Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Теперь можно видеть, что для т, ( т, простым нормирующим множителем является -им а) (т ) (11) Действительно, из аспмптотического равенства ем и т при малых т, выраженного соотношением (5), мы видим, что, как и предполагалось, е ' в пределе при т,— +О ведет себя как г, '~а.Из формулы (10) следует также, что общий член ряда (2) прн болыпих п будет вести себя как $'(т)с„е" о " см и прн т=т„а=г, его поведение фактически аналогично поведению общего члена разложения (20.13) при д = 1. 3. Обтекание кругового цилиндра Чтобы вникнуть в задачу о течении около препятствия, мы рассмотрим обтекание круга'), который, вероятно, является простейшим профилем. Мы дадим основное направление процесса решения задачи и отошлем читателя за деталями к литературе, которая будет указана*).
Пусть радиус круга будет равен единице, пусть, нан и ранее, д = д, = 1 и соответствующее т, является дозвуковым. Коьчпленсвый потенциал сп (з) течения несжимаемой жидкости хорошо известен: ю(з) = з+ —, ь = — = де е = 1 — —,, з = (1 — ь) ши (12) ш(з) =шсК) =(1-~)п*+(1-~)-и. *) В пркмсрс, разобравксм в атом пункте, от читателя требуется только некоторое представление об акалктячсском прсдслжспкк и о теореме о вычетах. Рассмотрим верхнюю половину плоскости з. Видно (рис. 138), что ось х от точки 5 до оэ и от — оэ до точки 1 отображается на разрез между ь=О п ь=1; изображением профиля линии тока 1-2-3-4-5.
в плоскости годографа будет круг с центром в точке д„= 1, да — — О, проходящий через начало координат. Еще несколько линий тока, изображенных приблизительно, показывают, как область течения в верхней полуплоскости з вне препятствия отображается в область внутри круга в плоскости д„, д„. 395 22.2.
Обтекание кругового цилиндра РаЗЛОжЕНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ПОтЕНцИаЛа Псе(С",) дОЛжНО бЫтЬ Прс)- ведено отдельно для )ь) < 1 и )ь) > 1. Линия (~) = 1 является дугой окружности в плоскости годографа, и ее образ ~1 — 1/не~ = = 1 илп хг — у' = '/, разделяет область течения над осью х Р и О. 138. Течение около кругового цилиндра па тря области Л„Л„ЛО с соответствующими изображениями в плоскости годографа. Проводя разложение для ~ ь ~ < 1, мы должны ваять з = = + (1 — ь) — '~з в области Л, и з = — (1 — ь) — мг в области Л, (тогда для ь=О мы получим с=1 в области Л, и и= — 1 в области Лг); для )Ь() 1, с= Ц вЂ” '/2(1 — 1Д) — '~2 в области Л,.
Тогда для областей Л„Л„Л, мы получаем следующие разлохсенсля: )Х( 1)Г(л /) ( /2) =о (13) юг = Р (,/ ) ~~~, (и+ '/2) Г (л — '/,) —, и=о 396 Г». г>. 7«ор»» ин>»егрироеаки» и «ка»аи Цели мы рассмотрим также нижнюю часть плоскости з, т.
е у ( О, то области В, и В«ниже оси х продолжаются симметрично; обозначим через В«область, симметричную области Л«. Изображение в плоскости годографа этой нижней части покрывает второй раз такой же, как на рис. 138, круг в плоскости годографа и на рисунке не показано. Формулы (13) остаются верпымп, и нужно добавить еще формулу ю« = — ш«. (13') Можно проверить, что каждый из четырех рядов является аналитическим продолжением двух соседних рядов.
Это разложение в ряд функции ш(г) = ш«(4) является первым шагом. Затем мы найдем соответствующее течение ся<пмаемой жидкости и начнем с построения рядов для И>>' и И'„соответствующих ш> и ш«; согласно равенствам (2) и (11) СО И' = '~~', (" ! (" /«) >)> (т) е — »о>+'«>, (14) ( /2) »! =о » Ит ~~ ( + /«) Р ( /«) „! ( ) ш — >/«>О>.~.>«> (13) »=о Мы видим сразу, что И>«ни прп каком выборе нормиру>ощего множителя /(п,т>).
ке лвллел>сл аналитическим продолжением И>>. Нахождение продолжения И>> для т ) т, является математической задачей, к решению которой можно подойти разлвчнымн путями. Сравнительно простое решение (см. примечание 4) основано на обобщении представления гипергеометрпческой функции Р(а,Ь,с;х) «интегралом Барнсаз. Чтобы пояснить эту идею, мы сначала временно вернемся к задаче о течении несжимаемой жидкости.
Обозначим через В интеграл«) В = „.„, ~ (т — 1) Г (г — '/з) Г ( — т) ( — ~)т Ы», взятый вдоль пути С в комплексной плоскости т, как показано на рнс. 139. Затем мы применим теорему о вычетах и вышеприведенному интегралу, взятому по соответствующему замкнутому контуру (1), лежащему справа от мнимой оси, такому, как контур, показанный на рисунке. Мы используем то обстоятельство, что функция Г (т) имеет простые полюсы в точках т = — и, п=О, 1, 2, ... с вычетами ( — 1)"/и! Тогда полюсы функции (т — 1) Г( — т),которыенаходятся в точках к=О, 2, 3, ..., будут лежать внутри контура (/), а полюсы функции Г(т — '/>), ното- 91.8.
