Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 69
Текст из файла (страница 69)
е. в точке М линия Я, касается характеристики С'. Тот же самый вывод можно сделать и для любой кривой Ж, которая проходит через точку М н изображение которой с, описываемое, скажем, уравнением Ч=~Я), имеет в точке т направление, не совпадающее с направлением $. Все такие кривые 6 касаются предельной линии Х, в точке М. Например, в плоскости 5, и изображения линий постоянного модуля скорости или линий постоянного угла наклона скорости не имеют в точке т исключитвлъново направления, т. е. направления $.
В самом деле, для последних линий е(9=0, а е(Ч= = "/,(ИД+ сей) Ф О, если а ~ 90', такое же заключение можно сделать и для первых линий. Значит, эти линии касаются предельной линии л,1 в точке М. Поэтому направление вектора бган д в точке М нормально к Я, и, следовательно, к характеристике С', проходящей через М. Однако если кривая с имеет в точке т исключительное направление, т. е.
~й)/Ы$ = ~' Я) = О, то мы уяее не можем сделать вывода о том, что направление соответствующей кривой 6 в точке М совпадает с направлением г). Докажем, что в этом случае точки М кривой 6 является точкой возврата. Действительно, вдоль Ж й с — — хз+ П$) х„, —, = У5+1'(5) У„, я поскольку хь и уз обращаются в нуль при й, = О, а /'($) = О, то ИхЩ н ИУЩ в точке М'равны нулю. С другой стороны, еие =хИ+ 1 хч~ лене = У%+1 Уч и выражения, стоящие в правых частях этих равенств; отличны от нуля, поскольку, применяя формулы (3), имеем х55Уч — Уцхч = Ь, — з1в 2а чь О. аь; . дй Следовательно, особая точка М кривой 6 является точкой возврата. Так как линия з имеет в точке т исключительное направление, то характеристика С имеет в М точку возврата, а касательная к ней образует в этой'точке угол 2а с направлением Я,. Мы знаем, что линии тока и эквипотенциальные линии делят углы между направлениями С и С' пополам.
Поскольку эти линии не касаются Я1 в точке М, то мы заключаем отсюда, что их изображения в плоскости з, т~ должны иметь в точке т исключительное направление $ и, следовательно, в М они должны иметь точки возврата. Зто можно установить также и непосред- 19.8. Предельные линии ьг и '.св 353 отвеина. Из условия Ьг = 0 и выражений: (4") сггедует, что фь=О и фь=О.
Значит, в точке т для'линии тона ггв(г=в)гчй~ = О, а так'как фч па 0 (поскольку Ь, ~ 0), то е)д="О. Таким образом, линия тока имеет в точке т направление $. Аналогичное заключение можно сделать и для эквипотенциальных линий. Рассмотрим теперь ускорение в точке М. Используя опять равенства (/= т)+$, (/'=(г/зди) ', найдем Отсюда видно,.что ускорение на предельной линии является бесконечным, как это уже было установлено в частных примерах. То же самое имеет место и для градиента скорости. Конечно, аналогичные результаты получаются и для точек линии Хв (Ь, = О), в которых дйв/д5 Ф 0 и дйв/дг1 Ф О.
Формулируем нагпи выводы. Рассмотрим в характеристической плоскости геометрическое место точек Ьг(з, гг)=0, т. е. критическую линию г„и такие точки линии е„где д/гг/дЦ ~0 и дйг/дт~ чь О. Тогда предельная линия Хг (игобраяеением которой являепгся вта линия гг) будет огибаюи~ей линий Маха первого семейства С', линий постоянного модуля скороерги и линий постоянного угла наклона скорости. Этп' гюе предельная линия является геометрическим местом точек возврата для линий Маха второго семейства С, линий тока и. гквипотенг)иальных линий, и все гти три линии в плоскости 3, гг в точках пересечения их с гг имеют' направление $. Для критической кривой Ь,=О линии С' и С, $ и Ч меняются ролями. Мы уже видели в примерах, как два решения в физической плоскости встречаются на предельной линии.
