Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Если такая стенка не отклоняется слишком круто вверх за точкой А, то она нв нарушит условия, существующие между А и В. На рис. 141 стенка изображается кривой АР, и эта кривая неизбежно должна быть линией тока для частиц жидкости, проходящих через точку А. Далее, когда число Маха Мс увеличивается, линии АС и ВС все более приближаззтся к горизонталям. Таким образом, сколь бы мало ни отклонялась кривая А.Р вверх, точка Р для достаточно большого М, попадает внутрь треугольника АВС, и возникает противоречие.
Наклон 0 линии тока в точке Р должен равняться наклону касательной к кривой АР в точке Р, а не наклону 9=0, который дается решением, приведенным выше. Как и в $14, путь преодоления этого противоречия заключается в учете вязкости и (или) теплопроводности. В жидкости с малой внзкостью заметное влияние этих факторов на картину течения предполагается локализованным в очень тонких слоях, внутри которых происходят ревнив изменения параметров потока.
Предполагается, что во всем остальном потоке уравнения теории идеальной жидкости достаточно точно описывают действительное течение(вявкой лсидкости). Картина течения такого комбинированного типа наблюдается в случаях, подобных приведенному выше примеру, для которых не существует решения, основанного только на теории идеальной жидкости "). Возможная теория установившихся плоских течений, содержащих такие тонкие слои или скачки, может базироваться на следующих принципах. Нредполагаетхя, что исходные дифференЧиальные уравнения двооесения идеальной зесидкости, а именно уравнение неразрывности, уравнение Ньютона и замыкаюее4ее условие, выполняются во всех точках плоскости х, у, за исключением некоторых »линой скачков», положение которых заранее неизвестно; при переходе через зти линии параметры потока претерпевают разрыв, а ихменовенные изменения описываются зако- 27 г. м»асс 118 Гя. 'г'.
Теория интегрираеания и скачки нами, получающимися из теории вязкой и (или) теплопроводнец зюидкос та. Теперь мы должны определить, какой вид принимают этв условия на скачке в случае установившегося плоского течения. Частный пример такого течения вязкой жидкости может быть построен на основе установившегося одномерного течения, описанного в п.И.З и И.4. Предположим, что это последнее течение рассматривается в системе координат, движущейся в отрипательном направлении оси у с постоянной скоростью о. Это сводится к наложенидо на исходное течение постоянной скорости о в направлении оси у.
Тогда в получившемся движении вдоль любой линии, параллельной оси к, будет иметь место резкий переход от состояния д„ = и„ д = о„ р, рд к состоянию дя = и, д е- пг, р„ оа, при котором этн восемь переменных удовлетворядот трем соотношениям (И.22), (И.23) и (И.24): (За) (Зб) ядид = Югиа = т р,+ тид — — р,+ ти„ вЂ” — -= — + — — ) и', . у р, иг у Р, ю1 2(~ — 1д — 2 (Зв) а также дополнительному условию вд = оз = и. (Зг) Если вместо и',+о', написать д', и вместо и',+о,' написать д'„ то в силу соотношения (Зг) равенство (Зв) заменится равенством — + — — = — + — —. 4 у Рд 11 у Рг (Зв') 2 у — 1о, 2 у — 1Е,' ПРи 1да — а 0 толщина области пеРехода стРемитсЯ к нУлю [сдь формулу (И.26)1, и уравнения (3) связывают начальные и конечные значения переменных при мгновенном переходе. Таким образом, уравнения (3) являются условиями на скачке для частного вида установившегося плоского движения.
Далее будет показано, что эти уравнения являдотся условиями перехода для самого общего случая установивдлегося плоского течения. 2. Условия на косом скачке в случае совершенного гааа Прежде всего нужно составить уравнения, описывающие установившееся плоское течение вязкой жидкости. Уравнение неразрывности будет такое же, как для невязкой жидкости, т. е. уравнение (2). Проекции уравнения Ньютона на три оси координат даются для вязкой жидкости уравнениями (3.8).
Эти уравнения должны быть упрощены для случая установившегося плоского движения 'без учета силы тяжести. 22.2. 'Условия на косове скачке 419 При таком движении на двух параллельных плоскости х,у гранях элементарного объема Нх Ыуевз (см. рис. 6 из 9 3) не могут существовать касательные напряжения, вызванные вязкостью, так как частицы, примыкающие к противоположным сторонам этих поверхностей, двигаются с одной и той же скоростью.
Следовательно, (4) а также (5) Остаются только нормальные напряжения о„, о„н касательные напряжения, равные, скажем, (6) Таким образом, при пренебрежении силой тяжести уравнения (3.8) сведутся к следующим: Иох др дсх д с й — "= — — + — + —, ге = дх дх ду Ф— Ыдк др, дт дои = — — + — + —, Не ду дх ду ' где д(Ж = д„д(дх+ д„д/ду.
