Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 68
Текст из файла (страница 68)
[В более общем случае это означает,'что из уравнений .(10.1) с нулевыми правыми частями и коэффициентами, зависящими только от и и о, мы не можем получить уравнейий (10.22).] С таким положением дел мы встречались в случае простой волны, где одно и то же значение и соответствовало бесконечно большому числу точек г и где якобиан д(д,й)~д(х,у) равнялся нулю в некоторой двумерной области. Во всяком случае, упомянутые примеры указывают на существование двух типов особенностей, соответствующих вамечаниям (а) и (б); существование особенностей такого типа связано с обращением в нуль определенных (по существу эквивалентных) якобианов.
Следует добавить несколько слов относительно терминологии. При отображении плоскости Х, У на плоскость У, У мы будем называть линиями М такие линии плоскости Х, У, вдоль которых якобиан сз = д(У,У)!д(Х,У) = О, а линиями )ч' — такие линии плоскости Х, У, вдоль которых сз обращается в бесконечность. Вследствие равенства (д (У,У)(д (Х,У)] х ]д(Х,У)/д ((7,Ф')] = 1 ясно, что изображением некоторой линии М плоскости Х, У является некоторая линия 1ч' плоскости Р, К, и наоборот.
Математически мы имеем адесь только два понятия; Однако в нашей физической вадаче плоскость течения и плоскость годографа играют весьма различные роли, поэтому мы будем употреблять четыре различных термина. Линию в плоскости течения, вдоль которой с=д(7,0)/д(хну) обращается в нуль *), мы будем называть линией ветвления, а линию в плоскости течения, вдоль которой с'=1 с =д(х,у)/д(д,б) =О, будем называть предельной линией. Если нам потребуются еще термины для изображений этих линий в плоскости годографа, то изображение предельной линии в плоскости годограйза мы будем нааывать критической кривой, а линии ветвления — краем з"). ') Этот якобяая приведен здесь как типичный яз кескольквх, вообще говоря, эквивалентных якобяаков, которыми мы будем пользоваться в эааяскмостн от ситуации.
348 Гл. 1у. Плосяое установившееся яотенциалъное течение Как это уже делалось в предыдущих параграфах, прописными буквами мы будем обозначать такие якобианы, в которых координаты годографа стоят в знаменателе, а соответствующими строчными буквами такие якобианы, в которых координаты годографа стоит в числителе. Таким образом, д (д .,ди) д (~р,ву) е) д (х,у) д(,у) =' (д(д,з) = ' да,и) = д (х,у) д (д„,д„) = д(х,у) 1 1 д (д,з) гд ья а дд' ' Так как д (д,д'1~д Я,з)) = 2д (н а, то отображение сверхавуковой области годографа на плоскость $, г) является локально взаимно однозначным, кроме случаев, когда а = 90' или а = 0', т.
е. д= д, или д = д . В сверхзвуковом течении детерминанты 1, У, 1) и Е эквивалентны друг другу, если а чь 0 и а иэ 90~. Понятие как линии ветвления, так н предельной линии в сущности относится к сверхзвуковым течениям. Однако прежде чем начать основное обсуждение, мы проведем краткое исследование дозвуковых случаев. 2. Некоторые основные формулы. Дозвуковой случай Получим сначала некоторые простые формулы, которые нам будут необходимы в дальнейшем.
Мы обозначали линии Маха в плоскости течения как С и С или как линии $ и линии з) (см. п.16.7). Эти два последних названия мы будем употреблять теперь как для линий Маха в плоскости х,у, так и для координатных линий в плоскости $,1). Обозначим через г радиусвектор точки Р, а через 8 и ч) единичные векторы, которые образуют с направлением скорости углы — а и +а соответственно. Тогда векторы дг/д5 и дг/дз) будут иметь соответственно направления з и з). Мы можем ввести функции Ь,Я,з)) и Ьз(з,г)) прп помощи уравнений (1) элементы линий д и линий г) Если чеРез с(г, и Огз е) обозначить соответственно, то дг дев дг — =Ч дев Ь= —, Ь= — '-'.
двг с(вв Ц ' з дг) (2) ') В отличие от $ 9 и 16 злеыеитариые дуги линий Маха здесь обозаачзются через де, и двв. 19.2. Некоторые осмовяые формулы. Дозвуковой случай 349 Введя обозначения р" =8+ а и () =0 — н, будем иметь Отсюда У = ' = ЬхЬе з)н 2а. д (х,у) д Я,з)) (4) При анализе особенностей преобразования предпочтительнее пользоваться не якобианом (4), а функциями Ь, и Ье и функциями, обратными им, поскольку обращение в нуль каждой такой функции имеет определенный геометрический смысл"). Отметим, что д (х,у) Ь,Ь ' 1 = ' = — сон'а, д (В,В) д д(д,з (4') Будем также обозначать частные производные буквенными индек- сами врй — одЬ а(па, врй= дйхсоза, зря = йдЬ~ з(п а, зря= дйзсоза.
(4") Функции Ь, и Ь, играют важную роль в дифференциальной геометрии характеристической сетки в физической плоскости. Вводя радиусы кривизны ехх и Вв соответственно линий и линий г) и соответствующие кривизны и, и хе, а также кривизну линии тока х, получаем 1 Х 1 Нз д ( — а) д ( — а) две )зз д4 д (В+о) д (В+а) а; азан (5) да 1 Г дВ х= — = дз 2 сох о 'ч.