Рассмотрим теперь соответствие между плоскостями х,у и 5,г~ вблизи такой линии (см. рис. 126). Возьмеы в физической плоскости точку Р. Ее изображением в плоскости $, гг являются дзе точки р и р'. Действительно, через точку Р проходят две имеющие неисключительное направление характеристики С", которые касаются линии Хг з точках М и М' соответственно, а на линии гг им соответствуют точки т и т'. На линии г1, проходящей через точку т, лежит точка р, а на линии г), проходящей через точку т', лежит точна р'. Эти точки р и р' находятся по разные стороны от критической кривой г„потому что при двилгении вдоль РМ и вдоль РМ' величина г) изменяется в противоположных направлениях.
Через точку Р проходят также две линии $ (характеристики С ), РЯ и РЧ', образующие углы 2а, и 2а, соответственно с характеристиками С' (лияиями РМ и РМ'). Точка г/, соответствующая точке г,г, леягит на линии гг и на линии $, проходящей через р, а точка г/' лежит на линии гг и на линии с, проходящей через' р'. 23 г. мввев 354 Гл. 1у. Плоское установившееся потенциальное течение Взаигшо однозначное соответствие между плоскостью течения и плоскостью годографа можно здесь получить обычным образом, рассматривая в плоскости течения два отдельных листа, У Р я с.
126. Предельная линия я критиче- ская кривая. изображением каждого из которых является область, лежащая по одну сторону от критической кривой (гг=О. На каждом таком листе в плоскости течения имеется одно течение"). 4. Особые точки предельной линии а. Точки возврата предельной линии. Наше исследование еще не окончено. До сих пор мы предполагали, что в точках рассматриваемой кривой Ь, ($, Ч) = О обе производные дйгЩ и дЬггдг) отличны от нуля. Теперь мы отбросим зто допущение.
Если Ьг($, Ч)=-О и дЬг/дг)=О, то, поскольку а'/()' — 1- О, из уравнений (7) следует, что ггг=О. Таким образом, Ь,=Ье=О, и из формул (3) мы получаем, что тогда все четыре производные 19:4. Оеобие точки иредееьиоа линии дх/д$, ... обращаются в нуль. Такую точку мы будем называть двойной предельной точкой. Такой точкой является точка пересечения двух критических кривых Ь, =0 и Ь,= 0; соответствующей точкой в физической плоскости будет точка пересечении двух предельных линий Х, и Яа (см. ниже подпункт (б) и прис меры в п.20.5]. В настоящий момент мы оставим этот случай в стороне.
Исследуем теперь такую точку т линии Ь, = О, в которой дЬ,/дч) -ь О, дйг/дь = О, даЬ,/д$а ~ 0; эта критическая линия имееле в данной точке направление з. Если соотношение Ь,(з, ч))=0, записать э форме ч~=д($), то тогда в точке т дй лье/дб / Ч Ый = дл,/ди= ' у = — —.ФО. йеаь/д$ь дд;/ди Как и раньше, в точке М, соответствующей т, Ых/сЦ =ха+ + хчд'(с) =О, так как /г,=О и у'=0; аналогично еьу/егз=О, в то время как Н'х Ф е~~з хек+ е хч йье = уГй+ 8 уч. О х Р и с.
127. Точка возврата предельной лилии. Здесь хаа=О, уц=О, у" ФО, а х„, у„не могут одновременно обращаться в нуль, потому что Ь, ~ О. Следовательно, обе производные второго порядка не равняются нулю одновременно, и линия 'Х„очевидно, имеет в М точку вовврата. Далее У мы заключаем, что (поскольку Ьз чь 0) характеристика С' опять касается линии Я, (см. рис. 127) там, где эта са линия имеет точку возврлта, С причем сама характеристика точки возврата не имеет. Тот же результат получается и для любой проходящей через точку М кривой, изображе- Х, ние которой не имеет в точ- Пиния то о ке т направления $.
Например, это справедливо для линии постоянного модуля скорости и для линии постоянного угла наклона скорости. С другой стороны, изображение характеристики С имеет з точке т направление $. Это справедлиго также для образов линии тока и эквипотенциальной линии з точке М, так как их направление в точке М не совладает с направлением Ж,. Как и раньше, в этом последнем факте можно убедиться также непосредственно из условий- чрь = О, фч Ф.
