Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 58
Текст из файла (страница 58)
дз д (ои) дз д (до) дз дЧ' д з дФ дЧ' дФ вЂ” = — (1 — м*) —, — = — йд —. дд д дз ' дз дд ' Исключая обычным образом Ф или Ч', получаем линейные урав- нения второго порядка . де деФ деФ дФ 1 — М' дде дзе дд + +д =О, — — + —,+од- ~~ ., ~ — =9. де аеЧ а Ч д Г д 1 аЧГ 1 — Ме аде дз «Гд ( 0(1 — Ме)( дд (13) Сравнивая уравнения второго порядка для у, ~р, Ф и Ч', заме- тим, что уравнения для ер и Ф, а именно (16.32') и (12), проще, чем уравнения для ~р и Ч" ш). (12) 2.
Другие формы линейных дифференциальных уравнений а. Уравнения для Х и е = дУ. Пусть функция Ф (д, О) является решением уравнения (12). Тогда, ввиду того что все козффициенты уравнения (12) зависят только от д, леобые производныо дФ/дд, д'Ф/дд' и т.- д. будут также удовлетворять уравнению (12). В частности, поскольку дФ/да=ЧУ, функция (14) Е = дУ = д (у соз 0 — х з(в О) Следовательно, — = 0У (1- М'), —, = — ЕЧХ; дЧе ач~ дд (9') подставляя сюда выражения (4"), получаем интересующие нас уравнения 1т.в.
Друеие фармьь уравнений 293 удовлетворяет тому же уравнению, что и Ф, а именно я 1 — Мь дяь дм дя — + — +д — — — О. (15) Согласно этому уравнению и соотношениям (4"), получим для функций Х и Я следующую линейную систему: (16) аг я ах — = — — — ях. дз М' — 1 дя дх дХ дя дэ ' Исключение Х из этой системы снова приводит к уравнению (15), а исключение 7а дает уравнение для одного Х. Уравнение (15) столь же просто, что и уравнение (12) или (16.32'), систему же (16) можно сравнить с системами (11) и (16.31). б. Уравнения с независимыми переменнььми Ч и 8 ияи 9 и ц.
Если исследовать различные линейные уравнения второго порядка (16.32'), (16.33'), (12), (13) и (15) н временно обозначить через Р любую из зависимых переменных в этих уравнениях, то легко увидеть, что во всех вышеперечисленных уравнениях члены второго порядка имеют такую форму: дьр Ма — 1 дьр дяь яь аэь' Этого и следовало ожидать, потому что эти члены определяют фиксированные характеристики в плоскости д, 8 (действительные и определенные только при М > 1), которые не зависят от того, какая функция от «1 применяется для описания течения. Для каждой такой функции мы снова получим уравнение (16.35).
Конечно, тот же самый результат будет следовать и из каждой пары уравнений (11), (16) или (16.31), если их характеристики искать с помощью способа, описанного в 9 10. Все эти дифференциальные уравнения можно упростить, если вместо о использовать переменную (), определяемую для сверхзвукового течения равенством (16.41). Вообще же говоря, можно определить для дозвукового и для сверхзвукового течений соответственно новые переменные )ь и Д следующим образом: д'ь ~'1 — м вО т'м — 1 Фя я ' дя я Тогда члены второго порядка в соответствующих уравнениях второго порядка упростятся и примут вид дьр дьр дьр дьр дЦь деь и — + — ° д1ьь дзь ' а уравнения первого порядка (16.31) запишутся при этом 294 Гл.
