Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 60
Текст из файла (страница 60)
в. Суперпозиция. Спиральное течение. Поскольку уравнения для у, ф, Ф, Ч" в плоскости годографа являются линейными. тт.е. Точные решенивв в плавности еодоврафо то линейная комбинация двух решений для каждого из этих уравнений также представляет собой решение. При этом х и у могут быть выражены через Ф или Ч" по формулам (4) илн (9), а через и вр — по формулам (25'). Итак, мы заключаем, что если в)в,(д, 0) и вК(д, 0) суть два решения уравнения для функции тока или если Ф,(д, 0) и Ф,(д, 6) суть два решения уравнения для Ф, то ф=с,вр,+сеД~е или Ф=с,Ф +с,Ф, также.
являются решениями соответствующих уравнений. Новые координаты в физической плоскости, которые отвечают, например, решеншо для вр, даются формулами ' х(д,В) =с,Х(д,В)+с,х,(д,В), у(д,В) =с,у,(д,В)+с,у,(д,В), где х„уе и х„у', представляют собой координаты, отвечающие ф, н ф соответственно. Применяя этот принцип к двум предыдущим решениям, обсуждавшимся в примерах (а) и (б), получим с помощью решений (29) и (34) (при С) О, й ) О) новое реше- ние С . й 1 / й х= — з)нВ+ сов В= — ~Сд + — д 1, д „), С й . 1 Г у = — — соз 0 + — з1н 8 = — ( — Сд + — д 1), й Д вЂ” — „), (37) 1 / йе г= — у Се+ —.
(37') ч. 0~ е С' йе г = — +— а (ат) или ее С в(пВ= де ' ев соз 8'= —" = —, е ФР' или гда = С, (37') или гд,я = й, че Р. Мивео Это последнее уравнение то же самое, что уравнение (7.40), поэтому к нему применимо исследование, которое в п.7.6 было проведено для уравнения (7.40) и проиллюстрировано рис. 31.
Чтобы показать, что течения в этих двух случаях идентичны, запишем уравнение (37) в следующей форме: х=гсоз( — О), у=гаш(6-0), где г определяется формулой (37'), а й С созВ= —, шн 8= —, со ее так что 6 представляет собой угол, который линия тока обра- зует с радиусом-вектором. Тогда, придавая д„и де обычный смысл, находим 300 Гл. /Г. Плоское устаноеиешееск аотенииалъное течение й д С ф С~ — 79+И, — — ° — ) и, согласно равенству (27), а зта величина обращается в нуль при 'значении М=М, 1см. формулы (38)). Нетрудно видеть также, что величина ускорения — =Ч вЂ” =7 =ч =7 дд ду з дд з д~д 1 е /е <й де д<р дЗ Р Р (40) (39) на предельной окружности г=г~ стремится к бесконечности.
Из равенств (37") и (38) следует также, что М,созд,=1. Позтому на основании равенства сов 3 = 1/М, = з(п а, можно сделать ааключение, что здесь линии в(аха одного из двух семейств касаются предельной окружности (см. п.19.3), а липин тока каждого иа двух указанных типов течений подходят к предельной окружности под углом а,. Так как составляющая скорости, нормальная к характеристике, равна а, то радиальная скорость д, на .предельной окружности равна скорости звука.
Все линии тока сверхзвукового течения, так же как и линии тока смешанного течения,конгруэнтны. На рис. 102 показано по одной линии тока для каждого типа течения. Их следует рассматривать как две равличные линии тока (каждая для своего типа течения), .а,' не как, одну,' линиео тока с точкой возврата; т. е. получим уравнения (7.36) и (7.39). Следовательно, указанные течения идентичны, а поэтому мы добавим здесь лишь несколько замечаний. В качестве основного результата в п.7.6 было установлено, что для каждой пары постоянных С, й существуют два различных течения, которые оба занимают одну и ту же область от г=ге до г= со и имеют при к= г, одну и ту же сверхавуковую скорость д,.
Одно из зтнх течений — чисто сверхзвуковое, а другое -смешанного типа. Чтобы вычислить величину д„продифференцируем уравнение (37') и получим — + — (1 — М')9=0, или Мее=1+ — рее >1. (38) ч' (еу)' Ье По этому значению М, находится величина д,. Вычислим далее якобиан Р = д (у,ф)/д(д,д). Для функции тона ер, течения, соответствующего сжимаемому вихрю, из равенства ~р = Сд при помощи уравнений (16.31) найдем, что деР,/д9=0, дчу /дд =Ср/д.
Применяя'далее формулу (ЗЗ), получим для рассматриваемого течения 17.Ю. Метод Чаямаеина — Кармана — Цянь Сюе-сеня 307 не следует думать, что эти два течения являются продолжением друг друга. В нашем примере они появляются одновременно, так как одна функция тока ф(7,0) дает два различных течения, которые встречаются при г=г„где они имеют одинаковую скорость ц = пн Добавим, однако, следующее замечание.
