Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Когда же а=90' (т. е. на звуковой линии), то возникает несколько иное положение, которое мы и будем изу- чать теперь в свяйи с особенностями предельного типаев). При а=90' якобианы У и Р уже не ведут себя одинаково и теперь критерием будет слулгить обращение в нуль 'якобиайа'Р. Испольауя равенства (4"), будем иметь Р= У вЂ”, сова= оойгй соз'а= — — грзгрч = — грурз. (10) дд сглг а Отсюда видно, что если Х ограничено, то Р=О; а если Х= аз., то Р может равняться нулю или иметь отличное от нуля значе- ние (конечное или бесконечное). ЗЯ Гл. 11в.
Паоеиое уетаноеиввиеееа иотенциальиое- виечеиие Выражения ерй и еря через вр н в(ве имеют следующий вид: 1 1 И= ! Чвга+вгесВйа) %я= — [Чв(во+ФВсВйа). (11) Когда а — в 90', то вресВда-+О, если врв не стремится к беско- нечности (этот случай мы исключаем). Оставим сейчас в стороне случай  — ь+ сю, который соответ- ствует особенностям типа точек ветвления (см. п.б). В отличие от предельной точки или точкн ветвления мы будем называть простой звуковой точкой такую точку, где вро~О; при этом ~рй и вря остаются отличными от нуля. Например, в случае спираль- ного течения (см. п.17.4) звуковая линия (окружность) не является предельной линией.
Непосредственные вычисления по- казывают, что в обозначениях, принятых в й 17, СЯ оьк а оья а — ре=й ерВ=Ь вЂ” — С, р =Ь вЂ” +С, в Ь = — ~ — — Ссра); Ь = — ( — +СВна), 6= 1— )' в а(.й )' Ивеьйво — Свйв причем С) О, Ь) О. При а — ь90' вр еь О, н поэтому все эти точки являются простыми. Новый тип предельной точки, который мы будем называть звуковой предельной точкой, характеризуется тем, что при М=1 величина ф обращается в нуль.
В такой точке может быть вРо=О в)ве ныл или вуа=О, в)вВ=О. ПеРвый слУчай может иметь место вдоль некоторой дуги кривой, которую мы далее будем называть звуковой предельной линней и обозначать Жв. Во втором случае такая точка является изолированной, или, как мы это вскоре увидим, может быть, например общей точкой крйвых ~в н ~в Простейший пример линии Я, встречается в радиальном течении (п.17,4).
Вдоль линии М = 1, которая в этом случае представляет собой окружность, мы находим, полагая в написанных выше формулах С=О, что — ФВ=Ь цвВ='ря= сья а И 1 Ь, = Ье = —, 6 = — йдз1дз а. ао И В этом примере никаких других предельных линий нет, поскольку Ь, и Ь, всюду отличны от нуля*). Так как <рВ = вря = О, то звуковая линия здесь является и эквнпотенциальной линией. Значит, в каждой точке звуковой предельной линии направление линии тока нормально к Х„ в) Заметим, что з спнральном течевнн на простой звуковой линии Ив - — со, И, со, а в радиальном течении на звуковой предельной ннннн Ив и И, остаются конечннмн. 10.б. Предельные особенности нри М=ь 309 а поскольку а=90', то отсюда следует, что линия,Тг является огибающей как для характеристик С, так и для характеристик С' (см.
рис. 129). Поскольку иа линии Яг гго = О, Фв чь О, с(гг =г(гог/г/+Фв г(0 = г)гаг(0, то, очевидно, при гагр=О будет и гКВ=О, и наоборот. Поэтому изоклина В=савва также будет нормальна к линии Яг 0 Р в о. аг29. Звуковая предольвея линия. В более общем случае (аналогично исследованию, проведенному для линий Хг и Яе) по условиям йр= О, г)го=О, гва эь 0 ка Жг из формул (17.25) мы получаем с(х = — — Бгп 0 сгВ, 09 откуда — = — 'сад 0, если сгВ ~ О.
Ыу Их (12) Следовательно, элемент любой кривой, на котором с/О ~ 0 н который пересекает звуковую линию в плоскости годографа, отображается в плоскости х,у на элемент, имеющий наклон гар//ах= — свдВ, т. е. на элемент, нормальный к линии тока или касательный к Хг. Рассматривая далее элемент с исключительным направлением сед=0 и используя д как параметр, из формул (17.25) мы найдем, что в этом случае г/х/с(0 =0, Иу/ИВ=О, яо с(ех/Ыде и с(еу/Нг/е при атом не могут обращаться в нуль одновременно. Отсюда мы заключаем, что кривые, которые в точке их пересечения со звуковой линией в, плоскости годографа имеют исключительное (радиальное) направление, будут отображаться на кривые, имеющие точку возврата.
Отметим также, что характеристики С и С' (поскольку в плоскости годографа они раз- 360 Гл. у у. Плоское, уснсоновивиссеся иоомнциольное течение делены изоклиной) в плоскости х, у лежат по разные стороны от изоклины (и линии' тока), образуя между собой угол "в 180'. На основании равенства дд дс Ь= Чу'=.и Фв (9') мы можем заключить, что ускорение, которое, иа линиях Ж, и 5;в оказалось бесконечным, будет также бесконечным и в любой звуковой предельной точке, где туз ~ О. В примере радиального течения линии постоянного направления вектора скорости представляют собой радиусы (и нормальны к Ж,).