двх причем знак радиуса кривизны выбирается обычным образом* ). Обозначая штрихом дифференцирование по д и учитывая, что *) Знак Нз берется положнтельнын, если центр крнннзны линии $ находится з направлении увеличения хб соответственно берется,н знак Аз. дх — „=Ь,соз4-, — =Ь,я~ р, дх — = Ь,соа р", дв) ду дч 2 — =Ь з(п р'. 350 Гл. 1'т'. Плоское устаноеиесиееич нотензиалиное течение Ч = т) + $, 8 = т) — $, найдем е) Ь = — Л,(1+ — ", ), Ь,= — Вт(1+ —,). (6) — Мп 2а+ ( ч. — 1) (Ь, + Ь, соз 2а) = О, д)тт / а' дт) — 'е 2,'.( —,— 1)и,-';Й, т )-0,,~ (7) причем Д' = 1/(с) 1яа) *и). Кажется, что эти уравнения по сравнению с другими снстемамк линейных уравнений (см. п.17.1 и 17.2) не дают каких-либо особых преимуществ при решении общей задачи, однако они помогут нам в настоящем анализе за). Закончим эту подготовительную часть рассмотрением условий обращения в нуль характерных якобианов в дозвуковом случае.
Сначала мы будем заниматься особенностяати предельного типа, поэтому исследуем якобиан Л= = — 7)= — — (7 ф +(1 — М) ~,). д(к,у) 1 1 е д(.,ди) 10' Ц~' Он обращается в нуль только тогда, когда тгв и — =О ')ч=О у что, согласно уравнениям (16.31), приводит к равенствам — 'а =О, В=О. й ч Следовательно, при этом обращаются в нуль все четыре производные трч, трт, <рч, <ра.
Тогда х, у, хз, уа также равны нулю. Очевидно, что такая особенность будет изолированной. Между прочим, можно показать, что эта особая точка является седлом для ~р(д,б) и т(т(о,д), если в ней не все производные второго ') Отметим, что в особом случае, когда 1+а'Я'=О, ва равенства Ат=О зе следует, что Вт=О. Для полятропвчесяого течения этот особый случай имеет место пра М=2/)ГЗ вЂ” х. '*) Дла политрояического течения а' х+1 1 — = Я' 2созта ' я ата величина яеограяичеяяо воарастает, когда а †о '.
Определим теперь по формулам (3) вторые смешанные производные от х и у и приравняем полученные выражения. После некоторых упрощений получим систему двух линейных уравнений для Ь, и Ь;. 35! 10.8. Предельные линки ьт и ХВ порядка от тр и тр обращаются в нуль. Действительно, на основании уравнений (16.31) мы заключаем, что тртчтрВВ = — 1 мт ВРВВ. е' (8) Из уравнений (16.31) следует также, что если трет=О, то фт и трВВ равняются нулю. Однако тр трет-трете(0, если не все производные третьего порядка от т(т обращатотся в нуль; аналогичное соображение имеет место и для Вр(о,б).
Чтобы изучить в дозвуковом течении особенности типа точек ветвления, рассмотрим при о ~ 0 следующий якобиан: Он обращается в нуль только при до/дп=О, до/де=О, и, как следует из уравнений (16.7), при этом дб/дг=д0/дп= О. Можно опять показать, что эта особая точка представляет собой седло для о и 0, если только не все производные второго порядка равны нулю. Значит, такие особенности имеют место, во всяком случае, только в изолированных точках. 3. Предельные линии Хт и лэ Применяя координаты годографа $ и ц, рассмотрим теперь область сверхзвукового течения.
В этом и следующем пункте мы будем предполагать, что а „-ь 90' и а 0'. Случай а=90' будет изучен в п.б. Рассмотрим в плоскости б,т) геометрическое место точек Ь,($,тВ) = 0 для данного решения и рассмотрим в частности отображение окрестности атой кривой на плоскость х,у. Пусть р — точка *) с координатами 5ь,т1„причем Ь, (~„тишь) = О, (дЬВ/дт~)ВВ,чтФ О.
ТогДа, согласно теоРеме о неЯвных фУнкЦиЯх, существует некоторая кривая т) = д($), на которой Ь Я,ВВ) = О, причем ць=д(зь). Мы назовем ее критической кривой и обозначим через 1,; а кривую Хт в плоскости течения, соответствующуто линии 1т, назовем предельной линией. Предельной точкой будем называть точку, принадлежащую линии Х„точнее ту точку р, образом которой является такая точка р, где Ь,='О. Рассмотрим сначала на критической кривой такую точку т, где как дЬВ/дб, так и дЬВ/дт) отличны от нУлЯ. На основании первого из этих условий мы заключаем, что направление касательной к линии 1, в точке т не совпадает с направлением З; а согласно второму условию, используя уравнения (7) и усло- *) Здесь для точек э плоскости Ц, Ч мы будем испольэовать обозвачевва р, щ, д, ..., а ке и', М', О', ....
как это делалось в предыдущих параграфах. 352 Гл. 'е Ъ'. Пеееиее уетинееиеиееееи пюпенциильное еиечение вне а ч'= 0' и а ~ 90', заключаем, что ее ~ 0 в точке т. Тогда уравнения (1) показывают, что в точке М, изображением которой является точка т, направление.касательной к предельной линии Я, совпадает с направлением и, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
