Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 78
Текст из файла (страница 78)
*Я) Формула (Гй) получается в результате применения теоремы Мкгтаг-Леффлера к функции о ооф (т). Это решение несимметрично относительно осн у. Мы получим симметричное решение, если возьмем Игд+Х, в качестве решения в Л,; можно видеть, что Х,— ьО при д — ь оэ, как и ожидали.
Тогда полное Решение в областЯх Лы Л„Лз, Ло п)едставитсЯ рядами И', + Х„И'„— И', — Մ— И',. (18) ПРодолжешгеы фУикции — Игз в пеувУю область снова бУдет фУнкция И',+Х, показывающая, что функция ф в физической плоскости является однозначной. Путем асимптотических оценок [подобных оценкам (10)) для функции ~оро(т) ~, которые будут различными для дозвуковых и сверхзвуковых значений т, можно установить, что ряд И~, сходится для т ( т„ряд И', сходится для г, ( т (1 — з [з — положительное число, входящее в оценку ~эр„(т)~), а ряд Х сходится для всех т. Такиы образом, мы действительно получили продолжение функции И~, + Х, во всем поле течения, включая сверхзвукову1о область.
Этот пример показывает как основы метода, так и трудности, которые возникают при его применении. Гл. У. твсрил иназезрированин и сказки Из фоРмУлы (19) пРп газ=1,' 5(з (т)е '1 мы полУчаем ( .) — "51 ~~ ЗЗП. СО+551 15 — 511 П и+т ~=о (20) Так каь И(т) = Иш фп(т)е "' согласно равенству (10), мы имеем !П ЗЗСО также СО О р(т)= ~ г е 1 11= ~~~, С е зф (т). (21) =о за=о ОЭ СО с.' (т, 8)=1ш [ '5'.
пс е "'6 зз "" ез +"зс' '111 = Л1 и ЛЛ т+а П О вЂ” о СО О Г %1 зпзо ч\ ксп Оп+и) (5 — 5 — 16) 1 -о сз=о з — е — 16 ОЭ е 1 . ОО =1ш ( ~ г е' 6 [ ~ ( Я пс„~ "и 1)езь [+со'[ . (22) из=о о п=о Начиная отсгода и до конца этого пункта, мы вместо иСО будем писать просто ш. Иэ разложения (20.13) следует, что ОΠ— = р' пспЬ" ' » о в разложение (22) можно записать в следующем виде: — — '6 1 з=! [Х ~[ 1 1451)О [5))= из=о з — з — 56 СО е 1 [2 с„з„п)ссс+О[ ~ 1-5 сз))з 55|). =о (23) Теперь мы можем проверить, что функция з[з удовлетворяет условиям, сформулированным в п.1. Во-первых, когда д †: со, Разложения (20) и,(21) дают искомый результат, а именно продолжение разложению (2) во всю дозвуковую область. Используя формулы (20), разложение (2) можно записать в следующем виде: 401 В1.е. Общее решение два доееуаовой области все г„— и0, за исключением г =1; кроме того, согласно усло- вию (5), Иш е' '1= — = й, О -вса О1 и мы видим, что ряд в правой части равенства (23) приводится ь виду ов — 'в 1 ( ) в в (01) =1 1 Р|.
Таким же образом непосредственно проверяется, что функция, определяемая формулой (23), удовлетворяет уравнению для функции тока. Теперь мы покажем, как такое представление решения определяется для всех дозвуковых т. Из равенства еепв/е1з = ш'(з) = Ь мы заключаем, что з является аналитической функцией в плоскости годографа течения несжимаемой жидкости. Однако это не простая плоскость, а рима нова поверхность В (состоящая из двух листов с точкой ветвления 1", =1 в нашем примере кругового цилиндра), и функция з(~) регулярна на В. Интеграл в выражении (23) можно записать следующим образом: е 1  —  — во в 1 в — в — 19 в 1 — — во 1",'ееКш(Ц) = ~ ~ "— 'Н~=а ~ ~ "вЬ(Г). (24) О В о Если з=зо соответствует ь=0, то У (з)= ~Э "11г *о будет регулярной функцией г в плоскости з вне тела, если мы предположим, ито ееиркуллцил отсутствует.
