Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 83
Текст из файла (страница 83)
установившегося движения величина дН является постоянной вдоль любой линии тока. Эта постоянная равна д' !2 =йЩ2, где д — максимальная скорость, а ц,— скорость звука. Следовательно, максимальная скорость и скорость звука на любой заданной линии тока до скачка и после него являются одними и теми зсее. Кроме того, так как дН=дН„+о»/2, равенство (18) может быть записано следующим образом: Гл. е'. Теория интеерироеания и скачки ж.
Если ввести безразмерные параметры ик чк — Ь3 ик ок ра Ра 2У зле Ч= ра 7+1 1 иа Са 2 1 1 (21) а из соотношения (14.27) (22) Уравнение Гюгонио, определяемое соотношением (14.26), йз (ц т) е ' р ' не изменяется "). При той же самой замене М' на М„ рнс. 76 дает графики изменения 5, М',„, М,'„ в зависимости от ц при ц > 1. 4. Представление скачка в плоскости годографа В начале $ 8 мы видели, что в установившев~ся течении сос'- тояние движущейся частицы в любой момент времеви определяется ее скоростью н.
Предполагалось, что связь между р и о выполняется на ливии тока, вычерчиваемой частицей, и что посто- явная Бернулли (см. п. 2.5) известна. Для плоского течения скорость изображается точкой в плоскости годографа, а непрерывное движение частицы — кривой в этой плоскости. Когда частица проходит через фронт скачка, представляющая ее в плоскости годографа точка (д„, до) совершает мгновен- то точки Р,(ь, ц) и Р,(1)ь, 1/ц) лежат на гиперболе, изображенной на рис.
75, и представляют данный скачок. Числа Маха Мьч и М,„входят в величины наклонов — уМ',„и — уМ,'„ливий АРа л АР, соответственно; зти линии образуют равные углы с прямой ОА. Пять величин ц, ~, с, М',„и М,'„определяются, когда любая из них задана. Это следует из того, что любая нз этих величин фиксирует соответствующие точкиР, и Р, на гиперболе, а после того как эти точки становятся известными, каждая пз пяти величин может быть определена графически с помощью длины или наклона некоторого отрезка. Алгебраические связи между ними даются уравнениями (14.24) — (14.27), в которых М' должно быть каждый раз заменено на М„. Таким образом, в частности получаем из уравнений (14.25) 22.4.
Представление скачка в клсскостли есдсерафл 427 ный скачок. Теперь изучим условия, описывающие этот разрывный переход. При этом (см. рис. 143,б) для характеристики скорости лучше использовать модуль скорости д и угол о (между линией тока и фронтом скачка), а не компоненты скорости и= = д зш о и и = д соз и. Мы предполагаем, что положение скачка заранее неиавестно, но что состояние перед скачком, т.
е. величины р„о„о, и 9, заданы. Теперь, когда величины р„йоп ог известны, условия на скачке (За) — (Зг) можно рассматривать как четыре уравнения 0' "вх Р и с. 144. Оси У и в в плоскости годографа. У=поэзо,+иезшо„ ее = (д, — у) сФд о,. (24) Величины и и о, входящие в эти формулы, могут быть выражены через заданную величину д, и параметр о, с помощью соот- для пяти величин р„йе, д„о„ое.
Так как имеется пять неизвестных и только четыре уравнения, то существует один произвол в решениях. Но каждой группе величин де, о, а, соответствует только один вектор скорости за скачком; его модуль равен д„а направление определяется углом де+о,— ое. Таким образом, концевые точки ударных переходов иг фиксированной исходной точки лежат на некоторой кривой в плоскости годографа. На этой кривой в качестве параметра мы можем взять о,.
Пусть точки е4п в,ее изображают векторы скоростей ц„це в плоскости годографа. Возьмем систему декартовых координат с осями О'У и О'ве, причем ось О'У направим вдоль ОЯ, как показано на рис. 144. Тогда из условия (Зг) вытекает, что линия Дфе перпендикулярна к линии О'Ю, которая изображает направление скачка. Таким образом, координаты точки Де даются формулами Гк. У. Теории интеарироваиик и скачки ношения (20) и равенства о= дгсозо,. Ташм образом, $ г е а о',— а)соз'н, Ьаи, (Да' ) Ьаа завет Первая из формул (24) теперь примет вид У = (УВ с/А) СОЗ От+ УА, (25) где (/А =,е * (/в = УА+ й (1 — Ьа ) . (26) Лед, Из второй формулы (24) мы имеем сибво„=ут/(д,— У)в, а из формулы (25) с4нв о, =сов'о' /(1 — соево ) =((/ — УА) /((/в — У).
