Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 56
Текст из файла (страница 56)
93. Пусть Р' — произвольная точка в кольцевой области, соответствующей сверхавуковому течению и заключенной между звуковой окружностью С, и окру С и ок жностью макси- 2 калькой скорости С . Пусть С вЂ” окружность рад у (Ч и са ( — Ч)~ , Р з с. 93. Эпвцвнловды — характеристики в плос. кости годографа. с центром в точке М, которая проходит через Р' и касается С, С . причем это такая окружность, для которой угол наклона и; р О'М больше угла 8 (т. е. мы рассматриваем характеристику Г ). П В и  — точки касания С с окружностями С, и С соот- "Р' А.
ветственно. ОтрезкнВ,Р' и О'А перпендикулярны прямон 'В, Тогда ВеВ,(О'В, = Ь вЂ” 1, следовательно, АР'(АВ, = и де — (О'А)' = Ь'[д*, — (О'А)'), (О'А)' = †" (д' — д') = ее. Ф Значит, угол О'Р'А является углом Маха а, а прямая АР нормалью к характеристике Г" в точке Р'. Далее, с'ьдАО'В, = — Ь с О'Р'А, и, следовательно, угол АО'В, есть угол и, определенный формулой (39'). Согласно равенству (39), имеем 8 = а + Ь вЂ” 90' + 8 где через 8 обозначен угол, который начальное ! н авнаправление в ние О'В составляет с некоторым фиксированным апр — га ВВ лением.
Дуга В,Я' равна 2о(д — д,)~2=(Ь вЂ” 1) д,о, а дуга равна д Г(8 — 8,)+ (90' — а) — о] = о, (Ьп — о); следовательно, зтя две дуги равны между собои. Таким образом, характеристика Г' образуется фиксированной точкой Р' окружности С, когда зта окружность, начиная от В„, ед.б. Хороотериотиеи е олоооооти еодоерофо катится без скольжения по внешней стороне окружности С,.
Получаемые таким цутем кривые называются эпициклоидами. Меняя направление качения, мы образуем характеристики Г . Оба семейства характеристик состоят из вонгруенрлныв епицинлоид, н любая кривая каждого семейства может быть получена нз одной фиксированной кривой при 1 + помощи поворота вокруг точки О'. йд' Между прочим, если Ь вЂ” иррациональное число, то при не- 0 ограниченном продолжении качения образовывались бы в конце концов эпициклоиды, проиввольно бливкив ко всем эпнциклоидам (обоих семейств).
Полезно также знать, что центром р в с. 94. две эпвпвклоиды с гокривизны эпициклоиды в точке рвзсвтальвым начальным ваправлв- Р' является точка Я, в которой вием. прямая О'Ч (точка Д лежит на том же диаметре окружности С, что и точка Р') пересекает нормаль Р'А. На рис. 94 изображены две характеристики Г, у которых начальное направление горизонтально, т. е. 9, = О. Очевидно, что обрааованная ими кривая имеет точку возврата на звуковой окружности, где а= 90', а угол а' между каиедой из этих характеристик и гориаонтальным радиусом-вектором равен нулю.- Зги характеристики касаются окружности максимальной скорости, гдв а' = 90', а=О' и )9) = 130,5' для к = 1,4.
Другим полезным соотношением здесь является следующее. Если обозначить (рис. 93) через и и о составляющие вектора скорости АР' = д соз а и О' 4 = д Мп а, направленные соответственно перпендикулярно касательной з точке Р' и параллельно ей, то тогда из чертежа видно, что ОА=(ОВ,)сова=у,сова=о, АР'=(ОВ,)з1па=д Мпо=и. Отсюда получим (40) У этого эллипса Е с полуосями д, и д радиус-вектор ц=О'Р' образует угол а с осью и (рис.
95,а).' Используя эллипс В, можно просто определять направление линий Маха, соответствующих точке Р' годографа (рнс. 95,б). Мы видели, что выражение, стоящее в правой части соотношения (39), аависит только от д н, значит, может быть выражено 284 Гл. 1 У. Плоское уетаноеиеиеееея яотенииолъное течение через любую из следующих переменных: о, М, р и 9. Соотношения, свяаывающие ати величины, были выведены в п.8.3 и 8.4 и частично были получены заново в п. 1 настоящего параграфа.
Таблицы этих величин, а также их графики для различных йацоааяение яияао С Р я с. 95. Эллипсы Маха. независимых переменных име7отся в литературе (см. примечание 28 к гл. 11). В конце п. 8.4'была приведена таблица, которая служит скорее для иллюстрации, а не для практических целей. В ней мы затабулировали величины р/р„д/9„Т(Т„ д/д и 0,6,/09 по числу Маха М. В нижеследующей небольшой таблице (табл. 1И) мы приводим дополнительно несколько Таблица 1П О=а+ли значений а, а и (~ = а'+ по (в градусах), рассчитанных по второй формуле (23) и по формуле (39') для нескольких значений М и х 1,4.