Так как мы знаем, кроме того, что функция з(ь) регулярна на В, то из этого следует, что функция И (ь) =У 1з(ь)) также регулярна на В. Последний член в равенстве (24).можно записать в следующем виде: 2 (ев 1 'В). При отсутствии циркуляции эта функция будет поэтому однозначной на римановой поверхности В*, которая соответствует поверхности годографа В течения неснимаемой жидкости как геометрическое место точек (т, д), для которых е' '1 ~~ лежит на В. Поверхность В* является поверхностью годографа дозвуковой части течения сжимаемой жидкости, и функция (23) регулярна на В*, если ряд (23) сходится.
26 г. миаво Гя. )в. Теория интегрирования и скачки 402 Теперь мы покажем, что ряд в 1 в — в — (О 1-" в*(1) ) т=с (23') 5. Метод Бергмана Пытаясь развить результаты, полученные Чаплыгиным, которые, являясь искл)очительно удачными во многих отношениях, ничего не давали для определения течения за препятствием, Бергман начал с применения к' этой задаче') некоторой общей математической идеи. Цель заключалась в установлении соответствия между аналитическими функциями комплексного переменного (т. е. решениями задач о течении несжимаемой жидкости) и решениями линейных дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа (таких, как уравнение для в()). Это достигается путем некоторого интегрального представления решения; из этэго представления при помощи теории функций комплексного переменного могут быть выведены свойства решения.
(Б частности, могут быть получены решения уравнений течения сжимаеьшй жидкости, которые являются ыного- ') В действительности имеет место равномерная сходимость. Кровво того, ряд, получающийся после диффереицированив, сходится равномерно н т. д., и мы можем проверить, что ф удовлетворяет уравнению для функции тока. сходится еевде, если течение яеляетел чисто доаеулоеымг). Действительно, если мы проинтегрируем вдоль пути, соединяющего точки ь = 0 и ь = е '1 (О на Л и имеющего в физической плоскости длину в, то, поскольку в любой точке е < о (звуковое значение), будет иметь место следующее неравенство: ~ гьт,ел (гч) ! <~е(а — вв) (т+1) (1) ' С другой стороны, г = С в() (т) е~в, где для больших ж (см.
стр. 398) С„- е-2 "(2пт и (р (т) — )ге™, следовательно, г — е т (в+в — 2а) 1 т 21(т Таким образом, мы видим, что я)-й член рида (23') при доста- ТОЧНО бОЛЬШИХ т СраВНИМ С ЧЛЕНОМ ()Геаа в/2ят) Š— (а — '), И СХОДИ- ность обеспечена *). Итак, для дозвукового течения без циркуляции вадача решена в явном виде интегральным представлением (23). Теперь мы обратимся к изложению метода Бергмана н в конце параграфа укажем связь между методами Бергмана и Лайтхилла. 21.б.
Метод Береееене 403 кости ентп; и Р,. мы ло- Ш- редет при изкак мое тве ре- (25) п=1 26* значиыми и имеют особенности нужного типа. В действитель сти, как мы видели ранее, даже .в течении несжимаемой жидко около круга функция тока не может быть представлена единств ным сходящимся рядом однозначных функций.) Пусть Р,— контур обтекаемого тела в физической плоское обозначим . через ф, (д, В) функцию тока в задаче о течени несжимаемой жидкости, так что ере=О на Р, и Лере=О вне Точно так же, как в методах Чаплыгина и Лайтхилла, хотим связать с ф, функцию ер, которая удовлетворяет в п скости годографа уравнению для сжимаемой жидкости, не ели ком отличается от ф„пока характерное число Маха мало, и п вращается в фо в пределе при о — и со.
