Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Первое приближение, найденное таким образом, может быть уточнено с помощью итераций. Ниже мы опишем другие полезные методы — численный и графический — для определения линий Маха, когда сетка характеристик Г считается известной. Чтобы конкретваировать наш анализ, рассмотрим задачу с граничными условиями на характеристиках. Пусть две дуги ОА и ОВ з плоскости х, у являются частями линии 4 П линии ц соответственно. Случай, когда часть одной из этих кривых или вся она целиком является прямой линией, будет рассматриваться в 8 18, где мы будем исследовать так называемые простые волны. В настоящем же случае предполагается, что ОА и ОВ являются кривыми линиями. Возьмем ряд последовательно расположенных точек $„$„..., ~', ...
на ОА и ц, и„..., ц„, ... на ОВ и рассмотрим соответствующую сетку, произвольная точка которой имеет координаты ($ , 7~„).или сокращенно (и, и). Тогда из соотношений (44)„ обозначив 0 „ = пи †с, получим (46) и аналогично Е..-а..-а.+О..=о. (46') Отсюда, зная 9 и ~ в точках, последовательно расположенных яа ОА и ОВ, моя<но рассчитать эти величины во всех остальных узловых точках. Однако нам надо знать еще координаты х „, у „ точки в физической плоскости, соответствующей точке ($„, Ч„), к которой относится вектор скорости и „. Чтобы найти эти координаты, т.
е. наши первоначальные независимые переменные, применим метод расчета по шагам. Простейшим здесь является реккуреитный способ, использу1ощий формулы Фт 1,и+Фти Ути Ут-ь п = ий 2 (*ти хт-ь и) (47) Ф, ~+У Ути Уи., и 1= ьй ' с (ити — *т, и-т)~ где х „у „ха, уа„— иазестные координаты последовательно расположенйых точек на ОА и на ОВ соответственно. Величины 288 Гл. 1'й. Плоское устаноеиетеесл потенциальное течение ртп'и р,~, известны во всех узловых точках, поскольку мы там уже нашли значения 0 п !7. Значит, формулы (47) представляют собой два совместных линейных уравнения, которые определяют х „,у „,послетогокакнайденых п„у „, их,„,у В соответствии с квазилинойным характером задачи наши первоначальные искомые величины 8 и !7 находятся сразу из линейных соотношений совместности, или, иначе говоря, из того условия, что сетка в плоскости годографа известна.
Для определения же независимых переменных х и у необходим метод расчета по шагам, основанный на использовании формул для направления характеристик. Указанный метод, который по существу, конечно, является некоторым видоизменением. метода, изложенного в п.4, можно также сделать более точным при помощи итераций. С Р Г Р в с. 97. Графическое построение линий Маха. Самый известный графический способ построения линий Маха основан на том свойстве, что характеристики С' и С в точке Р соответственно нормальны характеристикам Г и Г' в точке Р' годографа. Рассмотрим в физической плоскости на характеристике С точки Р„Р, Р„..., в которых известны аначения вектора скорости й„!(„!(„....
Если построить годограф этих векторов, то концы их Р„'Р,', Р„'... расположатся на соответствующей характеристике Г . Далее, касательная в точке Р;. к этой характеристике Г нормальна к характеристике С в точке Р! (рис. 97). Это обстоятельство все время используется в методе, принадлежащем А. Буземану (см. рис. 98). Обозначим через Р' „ точки сетки годографа. Тогда, отправляясь от заданных граничных значений, строят последовательно сетку Маха из точек Р „ з соответствии со следутощим правилом: РтпРт, и-!.! й Ртпрт — 1,п 1 Рта~ т+е, и.) Ртам, и — 1 При этом построении линии Г соответству!от линиям С, а линии Г соответствуют линиям С'. Пунктирные прямолинейные отрезки 17.1.
Нрссбравование Лежандра в плоскости годографа, имеющие направление характеристик Г, перпендикулярны пунктирным прямолинейным отрезкам в физической плоскости, име<ощим направление характеристик С', аналогичное положение имеет место для Г' и С . Если в физической плоскости~каждую ячейку характеристической сетки обозначать Ри Р и с. 98.
Вааииво обрагиыв сетки в плоскости течения и в плоскости годографа. двумя числаьш, равными наименьшим значениям индексов для четырех углов Р<„этой ячейки, то такая ячейка (<, 7<) соответаствует точке Р<ь в том смысле, что четыре стороны ячейки (<, 1<) соответственно нормальны четырем сторонам, проходящим через точку Р<ь (взаимно обратные сетки).
1 17. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАССМОТРЕНИЕ МЕТОДА ГОДОГРАФА 1. Дифференциальные уравнения, получаемые с помощью преобразования Лев<андра В предыдущем параграфе мы исходили из двух нелинейных уравнений в частных проиаводных первого порядка (16.1) и (16.2), выражавших условия неразрывности и отсутствия вихрей. Преобразовав эти уравнения к естественным координатам, мы получили основные нелинейные уравнения (16.7) для д и 6, которые вместе с формулами (16.10) полностью определяют рассматриваемую задачу.
