Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 74
Текст из файла (страница 74)
132. б. Гладкие линии тока, на которых скорость не всюду дозвуковая. К такому типу относятся линии тока 2 л 3. Однако максимальное число Маха на таких линиях тока меньше, чем 2,5. На бесконечности скорость на таких линиях тона равна нулю. При движении же от бесконечности скорость увеличивается и становится звуковой, когда линии тока пересекают звуковую окружность. Наибольшего значения скорость достигает на оси з, а затем она опять уменьшается до дозвуковых значений. Годограф таких линий тока пересекает звуковую окружность, но целиком остается внутри' предельной линии. Линия тока 4, соответствующая М„о„о.=2,5, отделяет линии тока типа (б) от линий тока указанного ниже типа (в). В плоскости годографа зта линия тока касается предельной линии, а в физической плоскости она проходит через две симметричные точки возврата ее и ее предельной линии.
В этих точках она имеет бесконечную кривизну. в. Линии тока, на которых величина максимальной скорости больше, чем о/о а, (соответствУющее максимальное число Маха больше, чем 2,5). При пересечении с предельной линией онм 378 Гл. Ху. Плоское установившееся иотенциальное течение имеют точки возврата.
Имеется два типа таких линий тока. Линия тока первого типа (в,), как,-например, линия тока 5, пересекает предельную линию в плоскости годографа в четырех точках, которые соответствуют четырем точкам возврата в физической плоскости. Такая линия тока фактически состоит из трех участков. Первый участок (сплошная ливия) на плоскости годографа проходит слева направо через точку О', второй участок (пунктирная линия) находится вне предельной линии в плоскости годографа; а третий участок (точечная линия) снова находится внутри предельной линии в плоскости годографа. На рис. 132 показаны соответствующие участки и в физическол плоскости. Линии тока другого типа (в ), как, например, линия тока 7, пересекают предельную линию в плоскости годографа только дважды и имеют соответственно две симметричные точки возврата.
Линия тона б разделяет линии тока этих двух типов. Линии тока вида (б) являются примером таких линий тока, вдоль которых скорость меняется от дозвуковой до сверхзвуковой и наоборот. Это изменение происходит непрерывным путем и без скачков. Мы можем рассматривать две любые линии тока вида (б) как стенки некоторого канала. Очевидно, что в канале такого типа возможен переход через скорость звука для иээнтропически ускоряющего или замедляющегося течения. Этот случай является примером непрерывного течения с переходом через скорость звука *); см.
таклсе п.25.3 и далее. 4. Дальнейшие комментарии и обобщения Решение(8), котороеимеет место для и ~ — 1, — 2, ..., обладает тем свойством, что Р является аналитической функцией, причем г" — э 1 при х-ь О. В общем случае существует только одно такое решение уравненйя (7'). Однако в исключительном случае п = — 1 существует еще второе решение, которое обладает вышеуказанными свойствами. Молсно непосредственно проверить, что функция / — (1 — т)иди удовлетворяет уравнению (7').
Следовательно, в дополнение к решению (15) выражения ф= Ат и'(1 — т)"1'" Ыэшй, <у=Ат г' (1+ + тл) соей (21) представляют собой еше одно решение, соответствующее и= — 1. Это решение имеет свойства, весьма близкие к свойствам решения (15). Соответствующее течение снова имеет предельную линию с двумя точками возврата. В этом течении также имеются глад- в) Пересечение таких линий тока, кан лиани 1, 2, 3, 4, с внешней ветвью предельной линии яэлнотсн только кажущимся.