Для обоих возможных здесь течений радиусы являются также и линиями тока, и при этом можно считать, что в каждой точке звуковой предельной окружности две линии тона образуют вырожденную точку возврата. Звуковая предельная 'точка может представлять собой точку пересечения линии Я, с Хх или с Я или с обеими этими линиями*) (дзойная звуковая. предельная точка). Эта точка может быть звуковой точной на Ж, или на Яв (пример будет приведен в п.
20.3) или на обеих этих линиях (снова двойная звуковая предельная точка). Если эта звуковая точка является точкой пересечения Я, и, скажем, Х„, то в ней должна обращаться в нуль также и. производная фв. Так как ф =,0 вдоль звуковой линии д= д„то по формуле Тейлора,. примененной к функции ф„будем иметь, что ф =0(о — о,), а оба=0(о — о,) '~', т.
е. что зуоьба=0(д — д,) ~'. Значит, при д= ос величина = д~р С8 а — ~рв стремится к значению — $в независимо от того, как мы йриближаемся к звуковой линии. Но вдоль линии Хд всюду ф~ = 0; следовательно, трв = 0 в каждой точке пересечения Х, 'и Х,. Это показывает, что такой линии Я„вдоль которой всюду было бы М = 1, быть не может. Предположение тув = 0 является, однако, несправедливым, если рассматриваемая точка является звуковой точкой некоторой линии Я,, но не принадлежит при этом линии Ж, (см. примеры в п.20.3 и 20.5, где фз Ф 0).
Теперь кратко подытожим полученные результаты. Звуковая предельная линия Ж„хоракпсеризуемая условием ~~ = 0 вдоль некоторой звуковой линии, являетсл также (кусочно) гквипотен циальной линией и линиеа постоянного модуля скорости. В точках, где ~рв Ф О, вта линия является огибающей обоих семейств характеристик и, более того, огибасощей всех кривых, изображения которых в плоскости годогра(ба не имеют в соответствующих точках исключительного (радиального) направления.
Все кривые, изображения которых имеют в точках звуковой линии *) Соотзетстзующвй првмер првводен в последвей пз статей, указапвых з примечании Зо. ед.в. Линии еетееении ззт радиальное направление, имеют на Ж, точки возврата. 3гскорение на линии Я, становится бесконечным. Ни здесь, ни в'дальнейшем мы не будем исследовать случая а=О', потому что линии о=О будут в любом случае появляться лишь как границы области течения. 6. Линии ветвления Теперь мы будем исследовать случаи обращения в нуль яко- бианов д и у', являющихся обратными по отношению к якобиа- нам Ю и У соответственно.
Мы будем рассматривать течение .с числом Маха М> 1 (случай М ( 1 разобран в конце п.2). Теперь В=ОСЬ,Ь соя'а не может стать бесконечным до'.тех пор, пока Ь, или Ь, не обратится в бесконечность. Таким образом, здесь мы должны будем исследовать геометрические места точек Ь,(х, у)= ~ со и Ьт(х, у)= ~ со, иначе говоря, здесь сущест- .вуют только ливии ветвления Вг и В, и нет аналога линии Хн Возьмем теперь некоторое локально однозначное решение в плос- кости х, у и линии (или точки), вдоль которых Ь или Ь„рас- сматриваемые как функции х, у, обращаются. в, бесконечность.
Если обратить уравнения (3), которые были положены в основу нашего предыдущего исследования, то наши рассуждения после этого будут здесь такими же, какими они были в случае пре- дельной линии. Тогда хе = т4д (х,у)уд (з,т)), а из равенства (3) 'и (4) следует, что хе = йиЬ,Ьт яш 2а = Ь, соя ф или т)в —— = соз ф уЬ, ятп 2а. Это наводит на мысль ввести функции Ь= ., Ь= т т 13 И,яи2а ' з Ьея1а2а ' ( ) Если предпололтнть, что а Ф 90 и а ~0', то Ьт будут эквива. лентны 1уЬ,, и из уравнений (3) мы получим — =Ь,ятпф', д— — — — Ь,ятпф д4 .
, дч д4 , дв (14) — = — Ь,соя ф', — "=Ь сояф, ду ду у'=Ус Ь яш 2а =(Уттйяя(п 2а) 'г.. (14') Геометрическое место точек Ь, (х, у) = 0 в плоскости х,р назовем линией ветвления (сокращенно Вг), а его изображение в плоскости $,ц назовем краем йи Предположим теперь, что Ь ~ 0; тогда 'вдоль этого геометрического места точек й~ ~ О, и значит течение в физической плоскости не будет ни простой волной, ни равномерным потоком.
Если Ь, =О, то равенства (14) покааызают, что а$ = О, т. е. что з = сопев. Таким. образом, в плоскости $,т~ линия Ь, является линией т~, а линия' В, е плоскости течения является характеристикой С'. Как и в 362 Гл. 1'е". Плоское устаноеиеисеесл лстенциальное течение, ледует, что если мы возьмем (за исключением таких линий, образы которых в точке их пересечения с В1 имеют направление $), то ее изображение в плоскости $, Ч будет касаться края Ь„т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
