Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 62
Текст из файла (страница 62)
продел жение Вдесь к(г) — аналитическая функция от з, регулярная и не име- ющая нулей в области внешней по отношению к данному про- филю Р (включая и точку г= оо). Тогда Й (з) «Ь — —, у з' — = 0 $ 1 е- » Ле 4«е " (е) (51) по любому замкнутому контуру, охватывающему данный про- филь Ра. Кроме того, ~ — ', $()~<й()!<- (51') Таким же путем, каким было получено равенство (49'), можно показать, что координата Е в течении сжимаемой жидкости выражается форв»улой л = ~ к(г)еез — —, ~ Э» —, 1 Г ае Ва' .) Й (е) ' (50") которая соответствует формуле (49") и может быть интерпретирована аналогично последней.
Следовательно, для комплексного потенциала, который представляет течение несжимаемой жидкости с циркуляцией, можно, согласно равенствам (50), (50') и (50"), определить соответствующее чаплыгинское течение сжимаемой жидкости с циркуляцией; при этом мы в»цв имеем свободу в выборе функции к(з). В этих уравнениях з можно рассматривать как параметр; исключив его, мы получим соотношение между координатами Х, У и скоростью д, б в течении сжимаемой жидкости. Существенный момент в изложенном выше методе состоит в том, что ов — '» приравнивается адесь $(з)/й(з), т. е. некоторой функции от з, которая непосредственно не является комплексной скоростью ь(з) (как в методе Кармана — Цянь Сюэ-сэня).
Величина к(г) может выбираться при этом достаточно произвольно. При к(з)=1 при наличии циркуляции условие (51) о замкнутости Р в плоскости в. не удовлетворяется. С другой стороны, Й(г) не должно слишком сильно отклоняться от 1, если мы хотим, чтобы профили Р и Ра не слишком сильно отличались друг от друга. Наконец, рассматривая прямую задачу, Линь Цзя-цзяо связывает выбор к(г) с отображением Рр на круг.
Если теперь функция ш(з) является комплексным потенциалом течения несжимаемой жидкости (с той же циркуляцией) около круга, то функция ее(з), которая должна удовлетворять указанным выше требованиям, не должна «отличаться слишком сильно» ог ка (з)— производной отображающей функции. Эта идея связывается 818 Гл. 1 У. Плоское устаноеиетееаа потенциальное течение затем с хорошо известным методом Мизеса ы), который показал (для течения несжимаемой жидкости) как круг можно преобразовать в профиль весьма произвольной формы. в. Доподнительпыв замечания.
Влияние сжимаемости на распределение давления может быть оценено довольно просто. Мы отсылаем читателя к соответствующей литературе'з). Чтобы показать на примере деформацию контура, Цянь Оюэ-сэнь, отправляясь от эллипса в плоскости з, рассчитал течение сжимаемой жидкое~и около почти эллиптического профиляез) . Отклонение такого нового профиля от эллипса стремится к нулюг), когда а,— ьсо и М вЂ”.О. Однако если М имеет не слишком малое значение и если исходный эллипс близок к кругу, .то это отклонение оказывается довольно заметным. Мы изложили здесь приближенный метод Чаплыгина не только потому, что этот метод широко и успешно применяется, но также и потому, что его можно рассматривать в различных аспектах.
С одной стороны, этот метод представляет собой аппроксимацию, которая существенно упрощает обычные уравнения, а с другой стороны, он является легко интерпретируемой точной теорией. Эта упрощенная теория не устраняет, однако, основной нелинейности задачи и поэтому может играть, в определенном отношении, роль математической ьюдели. В этом смысле интересно, что существенные результаты здесь могут быть получены явно и без слишком больших затруднений, в отличие от положения в общей неупрощенной задаче, где требуются более сложные и тонкие методы (см.
9 21). Отметим, наконец, что в этом методе в случае дозвукового течения дано точное (и сравнительно простое) доказательство существования решенияеа). 1 18. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ 1. Определение и основные свойства Как и в предыдущем параграфе, мы будем рассматривать плоское потенциальное течение (см. п.16.1). Простой волной или решением с простой волной (см., также 9 13, относящийся к одномерному пеустановйвшемуся течению) называется один важный тип решения основных уравнений (16.7) "). Простые волны могут быть получены и введены несколькими по существу эквивалентными способами. Мы же примем адесь в качестве *) Такое предельное поведение имеет место зе только для эллипса в плоскости е, зо я для профялей досгаточяо общего экда, кзк это иидяо ка формул (49").
Это справедливо, как мы узядзм в 1 24, в дяя акалогичяьтх построений з случае политрозкчоокого течения. 917 19.е. Определение и осиовпие свойство отправного пункта следующее положение. Мы будем искать такое течение, в'котором линии д=сопз9 и 9=совзо совпадают; эти линии мы будем называть линиями Х. Таким образом, каждая линия Ж отображается, по определению, в одну точку плоскости годографа. Предположим, что не все эти точки совпадают между собой, т. е.