Обтекание «рлгогого цилиндра рые„находятся в точках '/л — и, и = О, 1, 2, ..., будут лежать вне контура (г). Ыо)кно показать, что когда ~т)-о со, о < 1, интегралпо правой,полуокружностн стремится к нулю и, следовательно, — В равно пределу суммы вычетов в полюсах, которые расположены внутри контура (1), или В= 1,, ~~'., (и — 1) Г(ц-",,) —,), )9) < 1. (13") и=о Ряд в правой части равенства (13«) тождественно совпадает с раз-' ложением (13) для п)ы Таким образом, теперь и), выражается Р л с. 139.
Пути интегрирования, лспользусыые прв вычислении пвтсгралн Барнса. ° полюсы функции (т — () г ( — т); О полюсы фуцнцпк Г (т — г)г); х полюсы фуйнцпп Е . через интеграл В, и мы можем использовать зто представление чтобы найти продолжение (е, для ~~ ~ ) 1. Сейчас мы поясним ' зто основное соображение непосредственно для задачи о теченнп сжимаемой жидкости. КСЛИ При Ь=()Š— ГО МЫ ЗаМЕНИМ ()" Чсрсв (9„(т)Е гг В СООтВЕтствип с выражениями (2) и (11), то придем к рассмотрению вместо В интеграла +(ю В' = .Р, ~ (т — 1)Г(т — т/г)Г( — т)( — 1)т(р„(т)е — ~('г+(з) п)ъ'е — гсг (1В) взятого вдоль .того же пути С, что и на рис. 139.
Теперь мы применим теорему о вычетах к подннтегральному выражениЮ 398 Гл. (е. Теория интегрирования и скачки интеграла (16) и контуру (Х). Мы найдем, что для значений т < < т, (соответствующих и < 1) — В' равно пределу суммы вычетов подннтегрального выражения при и=О, 2, 3, ... н что эта сумма ЯвлЯетсЯ точно РЯдом Иеп Затем, чтобы найти аналитическое продолжение, мы проинтегрируем по левому замкнутому контуру (11), показанному на рисунке, где при ~ т( — > со и т ) т, интеграл по левой полуокружности стремится к нулю. Внутри этого контура теперь будут находиться не только полюсы функппн Г(ч — '/ ), но также полюсы функции фч(т), которая рассматривается как функция ч для фиксированного т (О < т < 1). Полюсы первой функции будут расположены в точках ',— п (п =О, 1, 2, ...) и предел соответствующей суммы вычетов равен И',, есгш 9 отрицательно, и — И~з, если 8 положительно'".).
Простые полвосы функции гра(т) будут в точках — п (я=2, 3, ...) с вычетами р„= — пСигри(т), где С„зависит от постоянных а„, 6„, определенных формулаыи (20.8)аа). [Заметим, что функция 1(п, т,) = =е ™г не внесет дополнительных полюсов и соответствующие вычеты будут такими жев), как и у исходной функции Чаплыгина [ф„(т,)) '.) Предел суммы вычетов в этих полюсах равен ряду — Ь, где со Ь = „, 'Я ( — 1)"'Г (и+ 2) Г (-п — 'уз) С„ври (т) е" <"'~+'г~ = и=2 и=2 Следовательно, аналитическим продолжением функции И', в области, соответствующей области В, будет функция И'з — Х„п мы видим, что одно только выражение (15) не может дать требуемое продолпеение, так как функция И'„определяемая выражением (15), не содержит всех полюсов аналитического продолжения функции Иею Независимо от того, как мы выберем функцпво ~(п,т,), нужно учитывать полюсы функции гр (т) как функции от и.
Аналогичным образом мы получаем функции — И',— 2Ь и — Иез — е. в областях, соответствующих Вз и Вг. *) Это соответствует тому, что в интеграле (16) аргумент яелпчпиы — 1 нужно взять равным — я п я соответственно, дчя того чтобы интегралы вдоль полуокружвостн стремпгцвсь к нулю. "*) 1!пенно, (Я()гГ(аи — Я)Г(1 — Ьа) вкк 1 1 и 3) ' (сы. статью Лайтхпяла, указанную з прпмечаппп 50 к гл. 1Ч). Эта асппптотпческая формула получается путем применения формулы Стпряпнга. 21.А Общее решение доя доооувооой обломов 4.
Общее решение для дозвуковой области*) Для дозвуковых значений т можно получить') компактное решение в явном виде. Кроме использования вышеупомянутых свойств функпии эр„(т), основным приемом исследования является разложение (по и для фиксированного т) функэ)ли ф„(т) на простые дроби, имеющее силу для 0 < т ( т, и комплексных и: „р (. ) ее~~1 + ~Я С ешо„~ ш=э О = е"' 1', С е 'ф (т), 1э=э (19) где в последней записи этого разложения мы налагаем С =- 1, С,=О и и/(и+т) = 1 для и =т = О. Формула (19) дает выраже- ние эр„(т) для комплексных и черев ф (т), где т — положитель- ное целое числов*). ") Соображения, налагаемые в этом пункте н принадлежащие Лайтхвллу, не явля~ется элементарнымн. Главный результат заключается в том, что интегральное прелставлевве (23) имеет силу во всей дозвуковой области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