ВО.В. Дольнеашие комментерии и обобиеения 379 кие линии тока, вдоль которых дозвуковое течение достигает авуковой скорости, затем становится сверхзвуковым и затормаживается вновь до дозвуковых скоростей. Линия тока, которая проходит через точки возврата предельной линии, отделяет регулярные гладкие линии тока от линий тока, имеющих точки возврата на предельной линии. Если в выражениях (15) и (21) положить Ас7 =С, где С остается фиксированным при д„-+ со, то очевидно, что висим двум жечениялс сжимаемой жидкости соосивенсствуеси одно и сно же те севке несжимаемой жидкости ср = (С/с7) зш 9, ср = (С/с7) соз О, исследованное уже в п.З.
Кансдая из двух функций ср,(т), определяемых формулами (15) и (21), должна также удовлетворять уравнению (7) и при и = 1. Если непосредственно рассмотреть случай п = 1, то, согласно формулам (8), будем иметь ос=1, ус= — 1/(х — 1) и / 1 1~тек Ф (.)=.'*- — — + — ~ 1-1) ' х — 1 2! сс — 1 ч х — I 3! х — 1 (1 (1,)хдк-с)) х1 е Таким образом, оказывается, что функция сРс (т) равна сумме двух членов, которые соответственно равны $, (т), определяемым формулами (15) и (21) "). Соответствующая.гипергеометрическая функция г'(а„йм 2; т) будет такова: х — 1 ' ' л к Нетрудно проверить, что выраксение, стоящее в правой части етого равенства, стремится к единице, когда т стремится к нулю.
Обратимся теперь к другому примеру. Течение,подробноизученное в п.З, рассматривалось как сжимаемый. аналог течения несжимаемой жидкости около кромки, т. е. около «угла с нулевым раствором». Естественно попытаться обобщить подобным способом хорошо известное течение несжимаемой лсидкости около выпуклого угла (см. Рис. 133). Известно, что в плоскости годографа линии тока, соответствующие течению несжимаемой жидкости около угла с раствором (360' — а), представлясот собой семейство лемнискат (в действительности берется по одной петле каждой лемнискаты), лежащих внутри угла и — 180'. Их обпсая касательная образует в плоскости годографа линию тока с)с=.0, которая является изображением двух сторон угла плоскости течения.
Зги лемнискаты играют ту же роль, какую окружности играли' в течении около кромки. Сжимаемые аналоги подобных течений могут быть построены с помощью метода, рассмотренного в атом параграфе. Некоторые результаты приводятся ниже. с Р и с. 133. Течеиие несжимаемой жидкости около прямого угла. Р и с. 134.
Течепие сжимаемой жидкости около прямо- го угла. Пред ни дщ адуенн А с анин ин 20.4. Даяънейтие коееиентарии и обобщения Зав Основные характерныв свойства, относящиеся к предельной ливии и т. п., остаются для этого случая без изменений. Рассмотрим, например; случай а = 270' (см.
рис. 134). Предельная линия в физической плоскости снова ив(еет две точки возврата, Здесь опять существует определенная линия тока Я (аналог линии тока 4 в течении около кромки), которая отделяет гладкие линии тока типа (б), вообще не пересекающие предельной линии, от линий тока типа (в), характеризующихся двумя или четырьмя точками возврата (по одной на каждой из четырех ветвей предельной ливии). Звуковая ливия здесь уже не является окружностью, а напоминает петлю лемнискаты.
Рассмотрим теперь комплексный потенциал и) течения несжимаемой жидкости п>=г, г =де-ев=тг Исключая г и полагая А =' т- /( -1), получаем Аь~/(т-1) А~т/(т-!) (соэ т а ) э)п т а ') о> — 1 т — 1 ./' >(> Ад /( -(>э)п т б А(/х/(е-а)э)п а б о т — 1 а — а соответствует функция тока течения сжимаемой жидкости >(> = А ах/(х "> р (а, Ь, е; т) э1п З. (8') Зто выражение получается из первого уравнения (8) заменой величины п на я/(я — а). Кроме того, мы имеем 1 х 1 а+Ь вЂ” и х — 1 и — а х — 1' 1 1 х(2х — а) аЬ = — — и (и+ 1) 2 х — 1 2(х — 1) 2х — а а — а ' (л — а)" Если угол а можно представить здесь в форме а = я(р+ 2)/(р+ 1) (р = 1, 2, 3,...