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 '4,0 90,00 41,81 30,00 23,58 19,47 16,60 14,48 0,00 0,00 24,53 35,26 43,08 49,10 53,85 57,67 90,00 90,00 101,91 116,38 129,12 139,75 148,53 155,78 220,45 16.7. Сетки характеристик Следует сказать, что то геометрическое обстоятельство, что характеристики в плоскости годографа оказались хорошо изученными кривыми, а именно эпициклоидами, не имеет большого значения для данной задачи. Главным здесь является то, что эти фиксированные характеристики известны в явном виде и могут быть построены и затабулированы заранее. 'Между прочим, напомним, что в п. 8.2 было доказано другое, по существу более интересное геометрическое свойство этих линий Г, которое в нашел настоящей терминологии может быть сформулировано так: фиксированные характеристики в плоскости годографа (в нашем случае эпициклоиды) являются проекциями асимптотнческих линий бугра давления (см.
рис. 38). 7. Сетки характеристик в физической плоскости и в плоскости годографа Для облегчения расчетов удобно ввести одну систему координат, которую можно будет применять как для фиксированных характеристик в плоскости годографа, так и для линий Маха в физической плоскости.
Это можно сделать различными путями. Мы видели, что дифференциальное уравнение (35) для линий Г может быть проинтегрировано явно; это дает выражение (39). Имея в виду уравнение (35), мы можем ввести теперь функцию с,е, зависящую от о и определяемую так: нли (см. табл. 111), если ограничиваться политропическим течением, так: + 90' = а + Ьо. ,~ асяа (41') 9~ Тогда соотношения совместности (24) и (24') вдоль линий Маха С' и С-, с одной стороны, и уравнения фиксированных характеристик Г" и à — с другой, могут быть записаны как Д(д) — б=сопзФ вдоль С' и Г', Д(д)+б=сопзс вдоль С и Г-. (42) Будем обозначать теперь линии Маха С и С' как линии $ и линии и соответственно. Если ввести координаты $ и е), а именно 0(Ч)-8=21 Я(~)+4=29 .
(43) то тогда, согласно равенствам (42), линии Маха С и характеристики Г будут линиями и = солях (лнниями $), а линии Маха С' и характеристики Г' — линиями $ = сопзс (линиями ц). Для каждой отдельнойлинии 4=$е имеем 2$е=90ч — 6, и аналогично 286 Гл. 1Р. Плоское устаноеиешееся потенциальное течение для линии ц=ц имеем 2ц =90'+О„причем О, представляет собой аначение 0 в такой точке этой линии, которая находится на звуковой окружности.
В этой точке направления характеристик Г' п Г и направление вектора скорости совпадают '). Из формул (43) вытекают важньде соотношения: д",д=ч)+$, (44) которые, между прочим, показывают, что сумма ц+5 постоянна вдоль концентрических окружностей о = в = сове« в плоскости годографа, тогда как разность ц — $ остается постоян- С С ной вдоль радиусов.
Равенства 0 = Рис. 96. Постоякстио ирири- =ц — 5=сова« и де=ц+0=соизд щения дэ вдоль характеристик. определяют в физической плоскости линии постоянного угла наклона скорости О и линии постоянного модуля скорости а соответственно. Как непосредственное следствие равенств (42) мы получим следующее свойство линий Маха (см. рис.
96). Рассмотрим две фиксированные линии Маха одного семейства, скажем две линии ь, а именно т~ = цс и ц = т~д. Назовем «соответственными точками» такие тоцки на этих двух линиях, которые имеют одну и ту же координату 5, и обозначим через з угол между направлениями скорости в соответственных точках. Тогда, .согласно соотношениям (44), имеем ЛО.= е = 0 (9, «1д) — 0 ($, »1 ) = (»1д — 5) — (т~ — 5) = »1д — »1 . (45) Значит, этот угол определяется только двумя фиксированнымк характеристиками С и не зависит от переменной $. Меняя роль этих двух семейств характеристик, получим также Ь'0 = е' = 0 ($„т~) — 0 (5„ц) = $о-эд. (45') Аналогично для угла Д(д), который является функцией о, М, р или о, получим А(),=06,Ч ) — 06 Чо) =Ч вЂ” Чо= — э А'е=е(9 ~) — 06 )=$ — $,=-г'.
(45") Следовательно, угол между векторами скорости в соответственных точках двух фиксированных характеристик сохраняется одним и тел« же вдоль этих характеристик; аналогичное условие сохранения справедливо и для приращения Д «). В п. 4 мы показали, как в некоторой области можно пост- роить сотку линий Маха по граничным условиям определенного 287 16.7.
Сетки характеристик типа. Чтобы построить эту сетку, мы пользовались соотношениями совместности (24) в форме конечно-разностных уравнений (25) н формулами для направления характеристик (23). Этот наиболее прямой способ построения характеристик, по существу принадлежащий Ж. Массо, можно превратить в практически пригодный приближенный метод, если вдоль линии Маха применять соотношения совместности в форме (43) вместе с соотношениями (23) и таблицей значений 8 (или Д) в зависимости от о (см. конец предыдущего пункта).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