3 У. Плоское установившееся аотенциалысое течение в болев симметричной форме дф ВМв — 1дф дО 9 дВ дф р'1 — Мв дф дя 9 дВ' д'р 3 М' — 1 д1р М ~ 1 (18) дВ 9 д0' дф = У'1-М' дф М ( 1. (19) дв 9 д)с ' (21) *) Линейными уравпенннын с незаннсныыйи переыонныын 4 н являются также ураннвннн (19.7). Из уравнений (18) и (19) можно получить уравнения второго порядка для ф и для ~р; например, иа уравнений (19) будет выведено уравнение (21.6) для зр. В случае сверхзвукового течения можно использовать также характеристические переменпыв 5 и 7), определяемые формулами (16.43) и (16.44). Тогда уравнения (18) примут вид дф РсМе — 1 д1Р дф )'Мв — 1'дф д4 9 дй * аЧ Е дЧ Эти уравнения имеют тот же смысл, что соотношения совместности. Переменные (), Х, $, з) будут широко применяться в $ 19 и 21.
В уравнениях второго порядка, которые можно получить иа системы (20), члены второго порядка будут представлять собой сметанные проинводные по $ и з). Например, если рассмотреть подобное уравнение для функции Ф, то будем иметь где д'=Й97Щ=дВиа, а о, д' и д" долнсны быть выражены черен 9 и ц вт). По найденному решению Ф($,7)) уравнения (21) можно в обоаначениях (7) получить откуда х и у определявотся через 4 и г). Для функции тока ф имеет место уравнение такого же простого вида, что и уравнение (21) *). Для некоторых целей (см. В 20) удобнее вместо переменных д и 0 испольаонать переменные де, О. Мы рассмотрим вти переменные в дальнейшем тогда, когда это будет необходимо.
в. Уравнения в независимых переменных о и д. Укажем еще одно очень важное преобразование основных уравнений, принадленсащее С. А. Чаплыгину. Введем новую переменную ос о=~ —, с ода до (22) В ду 295 17.9. Дрлеие формы яреенении Тогда легко видеть, что уравнения (16.31) станут. такими: дф дчВ д<р дед — =К вЂ”, до дд ' де до а уравнение второго порядка (16.32) примет вид деч9 дечВ д е+Кдз,— — О, (23) (24) где К=','"' (24') ое является сложной функцией от о (см.
рнс. 99). Формула (22) показывает, что о уменьшается с увеличением д, а при д — >О, К У Ум Р в с. 99. График К=(е — Ме)/ое в зависииссти ч1 ст о= )(97д)дд. ч ое оэ как — !ад. Кроме того, о=О прн 9 = 9„а отрицательно при сверхзвуковых значениях д и положительно при дозвуковых значениях д. Функция К, зависящая от о, стремится к единице при о — ++ос, 9 — эО; она равна нулю при а=О, 9=до М=1 и стремится к — оо при 9 — эд, когда о стремится к своему минимальному отрицательному значению.
(Вторая производная от о по д, т. е. первая производная от — 97о, равна (9/9) х Х(1+М') и, следовательно, всегда пололчнтельна.) Настоящее преобразование применяется в двух различных аспектах. С одной стороны, разложение )/К = )71 — Ме79 по степеням М показывает. что для политропического течения З96 Гя.
)у. Плоское установившееся яотенвисяьное течение при х = 1,4 это выражение отличается от единицы только членами порядка М', а именно )гК=1 — О,ЗМ'+ ...*). Это наводит на мысль принять приблцзееенно К = 1, что и было предложено Чаплыгиным, а затем позже развито в методе Кармана — Цянь Сюэ-сеня (см. п.5 и 6). С другой стороны, простая форма уравнения (24) для дозвукового (К) 0), звукового (К=О) и сверхзвукового (К ( 0) течений делает удобным использование этого уравнения в качестве отправного пункта при исследовании околозвукового течения, т.
е. течения при М, близком к единице (см. в 25). 3. Переход от плоскости годографа к физической плоскости В п.16.5 мы сделали замечание о том, что было бы неточно говорить, что при преобразовании годографа первоначальная нелинейная задача линеаризуется. Ливеаризацню этой задачи мои<но осуществить только при помощи приближенных продставлений. Мы же здесь лишь выделили из всей задачи одну такую ее часть, которую можно решать методами, применяемывеи для линейных вадач.
