Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 73
Текст из файла (страница 73)
"Е1, (18) 20.3. Теневое с местной сеерхвоухоеой обхостъю 374 где 1ш обозначает мнимую часть. Составим соответствующий ряд*) для )() 1ш ( ~~~ с о е — епо) (()н (т)) (14) о=о Ряд (14) в своей области сходимости представляет функцию тоха течения сзссимаез(ой зюидкости и при д' — о со сводитсл к рддр (13). Следуя Чаплыгину, мы будем рассматривать дальше ряд (14) как (приближенное) решение той задачи для сжимаемой жидкости, решение которой для несжимаемой жидкости дается фУнкцией шо = (Ро+ сфо.
Однако мы должны иметь в виду, что решение (14) не всегда является корректным решением вадачи о течении сжимаемой жидкости. То обстоятельство, что ряд (14) сводится к ряду (13) при д — +со (и, следовательно, предельное течение несжимаемой жидкости удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и поставленным граничным условиям), не подразумевает, однако, что решение (14) удовлетворяет этим граничным условиям при' конечных значениях () .
Данный метод в случае задачи о струе, для которой он и был создан, не приводит, как мы увидим, к каким-.либо осложнениям. Но если зтот метод применять к другим краевым задачам, то возникают большие трудности. Отметим, наконец, что мы придем к тем же самым решениям ф„(т), если будем пользоваться не уравнением для функции тока ))), а уравнением (17.12) для функции Ф. Тогда мы получим гипергеометрическое уравнение с тем же значением с„=п+1; но с параметрами а„', Ь„вместо а„, Ь„, где а„'+ Ье=п+1/(х — 1), а„'Ь„' = — п(п — 1)/2(х — 1). Таким образом, адесь опять появляются гнпергеометрические функции; но уже с параметрами а„' и Ь„', которые по-нному выражаются через параметры и и хее).
3. Течение с местной сверхзвуковой областью В последующих пунктах этого параграфа мы на нескольких примерах иллюстрируем изложенный выше принцип соответствия течений сжимаемой и несжимаемой жидкости. Мы уже изучили течения для источника и стока. В настоящем рассмотрения они соответству)от значению п= О. Возьмем далее и= — 1*о) и заметим, что в этом случае уравнение (7') удовлетворяется при 7„=-1. Значит, мы получим решение Ф( 1)=А "'' ' с(' О-) "'(( — *) "" ' " ((С) ) С * * Р " 4 * * у мой н несжимаемой жидкости не совпадает с тем, которое было приведено в пд7.6.
**) Случай н= 4 будет рассмотрен на стр. 379. 24е 372 Гл. 7е'. Плоеное установившееся потенциальное течение н, конечно, аналогичное решение, в котором вр выражается через совд, а <р — через я1п8. Изучим теперь подробнее это простое точное решение, принадлежащее Ринглебуее). Оно окажется интересным во многих отношениях..
Применяя теперь д вместо т, рассмотрим для действительного й решение годографа, удовлетворяющее уравнениям (16.31), 7с 7с ер= — вш8, ~р= — соя8, (16) В ВВ причем д~р 7с Г дв — = — — ~1- — ) совд, дВ ВВ' ~ др  — = — — я)п 8 дз Вд — = — — яш8, дсР 7с дд Вв деР — = — соя О, дВ д где для Ы(88)/с(д было использовано равенство (8.5). Согласно формулам (17.25'), нандем дя 7с Г сов26 совая ~ да 7с в!п26 Г дв В ~ де аед / ' дв В В* ду 7с / выл 26 в!п2В 1 ду й сов28 — — ' — — — + —— дд В~, В' 2аеу )' дв = В де и, как зто можно проверить дифференцированием, х=й ~ — + ~ — ~, р= — вя(в26, г вв гв ду Ч В 1.
Взв а ад~ .1 2сдв (17) а, где постоянные интегрирования выбраны в соответствии с усло- виями симметрии. Равенства (16) показывают, что линии тока в плоскости годографа образугот систему окружностей, которые проходят через начало координат и имеют центры на оси д„. Их уравнение будет иметь вид а=Се(пд, . (С>О).. (16') Ограничение С > 0 мы накладываем для того, чтобы избеяеать двойного покрытия физической плоскости.