Конечно, ф не бу обращаться в йуль на Р;, однако можно предположить и некоторых условиях доказать, что ф = 0 на линии тока Р, бл кои к Ре 'о). Прежде всего мы перепишем уравнение (20.5) так же, и ранее, введя вместо д новое переменное Х, определяе равенством (3'), и получим уравнение (6) с е или Х в качес независимого переменного. Затем мы введем функцию ере, оп делаемую равенством (7) или равенством «ре= пер, а= е', Т= — —, 2а' а где штрихи означают дифференцирование по Х, и получим урав- нение (8), где для политропического течения = — — = щ~~ ме е (16 — 4(З вЂ” 2н) М' — (Зн — 1) Ме). (26) Ввиду того что как Р, так и Х выражаются через М, Р выра- жается через е, ").
Попытаемся проинтегрировать уравнение (8), полагая фа=я,р„В)+ Я С„(Л) я„(), В) (27) (заметим, что это не является разделением переменных) ее). Каждое «„в выражении (27) является еармонической функцией Х и В. Используя символ Ь= де1дке+де/дде и подставляя его, мы при С =1 получаем бег'+Рег = Х (п(С в»)+гС б 1= п=с Ю = ч.', (С„"д„+ 2С„'ф+ С„йя„+ РС„д„) = о=0 ~ (С„"+ РС„) 8„+ 2С„' д ' ) + Убо (28) Гл.
У. 7еория интеерирования и скачки Мы увидим, что уравнение (8) удовлетворяется, если положить — "= — — яя т (и ='1, 2, ...), (29) С„'+» =С„"+УС„(п=О, 1, ...), (29') где до является произвольным и С =1. Правая часть уравнения (28) принимает вид «О Х (д„С„'„— д„,С„) + Уд,. :Зтот ряд равен пределу бяС„,.~в — боС( при и — > со.
Пока зто формальное вычисленйе. Позднее. используя метод мажорант, покажем, что ряд в формуле (27) и его производные сходятся равномерно в некоторой области и что не только б„ф— о О, но также н 4„Си+в — ~ О, когда и — о оэ. Таким образом, правая часть уравнения (28) сводится к выражению — доСв+Гдо=О, так как вследствие уравнения (29') для и = 0 С( = РСо = Р.
Функции С„ определяются уравнениями (29') и добавочными условиями С„( — со) = 0 (п = 1, 2, ...), (2, ") и видно, что последовательность ффф... зависит только от Р(Х). Следовательно, она однозначно определяется для заданной связи между р и 9 и может быть вычислена раз и навсегда и затабулирована. С другой стороны, последовательность д„йм дв, ... зависит от произвольной функции до.
Теперь мы введем комйлексное переменное Е=Л вЂ” в0 (Л=Х+и+1пд ), (30) где и= — 1,17, как было определено равенствами (4) и (5). Так как т = де/д', второе соотношение (5) может быть записано в следующем виде: (81) 1пп (Х+ 1п д ) = 1пд — и, О «о' откуда следует, что при в". = в7е-'з, снова обозначающем комплексную скорость, будет 1(ш 2 = 1п9 — 19= 1п~. (91 ) Переменная Е совпадает с переменной Лайтхилла г — г, — (о и будет использована аналогичным образом 'з). Для фиксированного д функция д„(Х, 0), входящая в ряд (27) н гармоническая в точке (Х, о), будет также гармонической в точке (Л, 6).
Затем мы определим последовательность функций от Я.. и.л. метод Верамаиа 405 а именно 7,(Е), ~,(Я), ..., где 7,(Е) является произвольной аналитической функцией от Я н где /„'= — '/з /„, (п=1, 2, ...), полагая г 1„(Я) = — — 1„, (г) й ( = 1, 2, ...), (32) где подразумевается, что )„(0) =0 для п=1, 2, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
