Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Линии тока .и поперечные линии Мажа Таблица Ч НВКОТОРЫИ ВВЛИЧИНЫ, ХАРАКТЯРИЗУЮЩИВ ПРОСТУЮ ВОЛНУ 0» (,4) )Ф-(5» (грел.) (В-4() (грел.) Я (грал.) а (гчал.) О!О( в( М= 2,132 найдем, например, из табл. 1, величину д(д =0,6697. Итак, мы определили вектор скорости вдоль заданной линии Маха. Ниже мы рассмотрив( линии тока и поперечные характеристики в простой волне. Если мы хотим найти уравнения семейств тех и других линий, то мы должны задать какое-нибудь частное семейство линий, представляющих собой прямолинейные характеристики.
Допустим, что оно задано в форме у = 1х+ уо Ф). (6) До сих пор мы не принимали такого допущения, потому что связь между наклоном прямолинейной характеристики и параметрами течения на ней зависит только от постоянной 29 или 2)). 0 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 130,45 1, 000 1,082 1,133 1,177 1,218 1,257 1,435 1,605 1,775 1,950 2,134 2,329 2,538 2,765 3,013 3,287 3,594 3,941 4,339 4,801 5,348 6,007 6,819 7,851 9,210 11,091 1,000 0,907 0,851 0,805 0,762 0,723 0,566 0,442 0,342 0,261 0,197 0,145 0,104 0,074 0,051 0,034 0,022 0,013 0,008 0,005 0,002 0,001 0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 90 67,57 62,00 58,18 55,20 52,74 44,18 38,55 34, 29 30,85 27,95 25,43 23,21 21,21 19,39 17,71 16,15 14,70 13,32 12,02 10,78 9,58 8,43 7,32 6,23 5,17 О 0 23,43 30,00 34,72 38,80 42,26 55,82 66,45 75,71 84,15 92,05 99,57 106,?9 113,79 120,61 127,29 133,85 140,30 146,68 152,98 159,22 165,42 171,57 177,68 183,77 189,83 220,45 90 91 92 93 94 95 100 105 110 Ыб 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 220,45 320 Гл.
1У. Плоское устлнсеиешееии летенциальнее . течение Пусть уравнение (6) определяет линии С', тогда () = ьй(0+ а). Поскольку Д(о)+8=2е), причем т) задано, то а и 8 являются известными функциямн о, а, значит, также и (3. Дифференциальные уравнения линий тока и поперечных характеристик соответственно будут Д=(60=0(р) и Я=(я(0 — а) =й,(6) Дифференцирование уравнения (6) дает Ыу = хор + ре)х+ у, (р) сер; подставляя это выражение в уравнения линий тока н поперечных характеристик, соответственно получим с~х х+ Ке ((3) лх х+ уе (()) Ф ь(0) — )) Ф ь (0) — 0 (7) Каждое из этих уравнений представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка с неизвестной функцией х(р); Результат его интегрирования приводит вместе с уравнением (6) к параметрическому представлению соответствующего семейства кривых.
Различным линиям тока или поперечным характеристикам соответствуют различные значения постоянных интегрирования. Если центр волны расположен в начале координат, то в уравнении (6) надо положить у,(()) =О. Оказывается, однако, что семейство прямых линий Маха целесообразно задавать некоторым другим способом, более подходящим для настоящей задачи. Здесь удобно пользоваться некоторым видом обобщенных полярных координат.
Легко видеть, что семейство прямых линий Маха будет определено, если (помимо задания постоянных 2$ или 2е)) в плоскости х, у известна еще одна линия тока или одно поперечная характеристика. Действительно, зная в плоскости течения одну линию тока, мы тем самым знаем угол 8 в каждой точке (х, у) этой линии. Тогда в случае бегущей нааад волны величины о и а(0) определяются .из равенства Д = 2т) — 0. Следовательно, в каждой точке данной линии тона известно направление 8+а характеристики С', проходящей через эту точку. Аналогично мох<но найти семейство характеристик С", если известна одна из поперечных характеристик С; теперь вдоль этой линии С мы знаем 0 — а, а равенство ()+ а= 2т) — (8 — а) дает нам величину о.
Тогда во всех точках этой линии С могут быть найдены значения а и, наконец, значения 8 + а. Исследуем теперь первый случай, когда задана одна линия тока х = а (е), у = 0 (е), ИЬ)Ыа = йд 0, где е — некоторый параметр (см. рис. $00). Опять рассмотрим бегущую назад волну.
Прямыми характеристиками здесь будут линии С'. Для точки 327 78.2. еуинии токо и поперечные пинии Маха Линия а«око йго инея токо 2г ия тола «о Е« Начальник линия З) токо Р р и с. 109. Свойства линий тона в простой волне. через точку Р, будет иметь вид («г Ь+ г сов ф ггф + ггг в)п ф) соз 9— — («1а — г вш ф егф + «гг сов ф) вш 9 = О.
Но так иак ггЬсов9 — егавш9=0, то отсюда (с учетом равенства ф — б=а) следует, что гбфсова+гггвша=О, или — = — гд а. (8) Заметим, что вто выражение совпадает с уравнением, которое для центрированной волны можно записать сразу, если применить обычные полярные координаты г, ф. Чтобы проинтегрировать уравнение (8), воспользуемся уравнением (16.39'), а именно 1 1 2«г — ф $да= — с19а= — сед З 7« Отсюда ( ф-2ч ф 2ч Ь =ЬВ,('=) (ф, г=го(соз —, ) "'.