Это равенство показы- вает, что при С~(д максимальная скорость на каждой линии тока Равна С и достигаетсЯ пРи 8 = 90', а пРн С > От максималь- ная скорость равна д . Если в равенства (17) подставить значе- ние 8 из уравнения (16'), то получится параметрическое пред-' ставление линий тока в плоскости х,у, причем с будет парамет- ром. Такни образом, если интеграл, входящий в первую формулу 117), мы обозначим через ТеаТ(д), то будем иметь х= ( * св)~+йТ(8) Р= СУ1 С* (16) ао.б.
Точеное с местной саерхаеуооаой обаостъю 373 Для сравнения рассмотрим аналогичное течение несжимаемой жидкости, которое можно получить, полагая в предыдущих формулах о = йо и ав = со. Тогда вместо уравнений ('е7) получим следующие уравнения: сов 26 в1н 2В а х=й —,',, р=й —, г= —, 2цст~ 2еот~ 2ест* ' где предполагается теперь, чту й положительно. Этот результат можно записать и так: х = гсов 28, у=ггйп20, откуда для линий тока течения несжимаемой жидкости имеем й г-х=— нли с'оо При различных значениях С линии тока образуют в' 'физической плоскости семейство софокусных парабол, а в плоскости годографа — семейство окружностей (см.
рис. 13$). Линия: тока, Р н с. 131. Линии тона для течения несжимаемой нсядностн окало яр оман. соответствующая С=со, совпадает с участком оси х от'х=О до х = + со, а течение при этом можно рассматривать как течение ололо кромки, представляющей собой этот участок оси х. Чем больше величина С, тем ближе эти параболы к кромке. Скорость имеет 374 Гл.
11с. Плоское установившееся потенциальное течение постоянное значение о на концентрических окружностях с центром в начале координат и радиусами, равными й729 ог. Соответствувощее течение сжимаемой жидкости нельзя рассматривать как течение около кромки, потому что здесь некоторые линии тока будут достигать предельной линии раньше, чем они завершат свой поворот. Чтобы найти эту предельную линию Х, вычислим по формулам (16) якобиан д(ф, ф)/д(д, О) = О, используя равенство (17.27).
Тогда мы получим (Мг — 1)(фэ) — ог( дф ) = —,(Мгсоягд — 1) =О. Таким образом, уравнение предельной линии в плоскости годографа, т. е. уравнение критической кривой, просто будет 1 сояд=+ —; М следовательно, эта линия состоит из двух ветвей. Поскольку мы считаем С ~ О, то мы ограничиваемся рассмотрением решения годографа только в верхней полуплоскости д„>0. Ветвь предельной линии, идущая направо (О <О < 90'), соответствует верхнему знаку в уравнении (18) или 0=90' — а; а ветвь, идущая налево (90'<0 <180'), соответствует ниясвему знаку в уравнении (18) или 0=90'+а. Вычислим далее дф/д$ и дф/дв), которые при а < 90' эквивалентны величинам й, и й„ Мпв8 — н+ яшгО+ — ', =О.
(19) Это выражение представляет собой соотношение между постоянной С для некоторой ливии тока и углом наклона 0 = О, этой — = — — (Мпдййа+сояд), дф д дд дф д — = — — (яш 0 $8 а — соя 0). дч я Очевидно, что на той ветви, где 0=90' — а, будет дф/д$ чь О, дф/дц = О, а на ветви, где 0 = 90'+а, будете/да =О, дф/дв) Ф.О. Следовательно, ветвь, идущая направо, является линией 1в, а ветвь, идущая налево, — линией 1,.
Предельная линия в плоскости годографа касается как звуковой окружности, так и окружности максимальной скорости; для политропического течения она пред- ставляетсобой эллипс (см.нивский рис. 132, построенный для н = =7=1,4). Комбинируя уравнения (18) и (16'), для политропи- ческого течения найдем 1 ав ав и — 1 ав и — 1 соя' 8 77рвдеяьная линия с7 ! всяв олькой П7И Звук окруж Аг О' .47' 77Х Р и с. 132. 'речеиие Рииглеба в фиаическо777 плоскости и в плоскости годографа. 376 Гл.
