от некоторого центра нли, наоборот, к этому центру (см. п.7.3). Решение уравнения (16.32') тр = йе, (33) где /с — пронавольная постоянная, соответствует в плоскости годографа прямым лпнням тока, проходящим через точку О'. ла~ З' йн М=1 г', М=а т 10 08 0,У 0 1 г /ь х о .е/су с Р и с. 100. Сжимаемый вихрь. а — окрутноети — ливии тоня; С вЂ” плотность, данленне и скорость в еовисииости от расстоянии т. С помощью уравнений (16.31) и соотношений (25') найдем координаты х= — соз0, у= — зтп9. /с а (34) 0Ч ' ЕЧ Отсюда видно, что линии тока в фнаичесиой плоскости действительно являтотся прямыми, проходящими через начало координат (см. рис.
101). Из формул (34) следует — — (34') 303 »7.А Точнме решения е пеоекоети годогре»7»а где ~ т — мо«цность источника, отйесенная к единице длины, а знаки ~ выбираются в соответствии со знаком )е. Окружности г= сонэ» являются линиями постоянной скорости «7; они нормальны к линиям тока, направленным по радиусам, следовательно, они р-О 7»гтт п»ока в укоеом ии ока е»«ггвулоеом ечекио 70 Оо" ог 7 г. 5 е "1гг »7 Р и о, «О«, Радиальное течение. о — два радиальных твчгяия и предельная ливан; 6 — платность и скорость в вавиоимооти от равотоявия в плоском радиальном течении.
явля«отея эквипотенциальными линиями, которые здесь, таким образом, представляют собой концентрические окружности. Подставляя в уравнение (34') значения о пли о по формуле (16.12') при 0, = 1, получаем а Г Ег ~ — «дм — 0 а г= ~ — ~ 1 — — ) = ~ — (1 — ом — «) — Чг. (34") у тш этм Связь (34") между о и г уже исследовалась нами в п.7.3. (Таь« ~~рез «7„= ~ д мы обозначали величину скорости в направлении возрастания г.) При этом мы получили следующие результаты: 304 Гл. 1 У. Плоское устансеиешееса истенциальнсе свечение кривая о = о (г) имеет две ветви; при г, меньших некоторого значения г „=г, (где М=1), у этой кривой не суьчествует действительных точен.
Верхняя ветвь нижней кривой на рис. 101,б представляет собой графин скорости д/о для чисто сверхзвукового течения (типа источника или стока), причем скорость здесь меняется от звукового значения д, при г= г, до максимального значения д при г= со.
Нижняя ветвь этой кривой представляет собой график скорости для дозвукового течения (типа источника или стока), причем здесь скорость меняется от о =0 на бесконечности до звукового значения ц, при г = г,. Оба эти течения встречаются на окружности г=г,. Когда д увеличивается от д=О до о=у„, плотность убывает от своего значения в точке торможения о=о,=1 до звукового значения о=о,; а когда д меняется от д= д, до д = дт, плотность убывает от о, до нуля. К таким же выводам мы придем при непосредственном исследовании входящей в уравнение (34') величины расхода жидкости через единицу площадй оо (см.
уравнение (8.5) и рис. 40]. Вводя звуковые значения величин, можно записать уравнение (34') так: Ьй г~ оа На звуковой окружности г= г„где встречаются оба указав- пые выше течения, ккобиан д(~р,ф)/д(д,б) оброи(оется в нуль, потому что, согласно формулам (33) и (27), д(~Р, ф) Ме — (к~ э(у, з) оз Ускорение Ь становится тогда бесконечно больиеом. Действительно, (з ад лд Ь= — =д — =+д —; Ш Зе ае используя уравнение '(34') и дифференциальную формулу (8.5) для оо, получаем для Ь следующее выражение: оое Ь (Ме — 1) е которое обращается в бесконечность при.М =1. Оба укаэанные выше течения не могут быть продолжены через предельнузо лнни1о г= г„и вблизи атой линии они должны рассматриваться как физически невозможные. Это решение дает простейшую иллюстрацию того положения, что крайне простое однозначное решение в плоскости годографа (0, ( б < бз) может приводить и нескольким различным физическим течениям, которые встречаются па предельной линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