(9) Очевидно, что при ф = 2ц = ф,, г= г„ а в другом предельном случае, когда ! ф — ф, ! — и (г 90' 220', расстояние между линиями тока .стремится к бесконечности. Аналогичным путем найдем дифференциальное уравнение поперечных характеристик в простой волне — = — 1я 2а. (10) «7« Р(х, у) на линии С, проходящей через Р„имеем х=а+гсоз ф' и у=Ь+гв)пф', где г=Р,Р.
Если а, Ь, г и ф'=ф рассматривать нан функции от 1, то уравнение линии тока, проходящей Се Пиния б"+, асимпт для волны, ое назад С, асим ддд волна впер См исомптото д ю ',волна| бегущей С Поперечная хор антерист егущая ед а, бегущая зод С„, асимптото для вол бегущей вперед б Р и с. 110. Цеитрироиаииап простак волна.
о — линии тока в Пентрированной простой волне;  — попвречная характеристика в центрнрованной простой волне. 18.8. Примеры лроетыз волн 329 Интеграл этого уравнения будет г =г,'(г(в ~ ~~ ) (. ~ ~Ч ) . (11) Здесь г стремится к бесконечности, когда р — 1б,-+О, а также, когда р — де — + — 220,45'(см. рис. 110)*). Из уравнений (9) и (11) вытекает следующее свойство семейства линий тока н семейства поперечных характеристик: если постоянную г . заменить на 2г„Зг„..., то соответствующие кривые будут при этом пересекать любую прямолинейную характеристику в равноотстоящих точках (см.
рис. 109 и конец п.13А). Чтобы распространить проведенное выше исследование на . случай волны, бегущей вперед, надо везде заменить 2ц на — 2$ и т.д. 3. Примеры простых воли а. Обтекание выпуклого угла. Самым важным примером решения с простой волной является обтекание выпуклого угла (см. рис. 111). Предположим, что набегающий сверхзвуковой поток, одной из линий тока которого служит прямая стенка ХА, является равномерным потоком с заданной скоростью иы утоп наклона которой 8, равен углу наклона ХА к оси х. На линии тока АУ известен угол наклона 9, скорости 9з. (Отметиме что эти граничные условия не являются полными данными Коши, которые .
рассматривались в гл. П, 1П и в пА6.4, потому что. вдоль АУ известна только одна функция 8.) Слева от проходящей через точку А характеристики С„течение, являющееся равномерным потоком, полностью определено. Зто течение может- вдоль характеристики перейти в простую волну. Единственное. условие вниз по потоку за точной А состоит в том, что линия АУ должна быть линией тока. Простейшим типом решения, удовлетворяющим этим граничным условиям, является такое решение,.
в котором течение вдоль АУ также представляет собой равномерный поток и в котором два этих равномерных потока 1 и П связаны одной центрированной простой волной 1П. При этих граничных условиях в принципе существуют (как мы зто увивим далыпе) два различных решения с простыми волнами 111— одно с бегущей вперед волной и другое с бегущей назад волной,— которые соедннягот потони 1 и П. Однако возможны и такие численные значения, заданные на границе, когда в частном случае будет .существовать только одно решение, а может не существовать н ни одного решения.
') Заметим, что даже прв очень ыалои значении ге ва чертеже можно построить лишь небольшой участок всей линии тока, тзк иак г очевы быстро растет с увеличением 1 ф — ф,й 30 ГЛ. В вс. Плоское устаноеиетеесч нотенциальное течение В последнем легко убедиться как арпфметическивк так и геометрическим способамн.
Так как вдоль линни ХА и, в частности, в точке А заданы о„в„а' также характерное значение скорости а, (или о„или о ), то здесь пзвестньг число Маха М„угол Маха п,=агсз1п 1!М, и, следовательно, Д(дв). Для определенности рассмотрим бегущую назад волну. В точке А проходит характеристика С;, которая образует угол ав с линией ХА. Далее, равенство ~1(дв)+Вв=2г1 определяет постоянную г1, и зто равенство выполняется во всей области волны. Се Р к с. 1И. вечеаке около выпуклого угла. С другой стороны, угол а, вдоль АУ зависит от скорости «1, которая неизвестна; но если области 1 и П соединяются бегущей назад волной 111, то о,+в,=о,+е„ .а для выпуклого угла ЛЕ=В,— В,>0, где через Лв обозначен угол поворота потока.
Так как в соответствии с табл. 1Ч величина ве всегда заключена между 90' ав 220,45', мы получаем условие Дв = е,ев+ све ( 220,45'. Аналогично для случая бегущей вперед волны должно иметь место равенство ~Вв — 8, = Дв — 8 и, следовательно, неравенство О,=д,— ДЕ>00'. 1о.З. Примеры простых волн 331 Если удовлетворяются оба этих неравенства, то мы имеем два различных решения, которые мы охарактернзуем несколько позже. Очевидно также, что заданные граничные условия могут быть такими, что будет существовать только одно ~з этих решений или не будет существовать ни одного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