В пЛ6.2 при помощи формул (16Л5), (16Л7) и (16.18) были введены потенциал ф и функция тока ф. Уравнения (16.18), в которых <р п ф являются зависимыми, а х и у независимыми переменными, или соответствующие им уравнения в естественных координатах (16.18') также образуют систему двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Эти простые по виду уравнения на самом деле являются весьма сложными, поскольку в них плотность о должна быть выражена через д, а д — через <р. Далее мы вывели нелинейное уравнение второго порядка (16.14) для <р и аналогичяое уравнение (16.21) для <р, а также соответствующие уравнения в естест- !Э Р миге< 290 Гл. 1У.
11лссхос установившееся потенциальное течение венных координатах (16.16') и (16.20'). В п.16.5 мы ввели преобразование годографа, и оно привело к различным видам линейных уравнений. Применяя тогда д и д (прежние зависимые переменные) в качестве независимых переменных, мы получили основные линейные уравнения. первого порядка (16.31), а также уравнения второго порядка (16.32) или (16.32') для $ и (16.33) или (16.33') для ьр. В атом и следующем пункте мы приведем некоторыо другие формы уравнений изучаемой задачи.
51ы предоставляем читателю установить и исследовать различные аналогии с уравнениями, выведенными в гл. 1П. Система двух нелинейных уравнений в физической плоскости для составляющих скорости ох = и, до = о состоят из уравнений (16.2) и (16.14): (а — и ) — — ио( — + — )+ (а — о ) — = О, да Г да до ь з з до дх (, дг дх ) дг (1) до ди — — — =О. дх ду (2) дти уравнения можно линеарнзирозать при помощи непосредственной замены переменных, указанной в п. 10.6 и .применявшейся в гл.
1П. Если якобиан дх до до до д(п,о) 1 дх ду ду дх д(х,у) отличен от нуля, то мы получим' следующую линейную' систему: (а — и ) — + ив( — + — ) +. (а — о ) — =О, дУ /дх ьдкк з з дх до 'ь. до дц ) да дх ду — — — =О. до дх (3) — =х, — =у. дФ дФ ' (4) ди ' до Тогда первое из уравнений (3) записывается в следующем виде: и) дь+2иод д +(а о) да — — О. (5) Введенная таким образом функция Ф представляет собой резуль- тат прилвенения преобразования Лежандра к пипенйиалу ьр е). Из соотношений (4) и (16.15) имеем -аФ=хаи+у~Ь, Йр=иах+оау (4') Чтобы удовлетворить второму из этих уравнений, введем функцию Ф(и, о), такую, что 11.1. Преабрааааание Лежандра 291 и, интегрируя, получаем Ф = ~ (х ба+ уе(о) = ~ Ы(хи+ уо) — ~ ( и йх+ое(у) =хи+ус — ~р. Следовательно, потенциал у, рассматриваемый как функцня х и у, и функция Ф, рассматриваемая как функция и и о, связаны соотношениями Ф вЂ” хи+ уо — Ф вЂ” х — ~- у— др да ду дФ дФ (6) ~р = их + оу — Ф = и — + о — — Ф.
ди да Используя в качестве независимых переменных о и 0 вместо и и о и обозначая для краткости составляющие радиуса-вектора г по направлению скорости и по нормали к ней так: хсозд+узшд=Х, усозд — хз!пВ=У, (7) мы получаем из соотношений (6) следующий результат: Ф= д(хсоз0+ уз!и 0) — <р= оХ' — <р. Значит, — =Х дФ д ) В дФ вЂ” =ду дз (4') ~р= о — — Ф, Ф=Х вЂ” — ~р. дФ ди дд ' да (6') Кслп функция Ф(и, о) известна, то для определения функции тока ф служат следующие соотношешия, вытекающие из соотношений (16.17) и (4): ди ч'( диа + ди да) ' да ч ( ди да+ доа ) д9 даФ даФ дф даФ вЂ” даф влн (8') введечия (9а Аналогично можно определить функцию Ч", полученную из функции токи чр пуп1ем применения преобразования Лежандра. Если провести замену переменных х, у на переменные 9и, 9о, то урав.
пение неразрывности примет вид ди ду — + —. =- О. д (си) д (оа) Это уравнение можно удовлетворить посредством 292 Гл. е' е'. Плоское устаноеиеаееся потенциальное течение функции Ч' от йи и йо, такой, что дЧ' дЧ.' дЧ' = — х; =У. (9) а (до); а (Оо) д (дд) Интегрируя соотношения (9), получаем следующие выражения, аналогичные выражениям (6) и (6'): дф дт д~д Ч' = йиу — йох — ф = х + у — — ор = У вЂ” — ьр, дх ду да дЧ' ' дЧ" дЧ' ф=йиу-Е * — Че=й — +йо — — Ч"=90 — — Че.
а (ои) а (оо) = а (дд) Выведем теперь систему двух уравнений первого порядка для Ф и Ч', аналогичную системе (16.31). Испольвуя последнее из уравнений (9) и соотношением/дд= — йд/оз, сразу же находим дЧ' дЧ' д (ди) дЧ" д (оо) + — — = — 00Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