Приравнивая зти два выражения для величины с1да о, мы находим, что геометрическим местом точек ~в является декартов лист (27) бн — ~)' нв — н ' Эта кривая изображена на рис. 145,а. Р н с. 145. Декартов лист н его построение. То обстоятельство, что (/А<у, < с/в (или, что точки 4, Д„В расположены в указанном на рисунке порядке), следует немедленно из условий, что скорость д, является'сверхзвуковой нменьшей, чем д . Таким образом, ввиду того что скорость звука д, равна д„,/Ь, мы имеем д„ ')~ дек/Ьв или д,) драк/Ьвд, = УА, из неравенства о,' < д' мы имеем о,'< оа /Ьа+ от(1 — 1/Ьз) или д, <(д'/Ьтд,)+ д, (1 — 1/Ь') = Ув.
Кроме того, с помощью 22.о. Прсдсскосссни* скачка с ккоскости содосрофо 429 формулы (26) легко проверить, что точки А и ~, являются сопряженными относительно звуковой окружности ус+ уз = д' ~йг. Декартов лист симметричен относительно оси У, имеет двойную .точку в точке Д, и двойную асимптоту бс = Ув. Эта диаграмма называется ударной полярой.
Она была введена А. Буземаном"). Формула (27), определяющая ударную поляру, содержит только расстояния, измеряемые от точек А, В и ~ и от линии, соединяющей эти точки. Можно дать геометрическое построение ударной поляры, основанное только на этих трех точках. Пусть С— окружность, построенная на АВ как на диаметре, и пусть Р— произвольная точка на С (рис. 145,б). Тогда с,ст — точка пересечения линии РР, перпендикулярной к АЧ,В, и линии (),Е, перпендикулярной к АР, — лежит на ударной поляре. Когда точка Р вычерчивает окружность С, точка Дг вычерчивает поляру.
Из подобия треугольников ЧсРЦ и АРР получаем Д,Р: с,с,Р = АР: РР, и для окружности С имеем (РР)с = АР.РВ. Поэтому это равенство является по-другому записанной формулой (27). Особый интерес представляют наклон и кривизна каждой ветви ударной поляры в точке ~,. Первые две производные У по У легко вычисляются из формулы (27); на ветви, имеющей отрицательный наклон в точке с,см значения этих производных в дан= — (Ув — Ул)ф (д, — Ул) (бв- д,)с. Соответствующий радиус кривизны, следовательно, равен с' (Ч1 ~А) (Ж — ~А). (28) Из формулы (26) н равенства дтс=-2дН, находим, что наклон ударной поляры определяется величиной — )/М,' — 1 = — оса а„ где а,— угол Маха набегающего потока.
Таким образом, эта ветвь ударной поляры наклонена 'на угол — ( — 90' — а,) относительно вектора скорости с1, и, следовательно, касается в точке (), характеристической эпициклонды Г, проходящей через эту точку (см. п.16.37).
Аналогично другая ветвь ударной поляры в точке ссг касается эпициклоиды Г', проходящей через точку сс,. Далее, направление скачка О'Ю на рис. 144 перпендикулярно прямой ~фгЮ, которая в пределе при Дс — о ~, становится касательной в точке Чм Следовательно, для очень слабых скачков (угад, близко к 1) угол между фронтом скачка и линией тока набегаюи)его потока приближенно равен углу Маха а,гс).
Когда точка с,сг приближается к точке ссг (см. рис. 145,б), линия АР приближается к направлению, нормальному к имеющей отрицательный наклон ветви ударной поляры в точке ~и Более 4ЗО Га. е'. Теория интеерироеания и скачки того, в пределе точка Р совпадает с точкой е,е» и тогда в соответствии с формулой (28) длина отрезка АР будет равна радиусу кривизны Л. Следовательно, центром кривизны И будет точка пересечения линии, проходящей через точку атее параллельно предельному положению прямой АР, и касательной к окружности С в точке А. Таким образом, проекцией Х на О'ее, является точна А, сопряженная точке (~, относительно звуковой окружности.
Из построения, данного в пЛ6.5 для центра кривизны Я соответствующей характеристической эпнциклоиды, может быть показано, что Е обладает тем же свойством. Поэтому Е=Х,иэтидвекривые действитпельно соприкасаются в точке ее,. ДекаРтов лист опРеделаетсЯ только величинами «1е и д . Каждая лежащая на нем точка ~е представляет переход, удовлетворяющий условиям (За) — (Зг). Однако эти уравнения не определяют, какая из двух точек Де и атее представляет состояние перед скачком. Но в предыдущем пункте мы видели, что при физически возможном переходе скорость должна уменьшаться. Таким образом, точка ~е может представлять условия за скачком лишь тогда, когда она лежит на замкнутой петле листа.
В дальнейшем термин ударная пояяра будет относиться только к этой замкнутой петле. Оставшаяся часть листа, лежащая внутри окружности максимальной скорости, представляет те состояния, из которых состояние е,е, может быть получено путем перехода через скачок. 5. Ударная диаграмма и бугор давленая Независимо от своей величины и ориентации в плоскости е„,ао ударная поляра определяется отношением а,/д или з соответствии с формулами (16.10) и (16.11) числом Маха М, набегающего потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
