Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Чаплыгин выбирает А и В таким образом, чтобы прямая р = — В/0+ А (рис. 103) касалась обычной иззнтропы для газа в точке тормон<ения, т. е. он заменяет обычную связь между р и 0 такой связью: р — р, = †х,(1/й — 1/0,) или после введения аг 310 Гл. ер. Плоеное устаноеиетеесл потенциальное течение и, следовательно, постоянные А и В определяются равенствами А = р, + д,а'„В = аеде'. (43') Карман и Цянь Сюэ-сень эа точку касания (рис. 103) принимают точку с параметрами невозмущенного потока *). Тогда, употребляя индекс со, имеем А = р + д а', В = а' ое . (43') При выборе А и В любым из этих способов такой гипотетический гаа обладает некоторыми простыми, но необычными свойствами, что нетрудно проверить.
Из уравнения Бернулли найдем е*) аэ — да=а,', М=д(а,'+дэ) (44) Связь между д и д теперь будет такова"): 0 1/1+э с=1, или ~ =)У1 — Мэ=- ' . (44') Эе )/ аее+ т -х г Р Р и с. 103. Аппроксимация иээнтропы с помощью касательной. е) Мы при этом можем иметь в виду обтекание профиля однородным ка бесконечности потоком. ее) для случая Кармана †ця Сюэ-саня имеем ае =ае †т~ . Заметим, что здесь для величины д не существует ограничения: действительно, как видно иа второго уравнения (44), д — » со при М вЂ” »1, и в атом случае, как вид- Р но иа уравнений (44'), й -» О. Итак, когда М вЂ” » 1, то д -» О, д — » со, а — » со. ' Таким образом, в случае аппроксимации Чаплыгина (в противоположность слу(Ра Р,) чаю х > 1) скорость звука а/а, растет с увеличением, а не с уменьшением д. Рисунок 104а показывает зависимость а/а, от д/а, для (э Р) различных значений х, в частности для х=1,4 и х= — 1, а рис.
1046 показывает аависи- Р ~ мость М от д(а, для различных значений х. Кривая, соответствующая х = — 1 на рис. 104б, имеет асимптотой линию М=1. Таким образом, при х = — 1 дозвуковое течение будет оставаться все время дозвуковым; значит, с помощью этого метода нельая исследовать трансзвуковое течение. Иэ первого уравнения (42), используя уравнения (44), имеем е а Р и с. 104а.
Величина а/а, в эависимости от е/а, длн раа- личных аначений н (эллипсы и гиперболы). 0 а е Р и с. 1046. Число Маха М в эависнмости от е/а длн раа., личных аначений н. 312 Гл. 1У. Плоское устаноеиешеееа нотенциальное течение Если постоянную интегрирования в выражении для Х выбрать так, как это сделано во втором равенстве (45), то тогда Х -+ — со при а -+0 и Х -оО при а — + со и М вЂ э; следовательно, Х возрастает монотонно.
Ие второй формулы (45) для малых по сравнению с а, значений д получим Х='1п — +0( —,~, откуда ел и— 2ае (..а~~ л ' 2ае (45') б. Связь с задачей дяя течения несжимаемой жидкости 'е). Уравнения (41) являются уравнениями Коши — Римана в декартовых координатах Х, — д. Однако здесь удобнее ввести новую независимую переменную и=2а,ел= 2 Д 1+ (1+де/ае) ~'. Постоянный множитель 2а, выбран так, чтобы при а,-+ со или при малых по сравнению с а, значениях д было бы обад (см. формулы (45')]. Тогда уравнения (41) примут вид йр дф 0 — = —— до дд' о — = — М< 1. деР д~р до од ' (47) 4ае — ое 4ае+о 4аео 4ае — ое ' е (46') Когда о монотонно увеличивается от О до 2а,, то д, очевидно, меняется от О до оо, а й от 1 до О.
Преобрааовапия (46) и (46') можно интерпретировать, таким образом, как соотношения, связывающие течение несжимаемой жидкости и чаплыгинское течение сжимаемой жидкости. Эти уравнения представляют собой уравнения ' Коши — Римана в поляряых координатах о, — 8, т. е. они имеют точно такуло же форму, которую уравнения (16.31) принимают при М вЂ” лО. Следовательно, ер+1лР является аналитической функцией от ое ел, а действительная и мнимая части любой аналитической функции от ое-11 будут решениями уравнений (47).
Эти уравнения можно интерпретировать как уравнения для течения несжимаемой жидкости с комплексной скоростью ~ = ое — 'л, причем скорость о меняется между О и 2а,. Итак, если к основным уравнениям (16.31) применить аппроксимацию Чаплыгина и, ввести в уравнения (41) вместо Х новую переменную о, определяемую формулой (46), то эти уравнения примут вид уравнений течения несжимаемой жидкости в полярных координатах о, — 0. Если е7 и о выразить через о, то, согласно равенствам (46) и (44'), получим 1т.е. Продолжение 6. Продолжение а.