У читателя не должно остаться впечатления, что возникновение предельной линии в сущности представляет собой математическое явление, з ат р-0" оеое е (7) Р н с. 102. Спиральное течение. Типичные ав- взи тока и предельная линия. вызванное применением представления годографа. Читателю следует' вспомнить, что эти же самые течения с теми же самыми особенностями были получены в $7 при рассмотрении одной только фианческой плоскости. б. Приближенный метод Чаплыгина — Кармана — Цянь Сюэ-саня а.
Определения. В этой книге мы еще не имели дела с приближенными методами. Мы будем понимать под приближением некоторую модификацию основных дифференциальных уравнений с целью упрощения математической стороны задачи без слишком большого изменения 'ее физической сути. В этом и следующем пункте мы будем заниматься одним методом, который по отношению к основным уравнениям установившегося потенциального течения должен рассматриваться как приближенный метод в указанном выше смысле.
Этот метод можно интерпретировать также как точный теоретический метод, но для газа, у которого уравнение, замыкающее систему уравнений гидромеханики, имеет специальный вид. Оказывается, что это замыкающее уравнение 20е 308 Гл. ГУ. Плоское устаноеаетееса потенциальное течение (41') должно иметь вид линейной связи между давлением и плотностью р= А — Врй, В ) О, которая уже приводилась в уравнениях (1.5в) и (2Л7г).
Данный метод, несмотря на его элементарный характер, интересен с различных точек зрения; в частности, такой подход можно рассматривать как упрощеннуго схему общей плоской задачи, поставленной в д 16. Мы начнем с уравнений (19) дср (1 — М*)'1* др др (1 — М)'~е др ах= д в ' дэ= д дь™ 1' где 1/й соответствует д,/й при йе=1. Разложение величины 2 в ряд по степеням Мз для политропич еского течения при к=у — 1,4 дает Дь еьте . с Ме М' ~ л М Ме — (1 — М') '='~ 1+ — +(2 — к) — +...
)~1 — — — — +... 1= 2 д "'~~ 2 д 1- — М'+... = 1 — О,ЗМа+.... Таким образом, величина (й,/й) (1- М') и = (1/й) (1 — М') и отличается от единицы только на члены порядка Ме. Если, имея в виду дальнейшее обсуждение, приближенно заменить (1/д) (1 — М') ~е единицей, то уравнения (19) упростятся и примут вид — — — — — М < 1. де ' д$ д<р дьр дХ дэ ' дэ дХ' (41) Рассмотрим далее эту аппроксимацию, применяя переменные ое 1 — Ме Г Д К=: и и г Ыд де Д [см. формулы (22) и (24')1, которые были введены и использованы Чаплыгиным. Тогда ясно, что К будет равно единице, а уравнения (23) сведутся к уравнениям др дР де аЦ до дэ' дз до' которые отличаются от уравнений (41) только тем, что здесь вместо Х стоит — и.
Действительно, определения (17) и (22) для )ь и и, а именно дь У 1 — Ме до (42) дД Д ' дД Д показывают, что если )Г1 — М' принять равным о, то б)ь = -еЬ те). 1т.в. ггею»вд гуаямге»не — Кармана — Цянь Сюв-свяя 309 Чтобы убедиться в законности замены у'1 — 31'/й единицей, ,,можно также, следуя Чаплыгину, выразить К через т= дг/д' *) 1 — М' 1 — Ле< »+1 К= —,=,, где /ге=в Е' (1 — <)т х — 1 Тогда ат (1 ч)ее+ < Зто равенство показывает, что величина К(т), которая уменьшается с увеличением т, для малых значений т изменяется настолько медленно, что она остается практически постоянной и может быть принята равной единице'е). Наконец, рассмотрим зависимость о от М', а именно формулу Е=(1+ — ",'М ) '"" ".
Р— Р,= — а.Е.( —,— —,, 1 це (43) ') дте переменная будет широко применяться в дальнейшем, я частности з $20 н 21. Эггнспность М н 0 от ч будет у»евана формулаьщ (20.3'). 'Если правая часть здесь равна )/1 — Мг, то х должно равняться — 1. Подведем итог: аппроксимация )/Т вЂ” Ме = о, которую мы будем называть аггпроксимацигй Чаплыгина, получается в том случае, когда в формуле для политаропы принят показатель х= — 1. В ятом случае с()г= — аго, гдг )г и о определяются уравнениями (42), а основные уравнения (16.31) пргвратпятся в уравнения Ко<ни — Римана (41) или (41') в декартовых координатах (Х, — О) или (о, 9).
Следовательно, <р+гг)г является аналитической функцией от Х вЂ” <0 (или о+<0), а <р и <)г удовлетворяют уравнению Лапласа "). Принятое допушение х = — 1 мол<но интерпретировать как аппроксимацию обычной связи давления и плотности, р = Сй», х = 1,4, линейной связью р = — В/о+А, В > 0 (заметим, что аддитивная постоянная может быть добавлена к любой политропической свяаи). Выбор А и В произволен, и именно выбором зтих постоянных и отличаются аппроксимация Кармана — Цянь Сюз-сэвя от аппроксимации Чаплыгина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