0 и т. д. Гл. 1тс. Плоское устсносисшсссл котенсисльное течснис- Такая точка (или точки) М, где (г имеет экстремум','а Жг — ' точку возврата, играет важную роль. Действительно, линия тока, проходящая через точку возврата, отделяет те линии тока, кото-' рые не пересекаются с Х„от тех линий тока, которые пересекаются с Жг (в общем случае в двух точках) и соответственно имеют- при 'этом точки возврата. В характеристической плоскости' линии ток», которые пересекают линию гг в направлении $ (в общем случае в двух точках), и линии тока, которые не пересекают линию /„ разделяются той линией тока, которая подходит я точке т в направлении $. Область между двумя ветвями Хг перекрывается трижды (см.
рис. 127), в остальной же частя отображение будет взаимно однозначным (см. также рис. 118). Аналогичные рассуждения применимы, конечно, и к линии Яс. Все вышесказанное будет проиллюстрировано примером, который будет детально рассмотрен в п.20.3. б. Пересечение предельных линий. Возьмем теперь некоторую точку а в плоскости $, т~, где /г, = Ьс = 0 и соответственно дЬг/дт~ = =дЬт/д5=0. В этом случае в точке а обращаются в нуль все четыре производные хс, хю ую у„. Предположим, что обе производные дЬг/д$ ~ 0 и дЬ /дц Ф О.
Значит, в окрестности этой точки мы можем записать вместо Ь,($, Ч) = 0 явное выражение $ = а(т~), причем у'(т~) = 0 в точке а. Равенство Ьс(з, т)) = 0 также может быть переписано в виде т)=/(з), где /'($)=0 в точке а. Дпфференцируя соотношения (3), найдем тогда в точке а Зггг Зьг зьс ,хэз = — соз ф, Узс = — згп ф, хчэ — — — соз ф', а~ зб ' эи аь, . учэ — — — з1п ф, хсч — — утэ — — О. ач Рассмотрим кривую Х„соответствующуго кривой Ь, (з, т~) = О. Докалгегт, что она имеет точку возврата в точке А(х,у), кото- рая соответствует точке а($„т~) (см.
рис. 128). В самом деле, в точке А сгх с — = хэ + ход' = О, — = уч + уса = О, ич гггт сгсе лттс — =хзч+хзд . В правой части последнего равенства второе слагаемое равно нулю, если в точке А величина у" не обращается в бесконечность. Но в точке А а"=( — дтйг/дт~е)/(дЬг/дэ), причем дЬгЩ ~ 0 по пРедположению, а деЬг/дттк остаетсн огРаниченным в точке А, как показывает дифференпированне уравнений (7). Следовательно, в точке А бмы имеем асх/Ит1е = х,щ, атУ/гтрк = Учэ и аУ/сгх = =уча/хз„— — уф'.
Отсюда мы заключаем, что кривая Х имеет в А точку возврата с касательной, направленной по С . Точно 1в.б. Предельнгге особенности нри М=1 таким же путем мы найдем, щая аз=0, имеет в. А точку ленной по- С . Можно также соответстукнгрего угла в плос- кости х,у перекрываетсл при этом четыре раза. Основываясь на равенствах (4") и на свойствах рассматри- ваемой точки, найдем, что ~,„=ф,„=о, да,дб, . гргггр о соз а даг дйг фыр = — Е у 'и а —,—,.
д4 дч' что кривая Х„соответствую- возврата с касательной, направустановить, что облисть внутри С' Жн Значит, в зависимости от того, будет ли величина (дйг/дз) х Х (дйг/дц) отрицательной или положительной, исследуемая э точка будет либо седлом (в перг зом случае), либо точкой экстремума гр; для функции же ф гр"=сеегс имеет место обратное положение. г В случае экстремума гр (первый случай) линия тона вблизи точки Р м с. г28. Окрестность двойном а в плоскости годографа будет предельной точки. замкнутой,а линия тОка в физической плоскости (см.
рис. 128) четыре раза перекрывает угловую об- ласть в точке А. В следующем параграфе мы найдем интересную иллюстрацию такого положения. Особенности высшего порядка мы здесь исследовать нв будем. 5. Предельные особенности при М= г В наших предыдущих рассуждениях предполагалось, что а чь 90' и а Ф 0', и это условие существенно использовалось во многих выводах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
