Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 67
Текст из файла (страница 67)
с условиями, заданнымн на двух характеристиках. Однако теперь к треугольнику ВСЕ, где имеется течение с постоянными параметрами, примыкает новая простая волна И'с с прямыми характеристиками С", к аналогично к СЕ примыкает бегущая вперед волна Игр.
'1'ак как в точке С известны о и 9, то, ис- пользУЯ Равенство ~с+ рс = 2н, мы найДем постоЯннУю 2»1 ДлЯ волны И'с. Однако' до тех пор, пока не решена задача о течении в «зоне взаимодействия», волна Иго с поперечной характеристикой СР 18.б. Примеры более ело»»оных енечения не является полностью определенной. Тем не менее скорость Ч» в точке Р, как это можно усмотреть из годографа (рис. 121), известна и без решения задачи о «зоне взаимодействия».
Действительно, отложим сначала вектор по =О'В'. Из точки Ю' проведем1 эпициклоиды Р'С' н 11'С', ограниченные лучами О'С' и О'С', которые соответственно параллельны ВЕ и ВЕ. Дуги В'С' и Ю'С' являются изображениями волн Игл и ~-, а точки и С' соответствуют течениям с постоянными параметрами в областях ВСЕ и ВСЕ. Иэображениями волн И"с и И'й являются дуги эпициклоид С'Р' и С'Р', которые пересекаются в точке Р' н определяют, таким обрааом, .вектор О'Р' = и». В волне И'с связь между 8 и д иавестна, но этого еще недостаточно для полного расчета течения. Однака если форма характеристик СР и СР известна (после решения задачи о езоне взаимодействия»), то это определяет распределение скорости на поперечной характеристике СР волны И'с. Тогда распределение г Ига р и с.
122. Последовательное расположение в симметричном канале течений с постоянными параметрами, простых волн и течений общего вида. скорости будет известно всюду в «четырехугольной» волне Иго и, в частности, на проведенной из точки Е поперечной характеристике, ограничивающей волну И'с. В точке Р опять начинается равномерное течение, и т. д. На рис. 122 схематически изображено течение в канале, стенки которого на отдельных участках прямолинейны. Здесь ' чередуются области течения с постоянными параметрами, области простых волн и области течения 'общего вида (заштрихованные на чертеже). в. Частпные случаи. Предположим, что в рассмотренном случае [случае течения, описанного в подпункте (б)1 характеристика С, проходящая через точку А, пересекается с противоположной стенной в такой точке, где эта стенка все еще является прямой, Зла Гл.
в"в'. ввлосяое установившееся потенциальное теиение т. е. эта точка находится слева от А (см. рис..123). Характеристика ЕС представляет собой поперечную характеристику простой волны АЕС = И"л, а волна Ив-„здесь отсутствует. Течение за линией ЕС не является больше простой волной и рассчитывается так, как это было объяснено выше. Линию ЕС называют иногда отравесенной линией Маха. Р и с. 123.
Отраженная ливия Маха НС, падающая линия Маха АЕ. Дальнейшее упрощение этой задачи имеет место в том случае, когда стенка, начиная от точки Е, имеет форму линии тока в той простой волне, которая получается из АЕС продолжением через ЕС прямых характеристик С . Тогда эта последняя волна определяет продолжение течения за линией ЕС.
Такая волна будет использована в нижеследующем построении. г. Параллельный выход ив канала. Рассмотрим симметричный канал с каким-либо сверхзвуковым течением общего вида (отличающимся от равномерного потока или простой волны) в некоторой области, ограниченной справа характеристиками ЬР н ЬР (см. рис. 124). Решим теперь задачу об определении жакой формы замыкающей части канала, чтобы течение на выходе было равномерным н параллельным горизонтальной оси симметрии.
Переход к требуемому течению может быть обеспечен простой волной, илн, точнее, двумя симметричными простыми волнами. Мы хотим, чтобы за точкой Р характеристика ЬР переходила в прямую характеристику С' волны Игл, то же самое должно иметь место для ЕР и Иг„-. Это будет достигнуто, если стенку ЕА построить так, чтобы она была линией тока простой волны И'л, поперечной лбА. Примеры более елоеееных «ееиений 345 характеристикой которой является линия ЕР. Поскольку д и 5 предполагаются известными везде вдоль линии ЕР, то отсюда находится постоянная 2е) =8к+Дк, а также распределение скорости на всех прямых характеристиках С', пересекающих ЕР л Течение общего ойдо Р и с.