После получения решения задачи в плоскости годографа мы должны еще перейти обратно к фивической плоскости. Предположим, что мы знаем решение вв (8,8) уравнения (16.32') в некоторой области плоскости годографа "). Тогда можно вычислить функции двр/дд, двр/дв, а из уравнений (16.31) найти функции дф/дд, дф/дв. Далее мы имеем д„с(х+ д„йу = Йр, — Ед„с(х+ Ед„с(у = Й~, и из этих уравнений (если Едв чь 0) определяются с(х и с(у (х = — (совв~р — — в(вв вр), .с(у= — (в)ивуар+ — оввсдф) (25) 1 1 д е д и дх совэдф 1 Мпвдф дх сов вд~р 1 в)пгавс ад = д ад е д ад ' ав = д аВ е д аВ ду в)ивдф 1 сов вдф ду в1пвдф 1 соввдф (25') — = — — + — —— — = — — + — — —.
ад = д ад е д ад ав д да е д аз Отсюда квадратурами можно найти координаты х и у в физической плоскости как функции д и 8. Если для простоты записи положить в=х+(у, то получим сев л . с(ф ~ дв= — ( Йр-и( — ) . (25") д(. е) Если же производные от ф выразить по ф рмулам (16.31) через производные от вр, то йоследний результат может быть представ- е) Мы имеем В'Х =(1/Ее)(1 — О,ЗМе+ . ), ио, как и прежде, полагаем е =1. 1т.д. Переход к фиоическоа плоскости 297 так как д = д (д,й) вдоль линии тона ер (9,0) = /с. Если В(9,/с) ~ О, то функции х(9,й) и у (О,й), которые определяют линни тока, можно получить интегрированием уравнений ,/ = ","„,В(9,й) (9, = 8 (В, д) Полный расчет здесь требует значительного труда и возможен только при том предположении, что уравнение ер(9,0) = й может быть раарешено относительно о.
Если для уравнений (5) или (12) известно решение Ф(п,о) или Ф(о,9), то определение х=х(0,0), у=у(о,0) по уравневиям (4) в первом случае и по уравнениям (4") и (7) во втором случае оказывается более простым, чем в рассмотренном выше решении, когда предполагается известным ф(8,0). Однако для того чтобы найти функцию тока ф(о,9), здесь необходима квадратура.
Можно, например, по формулам (11)'-найти дЧ"/до и дЧ'/дд, затем определить квадратурой Ч' и, используя второе уравнение (10), найти ф или сначала определить производные от ер, используя для этого уравнения (8) или (8'), а аатем вычислить квадратурой значение ф. Такое положение, когда целесообразно пользоваться уравнениями (15) и (16), возникает, например, в случае задачи Коши.
Если вдоль некоторой нехарактеристической кривой ео известны значения о, О, то тогда мы знаем такясе образ еео' этой кривой с4' в плоскости годографа и значения х и у вдоль Ю'. Следовательно, нам известны Х, У и дУ=2, т. е. вдоль его' мы имеем данные Коши Я, Х для системы линейных уравнений (16), которые определяют решение внутри характеристического четырехугольника. Тогда по Х и 2, выраженным через д и 0, мы (у= ",,",',В(д,й) )9. (26) лен в такой форме: Линии тока в плоскости х,у являются изображениями кривых ф (9,0) = й = сопз1 в плоскости годографа. Определение линий тока можно проводить таким образом, что необходимое при этом интегрирование упростится. Вдоль линии тока уравнения (25) принимают внд с)х = — сйр, ееу = — скр, с)ер = О.
сое 0 зш8 (26) о д Кроме того, вдоль линии тока осд = — ((дф/80)/(дер/дд)]с)9, и, следовательно, введя обозначение Р=8(~р,ф)/д(8,9), будем иметь йй= — —,= 4(8,9) 79=В(9Д ад, .0дз дз/до 17.3. Переход я фиаичегаоа зяогкости 299 некоторую кривую, изображение которой в плоскости течения мы назовем предельной линией. Мы уже обнаружили такие линии в некоторых примерах в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