Для вывода замыкающего уравнения мы1 предположим, что двиявение является квазиадиабатическим (т.е. жидкость теплопроводна, см.п.1.5). При этих условиях уравнением энергии является уравнение (3.24); преобразовывая его для случая установившегося плоского течения и пренебрегая, силой тяжести, мы, имеем Здесь ш определяется формулой (2.5), а ш' — формулой (ЗЛО)," в случае установившегося плоского течения эти формулы в силу уравнений (4) — (6) приводятся к виду дх (' "х) + ду (~ хк)' д .
д д,, д ' — ~' = —,. (9.о.'+ д„т)+ — И„т+ 9„о„'), следовательно, д д ш+ и дх (Чх (Р х) Чк 1 + ду '( .?хт+ Ус(Р ~и)1 Наконец, если предположить, что жидкость является совершен- ным газом, так что выполняется уравнение (1.6), т.е. ' Р=Ф?ЕТ (9) 27х Гя. 'г'.
Теория интегрирования и ехаххи и в соответствии с равенством (2.13) У=с„Т=р/(у — 1)Е, то замыкающее уравнение будет д Гог 1 рл д е — ~ — + — — ~+ — И (р — и') — ее 1+ у — те( а + —,(-е:+е„(р-.,)1=а (1 а ))+а (й —,)1. (1о) д д дТ д дТ Уравнения (2) и (7) — (10) составляют систему пяти уравнений для пяти неизвестных дх, до, р, Е и Т при условии, что и„, со' и т выражаются через эти переменные (см. последний абзац п.3.3). Если уравнение (2) умножить на дх и результат сложить с уравнением (7), то последнее заменится следующим: д г, д а.
(Ы+р-и-'1+ а (ее.е.— 1=о' аналогично, если уравнение (2), умноженное на д„, сложить с уравнением (8), то последнее примет вид д, (еч.ч„— т1+ — (ее'„+ р — пи1 = О. (12) Снова складывая уравнение (2), на этот раз умноженное на (дг/2+ р/(у — 1) Е], с замыкающим уравнением (10), мы получаем рог ~ р, дТ Ч вЂ” 1 Ед ! — + — — )+ да(Р— а„') — д т — /г — 1+ дх( х, 2 у 1 О) х х о дх + а ГЕдо( 2 + — 1 ~) — Е„т+те(р — о„') /г — |=О. (13) (и) Наконец, если Т выражено через р и Е, согласно уравнению состояния (9), то уравнения (2), (11), (12) и (13) образуют систему из четырех уравнений для д„, д, р и Е как функций х и у. Каждое из этих уравнений имеет вид дА д — + — =0 дх ду и, будучи проинтегрировано по интервалу от х, до х„дает связь вида А(хг) — А(х,)+ ~ — г)х=о. Г дВ .1 аа (14) хг Теперь мы рассмотрим решения, для которых производные по у остаются ограниченными, когда ро и й стремятся к нулю.
Тогда уравнение (14) выполняется также для предельного течения с интегралом, стремящимся к нулю, когда х, приближается к х,. Таким образом, если направление х выбирается по нормали к линии скачка в рассматриваемой точке, а индексы 1 и 2 отно- 32.3. условия на косом скачке 421 Нормаль йк ° . Е ( 2 1) Р в с. 442. Выбор осей ва Следовательно, ввиду того что тчьО (т. е. частицы пересекают линию скачка), уравнение (Зг) должно выполняться. При том же условии четвертое из уравнений (15) дает (Зв'). Таким образом, мы показали, что четыреуравнения(За) — (Зг) представляют собой необходимые условия, свяаывающие начальные и конечные значения переменных при мгновенном переходе в установившемся плоском течении.
Одно ограничение все же должно быть добавлено к этим условиям. Течение, наученное в $ 11, которое по крайней мере в пределе дает частный случай такого перехода (именно течение с постоянным о), является необратимь>м: оно всегда направлено от меньших к ббльшим значениям 6 [см. формулы (11АЗ)], а следовательно, и Т или р/ц22). Таким образом, программа, кратко наложенная в предыдущем пункте, может быть сформулирована более точно следующим образом. Мы будем рассматривать картины течений в плоское>пи х,' у, которые удовлетворяют дифферен>4иальнь~м уравнениям теории иде льной жидкости везде, эа исключением некоторых кривых (неизвестной формы); вдоль этих клиний скачкаь танеен>4иальная компонента скорости о остается непрерывной, тогда как р, сятся к смежным точкам, расположенным на противоположных сторонах этой линии (см.
рис. 142), то разность А,— А, должна обращаться в нуль. Последовательно используя для А четыре выражения из уравнений (2), (11), (12) и (13), мы получаем четыре условия [йу,], '= О, [рак+ р — ок]', = О, [оо„д„ вЂ” т]; = О, [чд, ( к»- — ', к )»- д, » — .'> — д„. — 1 —" ,]' -о. ) Для того чтобы сравнить эти условия с уравнениями (За) — (Зг), ыы прежде всего заменим величины д„и д„в точках 1 и 2 на двух сторонах скачка на и„о, и и„о, соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