Течение около профили.. Попробуем теперь, применяя аппроксимацию Чаплыгина, построить течение сжимаемой жидкости около задаивого профиля Ра. Допустим, .что это течеииепроисходит без циркуляции (в дальнейшем это ограничение 'будет снято), и допустим, что комплекспыи потенциал ш(г) (где з= = х+ су) течения несжимаемой жидкости около Ра известен. Введем комплексную скорость сешФх = ь (з) = ое — 'в. Используем. последнее равенство для того, чтобы выразить з через ~.
Тогда получим ш(з) =ша(~)=~ра+ссР„где ср„и сра зависят от о и 9, причем сра=0 иа Ра.' Определим далее функцию тока ср(д, 8) чаплыгинского течения снсимаемой жидкости, полагая ф(ц. 8) =фа(о. 8). (48). причем и и д связаны равенством (46). Равенство, аналогичноеравепству (48), имеет место и для ср(д, 9). Определенные таким. образом функции ср и ф являются решениями уравнений (16.31).
в приближении Чаплыгина. Мы увидим, однако, что эти функции. ф (ц, 9) и ср (д, 9), вообще говоря, ие дают решения краевой задачи о течении около заданного профиля Р,. Обозначим через Х, У (2=Х+сУ) координаты в фиаической плосности течения сжимаемой жидкости, чтобы отличать их от координат х, ув плоскости течения иесжимаевюй жидкости. Тогда по найденным функциям ср(д, 8) и ~р(д, 9) обычным образом находятся Х(ц, 8) и У(д, 9) (см. п. 3). Заданному в плоскости з профилю. Р„иа котором сра=0, будет соответствовать в плоскости Е некоторая кривая Р. Мы покажем, что этот контур в плоскости 7 отличается по своей форме от заданного контура Р, ио оп переходит в Р„когда и,-+оэ, М-+О, о-+ц. Значит, даже при настоящем упрощенном положении мы ие получаем точной краевой задачи. Однако здесь (в отличие от политропичесного течекия, которое мы будем изучать в следующих параграфах) можно дать. простую формулу для определения так называемой деформации профиля, т.
е. для расхождения формы этих двух коятуров. Из уравнения (25") получаем свЕ = с(Х + с есУ = — е'в ( сйр + — ссср) . Выразим здесь 9 и д через о по формулам (46'). Тогда, обозначая через в, с", и т. п. комплексные функции, сопряженные ш ь и т. п., будем иметь есв ее в ее в сИ = — ( с(ср + — ' с(ср ) = —, (4а, '— ое) сКф+ Е е, (4ае+ ов) ссср = 6 ч- 8 / 4аее 4ае е есв ае'в 4 = — (сйР+ ( с(сР) — —,- (сйу — с с4сР) = — евв с(ш — а оесв (в. Ю 4ае а 4аее 314 Гл.
7У. Плосаое установившееся аотенциалъное течение Таким обрааом, йо 1— сП = — — —, ~ свш. 4ав (49) Заменяя с", на вснв/Ыг и ~ на ваяв(в2г, получаем 4а, 'Лв / (49') Тогда (49") Оледовательно, для каждой функции пв(г) мы можем определить в течении сжимаемой нсндкости координату Я, которая соответствует г в течении несжимаемой жидкости; соответствующие скорости о и д связаны формулой (46)*). Отметим, что, согласно формулам (49), «р+(ф является не- аналитической функцией от Х+(У. б. Течение с в)иркуллв)ией. Если течение несжимаемой жидкости около профиля происходит с циркуляцией, то при определении соответствувощего течения сжимаемой жидкости около того же профиля возникают трудности, так кая функцвя в правой части формулы (49") будет однозначной только тогда, когда ф (-„-) с(г=0 $(г) = й(г) се во, —,=$.
Й~ Ыв (50) (50') ') В точной теории эта врастая формула сравнивается с такими результатами, как (67) и (72) в работе [24), стр. 248 — 250. по любому пути вокруг Р„а зто выполняется только при отсутствии циркуляции. Иначе говоря, если течение происходит с циркуляцией, то профили в плоскости Я, получаемые по изложенной выше теории, имеют неаамкнутую форму. Таким обрааом, наш метод в том виде, как он здесь представлен, справедлив только для течений несжимаемой жидкости без циркуляции. Однако рядом авторов зтот метод был обобщен так, чтобы обойти отмеченную трудность. Мы приведем здесь метод, принадлежащий Линь цзя-цзяо 'о). Обоаначим через пв(г) комплексный потенциал течения несжимаемой жидкости с циркуляцией и введем вместо ~ функцию более общего вида 17.в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