еу. Плоеное Лстеноеиетеесл иотенциильное течение линии тока в точке, где она встречает предельную линию. Между С и у=а, существует аналогичное соотношение, а именно ое ое —.+ с, =1. (19') Записывая уравнения (16') и (19) для 0, и а, и разрешая их, получим з1п'0~= + ~ 4 3/ (к+1)' — —,' ° (19") а, = Сз1п0„ Эта предельная линия симметрична относительно оси х.
Она состоит из двух ветвей: ветвь Яе в верхней полуплоскости соответствует правой ветви )и в плоскости годографа, а ветвь Я, в нижней полуплоскости соответствует левой ветви 1,. Каждая ветвь имеет точку возврата и простирается до бесконечности. Верхняя ветвь Хи идет от точкй А до точки возврата /) и далее до бесконечности; нижняя ветвь Я, симметрична верхней ветви относительно оси х. При М-и со имеем соз 0-и О, а — э О; зто соответствует х — э со, у-и си; здесь Ь,=Ье=О. Точка А линии Х на оси х представляет собой звуковуео точку (М= 1); ее изображением являются две различные точки годографа А, и А,'.
Очевидно, что как в А;, так и в А,' будет фи — — О, $ Ф О (см. й.19.5). Точка А в физической плоскости является не двойной предельной Следовательно, линия тока, соответствующая С, достигает Я только при ((к+1)/4]иСи>ае, т. е. для к=1,4 при С>е/и а,=1,67а,. Значит, особенности предельного типа встречаются только на тех линиях тока, для которых С> /а,.
(20) Наименьшему из этих значений С = '/, а, соответствует з(пе0,=(к+1)/4еи /„Щ=4/(3 — к)=2,5, М,=1,58, 0,= = (2/ 1/х+ 1) а, = 1,29а,. Максимальное значение М' на этой линии тока бУдет Равно М,'„ие. = 16/(3 — к)' = ио/е1 Миаис. = М) = 2~5 Уравнение (19") показывает, что те ливии тока, для которых в формуле (20) надо брать знак неравенства, встречают предельную линию в физической плоскости в четырех действительных точках, расположенных попарно симметрично относительно оси симметрии а. Общая теория (см.
пЛ9.3) или непосредственное вычисление показывают, .что в этих точках линии тока имеют точки возврата (см. верхний рис. 132). Заменив в уравнениях (17) величину 0 по формуле (18), найдем следующее параметрическое уравнение предельной линии в плоскости х, у: х= —,, +/сТ, (18') 20.3. Теоеннс с местной ссеатадноооа обоостьи 377 точкой, а звуковой точкой на линиях Яа и Ям которые обе (исключительный случай) проходят через одну и ту же точку.
А. Эта точка является также звуковой точкой на прямой линии тока. Направление линии тока в точке А совпадает с направлением линии постоянного значения О. Мы видели, что предельная линия, вообще говоря, имеет точки возврата (пА9.3), которые играют важную роль. Теперь определим нх для нашей частной задачи. Вычисляя по формулам (18') с1х(с(д и сьу/Ыд и приравнивая обе эти производные нулю, получаем сга 2а а да =2аа-ад —, д = =1,6а, соэ о = ~ — = ~0,63, 2 )е~ — к ™ Ч что соответствует точкам В' и Ю' на рис. 132. Рассмотрим далее кривые постоянного модуля скорости. Формулы (17) показывают, что эти кривые, как и в случае несжимаемой жидкости, являются окружностями, но уже не концентрическими, а с центрами на оси х.
Таким образом, звуковая линия, в частности, представляет собой в физической плоскости окружность. Для окружности со скоростью д абсцисса центра будет )с (Т+1((2йс7о)); а радиус (как и в случае несжимаемой жидкости пРи й=цо) Равен )с/2йдо; пРи у=д центР такой окРУжности удаляется в бесконечность. Из сказанного видно, что в этом примере существуют линии тока трех видов. а. Линии тока, на которых скорость всюду дозвуковая и которые име1от сходство с линиями тона течения несжимаемой жидкости около кромки. К такому типу относится линия тока 1 на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