) (как, например, а = 270' на рис. 134), то тогда с (2я — а)/(л — а) — р, т. е. с является целым отрицательным числом. Слвдова- В этих обозначениях течение Ринглеба соответствует т = '/, а течение, указанное в последнем примере, соответствует т=о/е. Пусть т закл>очено мен(ду в/о и 1; тогда течение несжимаев(ой жидкости представляет собой течение около выпуклого угла () =2я — а, причем а=я/л) меняется от 2я до я, а р от 0 (течение Ринглеба) до л ее). (рункции тока такого течения несжимаемой жидкости 382 Гл.
/У. Плоеное цетеновивдиеегя яотенциолдное те ~ение тельно, при таких значениях р, как р = я/2, 2я/3, Зя/4 и т. п. для д(д не существует решения указанного выше вида (8') и необходимо применять разложение в ряд другого вида е'). Для исключительного случая а = 270' (рис. 134) было получено решение в явном видеео). Для значений угла р, отличных от указанных выше, например, для всех углов р ( 90', решение вида (8') существуеФ. В частности, дляе') р = 60', с = — '/, и = — е/, и для 'д) р = 46,8' решения подробно исследованы.
В последнем случае бесконечный гипергеометрический ряд сводится к полиному четвертой степенр. Эти случаи по сравненидо с исследованными случаями р = 0 и р = 90' (рис. 132 и 134) не имеют каких-либо новых характерных свойств. Результаты, приведенные в двух последних пунктах, можно распространить на обдций случай баротропного течения. Мы ограничились политропвческим течением (с принятыдд при вычислениях значением к=1,4) для того, чтобы получить конкретные результаты для наиболее важного случая.
Каждое из этих частных решений можно трактовать а розтепоп как некоторое решение краевой задачи, рассматэивая, например, в каждом случае некоторые линии тока как фиксированные границы течения. 5. Сжимаемый диполь Перейдем теперь к примеру, который отличается особенно интересной предельной линией. Исследуевд (в обозначениях, указанных на стр.
380 — 381) случай т = — 1, п = '/„т. е. рассмотрим сжимаемый аналог диполя е'). Здесь 1 йт 1 д . 6 ш = — — ~ = — =. де — м = — др = уды 81п —, . (22) е' йе ед и' Соответствующая функция тока течения сжимаемой жидкости (для х = 1,4), согласно формулам (8), будет такова: 8 —, . 6 д(д= )/9 т~геР(а, Ь, е/д т) здп — =У Ч т гв/(т)здп 3 16 а+ Ь= — — — = — 2, аЬ=— 2' х — 1 ' 8(х — 1) 16' а для /(т) получается ряд /(т) =1 — — т+ — т'— 3 31 8 128 Этот ряд равномерно сходится для всех т < 1. Вблизи значения т= 1 можно пользоваться разложением по степеням величины 1 — г (см. первую сноску на стр. 368). Можно определить потенциал у, соответствующий этой функции тока дР; тогда координаты х, у найдутся по формулам (17.25').
вэ.в. Сжимаемая диполь Если вместо д использовать т и учесть равенства (3'), то первую из формул (17.25') можно заменить формулой д )/т — = — совŠ— — (1 — т)->д — >в1пЕ; де д<р эр дт дч дч аналогичные результаты получаются и для трех остальных формул. Интегрирование дает х э > ээ' э )/д т /4 (1 — т)~/<" ~>х= 2т/(т) ~сов — — —.сов —,)+/сов —, 1/д т'Ь ( — ъ) '/сч — '> у = 2т/'(т) (вш — — —, вш — ) + / в(п — . (24) Исследуем теперь особенности этого преобразования. Линии ветвления здесь не существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