что решение не представляет собой просто область движения с постоянными параметрами. Наоборот, мы будем считать, что все семейство линий Я или вся область В в плоскости х, у, покрытая линиями Я, отображается в плоскости годографа на некоторую линию Л. Это обстоятельство, а именно то, что область двумерного течения имеет одномерный годограф, является отправным пунктом также и в пс13.1 (где плоскость спидографа служила для тех же целей, что плоскость годографа в настояшей задаче). Существование линии Л в плоскости годографа означает существование некоторой связи между д и 9 и, нак следствие, обращение в нуль во всей области В якобиана а йь з) д (*, в) Используя теперь уравнения (16.7) и равенство д(х,у)/д(г,л) =1, получаем При М < 1 правая часть уравнения (1') моявет обратиться в нуль в области В только в том случае, когда дфдг=дд/дл=О, т.
е. когда, согласно уравнениям (16.7), д=О или д9/дл=д9/де=О, что соответствует равномерному потоку. Следовательно, рассматриваемое течение с простой волной не может быть дозвуковым, ив области В существуют действительные характеристики. Среди линий, пересекающих линии Я, должно быть по крайней мере одно нз семейств характеристик, а изображение каждой нз этих характеристик в плоскости годографа должно совпасть с Л. (Действительно, характеристика С пересекает каждую линию Ж в одной точке. Отображение каждой из этих точен должно лежать на линии Л, потому что каждая линия Я целином отображается на одну из точек линии Л; значит, каждан точка характеристики С отображается на одну точку линии Л.) Следовательно, кривая Л является характеристикой Г' или'Г, а каждая линия Маха другого семейства (каждая характеристика С если Л есть Г*) отображается на одну точку кривой Л.
Поэтому линии е представляют собой характеристики этого другого семейства. Так как на каждой из них 9, д и, следовательно, а (как функция от д) постоянны, то значит при этом 9 =г а= сопев, т. е. 318 Гл. 17. Плоское Встапозизгььсссл потснциольпос птчспис наклон каждой линии б является постоянной величиной. Таким образом, линии Х являются прямыми. Поскольку вся область И, покрытая линиями Х, отображается иа одну характеристику Г' или Г, то уравнение этой характеристики Ч =г 9 = сопят 1см. уравнения (16.41) и (16.42)) будет справедливо во всей области Л.
С другой егоровы, покажем теперь, что рассматриваемая сверхзвуковая модель представляет собой течеиие, т. е. что ь7 и 9 удовлетворяют уравнениям (16.7). Возьмем в плоскости х, у произвольную точку. Через кее проходит кекоторая линия Я, скажем С', которая образует угол а с иаправлеиием потока. Ввиду того что о и 9 постоянны вдоль этой ликии, вдоль иее мы имеем дд/д(= О, дб/д1= 0 или дд дд . дз дз — соя а+ — я1в а = О, — соя а+ — яга а = О, дз дп ' дз дп а из равенства Д(д)+В=сопя$ для любой точки области волны получим , дд дя пыл сга а ь'ь' — + — = 0 . где дз дз — ю' Тогда, согласно первому и третьему иа этих уравнений, дв дв 1 дэ де — = — с1иа — =ссда —,— =д— дп дз О' дз дз а, согласно второму и третьему уравнениям, дя дя, дв ссбэа дд дп — = — с1и а — = с1а а Д' — = — —, дз дз В дз ' ко эти последние уравнения совпадают с уравиеяиями (16.7).
Итак, мы можем сформулировать теперь следующее определеиие: плоское установившееся безвихревое течение в облпсьпи И называепня прас>пой волной, если одно семейство линий Маха образовано прямыми линиями, на каждой из которых ь1 =сопяФ. Изображение области И в плоскосгпи годографа является дугой хараквьеристики Г. Если зто — характеристика Г (збегущая вперед волнаэ), то тогда всюду в области Н величина Д вЂ” 9 имеет постоянное значение. Если же зто — хпрактеристика Г (збегущая назад волнаэ), то то же самое имеет место для величины (7+ 9*). Так как давление, плотность и абсолютная температура являются функциями от д, то прямые линии Маха в атом течении э) Термины «бегущая вперед вопваэ и сбегущап вазед еопнаэ ве имеют з этом течении особого физического смысла, а употребляются во аналогии с 1 13.
18.1. Определение и оеноение ееоаеьпеа будут одновременно изобарами, изотермами и т. д. Для бегущей вперед волны прямолинейными характеристиками являются характеристики С, а криволинейными поперечными характеристиками — характеристики С'. Для бегущей назад волны прямыми линиями Маха будут характеристики С", а поперечными характеристиками — характеристики С»е). Описанная здесь картина течения представляет собой промежуточный случай между общим случаем, когда некоторая область в физической плоскости отображается в плоскости годографа на некоторую область, и полностью вырожденным случаем, когда в некоторой области плоскости х, у всюду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