124. Параллельное течение на выходе из канала. в известном направлении; в частности, можно рассчитать нлв построить линию тока, проходящую через точку .Е. Вследствие симметрии 8=0 в точке Р, а значит в точках А и А также должно быть 5=0. За точками А и А стенки могут быть продолжены горизонтально, а течение на выходе будет иметь постоянную скорость, направленную по горизонтали направо. Р А О Р и с. 125. Параллельное течение иа выходе иг канала, е котором ка входе имеется радиальное течекие. Можно упомянуть еще один частный случай.
Рассмотрим канал, в котором течение общего вида (слева от ЕРЕ на предыдущем рисунке) является радиальным (см. подпункт (б) в п.17.4). Все зто течение, в том числе форма характеристики ЕР н значения скорости на ней, полностью известно (см. рис. 125). Линиями тока здесь являются радиусы (например 01е). А поскольку значения д и 0 вдоль прямой характеристики С', 346 Гл.
ТК. Плоское ушпапоепешееся потенциальное течение проходящей через точку Ч, остаются постоянными и поскольку ЕА должна быть линией тока, то отсюда следует, что касательная к стенке в точке Р параллельна Ое,е. Другие течения, которые содержат комбинации простых волн я скачков, будут рассмотрены в 9 23. 1 19. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ И ЛИНИИ ВЕТВЛЕНИЯ 1. Особенности преобразования годографа Отдельные особенности, обнаруженные нами сначала в $ 7 для некоторых простых примеров (радиальное течение, спиральное течение), были затем снова рассмотрены в п.17.4 уже как особенности преобразования годографа. Мы установили, что' эти особенности связаны с тем, что определенные детерминанты обращаются в нуль в некоторых точках илн даже на некоторых лиш1ях.
В физической плоскости на такой пр дельной линии (в указанных примерах она оказалась окружностью; см. также рис. 118,е) ускорение становится бесконечным, а линии тока имеют точки возврата. В настоящем параграфе предельные линии и нх аналоги — линии ветвления — будут изучаться более подробно и опять-таки с точки зрения особенностей, которыми обладает преобразование годографа а'). В физически возможном решении в каждой точке Р плоскости течения существует одно и только одно значение вектора скорости и = и(г). Однако ничто не мешает тому, чтобы в таком решении одно и то же значение ц имелось в нескольких рааличных точках Р.
Пусть теперь вместо решения ц = и (г), которое мы хотим определить, мы, интегрируя те или иные линейные уравнения годографа в независимых переменных с7, 0, получили некоторое решение в плоскости годографа, г = г (ц), причем пусть г есть однозначная функция от е1. Такое решение, вообще, згожет и не быть всюду эквивалентным искомому течению и=ц(г), поскольку оно, грубо говоря, может давать либо слишком много, либо слишком мало, а именно: а) в решении г=г(е() одному и тому же г могут отвечать разные аначения и, б) если г=г(е1) является однозначной функцией, то из этого решения нельзя получить такого решения е1 = п(г), в котором одно и то же и отвечает различным значениям г. Иллюстрацией для случая (а) могут служить простые примеры радиального и спирального течений (п.17.4).
Анализируя эти примеры, мы установили, что в каждой точно поля течения (за исключением точен предельной окружности) получаются два различных значения скорости, а это физически невозможно. Поэтому в этом случае мы должны были выделить деа разлиц- 347 19.1. Особенности арсобраоовонин оодограра ных решенил, которые встречаются на предельной линии. т. е. имеют в каждой точке этой предельной линии одинаковые значения я. Мы видели, что в каждом из рассмотренных случаев появление предельной линии было связано с обращением в нуль якобиана Р = д(ф,ф)/д(с7,8) или некоторого эквивалентного ему детерминанта.
С другой стороны, в п.17.3 мы установили, что неравенство Р Ф 0 (Р рассматривается как функция д и 0) является условием возможности получить решение с1 = и (г) из решения годографа г = г (е(). Однако если сс =Р ' или некоторый эквивалентный якобиан равны нулю, то переход от физической плоскости к плоскости годографа оказывается невозможным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
