Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Тогда первое из уравнений (15) будет в точности совладать с уравнением (За). Далее, в силу предполо- Линия жения, что на каждой стороне скачка жидкость ведет себя как идеальная I жидкость, вязкие напряжения а„', е и тепловой поток к(дТ(дх) должны абра- о щаться в нуль на обеих сторонах скачка. Таким образом, второе из уравнений (15) сразу дает условие (Зб), тогда как третье дает ио — ио =т о — о =О.
422 Гя. е'. Теория иятеерироеания и скачки р и нормальная компонента схорости и претерпевают разрывы, которые удовлетворяют трем условиям (За) — (Зв) и неравенству Ре Ре че че где для любой частицы состояние 1 предшествует состоянию 2 'з). Будет неточным именовать эти картины течений «разрывными решенияв«и уравнений течения идеальной жидкости» (см. п.15.2).
Скорее их ыожно назвать асимптотическими решениями уравнений течения вязкой жидкости. (16) 3. Исследование условий на скачке Условия на скачке состоят из четырех уравнений (За) — (Зг) и неравенства (16). Основными особенностями этих условий является то, что тангенциальные компоненты снорости о„ о, входят только в уравнение (Зг) и что нормальные компоненты скорости и, и„ давления р„ р, и плотности ды р удовлетворяют точно таки»« же уравнениям, что и относительнйе скорости и,', и,', давления ры рз и плотности ры О» в случае неустановившегося одномерного течения (с»ы уравнения (14.2)). Кроме того, неравенства (14.9) и (16) совпадают..Таким образом, каждому результату, который является следствием уравнений (14.2) и неравенства (14.9), соответствует в данном случае некоторый результат, получающийся из первого путем замены и,', и,' на и„и,.
Это замечание избавляет нас от излишней работы, так как результаты, соответствующие тем, которые были получены в п.14.3 и 14.4, могут быть выписаны немедленно. Для атой цели удобно ввести числа Маха М,„и М,„, соответствующие нормальным скоростям и, и и;, этк числа Маха связаны с М» и М» формулами М,„=М,зша„М „=М,зшою где о, и о,— углы (заключенные между 0' и 180'), под которыми линия скачка наклонена к направлению потока для состояний 1 и 2 соответственно (см. рис. 143,а). Они заменяют числа М,', М,' в формулах, приведенных в п.14.3 и 14.4. а. Рассмотрим сначала некоторые предельные случаи, в которых удовлетворяются условия на скачке (За) — (Зг). Если и,=и«=0, то т = 0 и условие (Зб) дает р, =р,.
В этом случае третье условие (Зв) выполняется для произвольного значения плотности 9, = о». Ни одна частица не пересекает линию разрыва и, следовательно, этот случай обычно не включается в понятие скачка. Другим предельным случаем является случай и, = и, ~ О.
Снова из условия (Зб) получается, что р, р„ тогда как третье условие приводит к равенству р, = о». Из четвертого условия (Зг) следует, что действительного разрыва нет, и этот случай будет назы- 22.8. Исследование условий иа скачке ваться случаем нулевого скачка. Тот же самый вывод получается, если мы знаем только, что р,=рз или что й»=йз при условии, что частицы действительно пересекают линию скачка. б. Физически возможным скачком (т. е. резким переходом, описываемым теорией вязкой жидкости) всегда являетсл »скачок сжатия»; давление, плотность и температура увеличиваются, тогда как нормальная колтонента скорости уменьшается, а тонгенииальная компонента остается неизменной. Заметим, что из этого вытекает, что скорость д уменьшается п что линия тока, проходя через скачок, отклоняется к линии скачка (рпс.
143). ия ко и= ния яо Р в с. 143. Отклоиеиие линии тока прв переходе через ливию скачка. а — углы а1 и ат', б — иоииоиеиты скорости. в. Числа Маха М,п и М,„, соответствующие нормальным к скачку скоростям, выражаются через отношение давленийр,/р, формулами; аналогичными формулам (14 13), а именно М*= — — + —, М = — — + —. т+~р* у — ~ у+т р гп 2у рт 2у ' еп 2у рз 2у В предыдущем пункте мы приписывали состоянию перед скачком индекс 1, а состоянию после скачка индекс 2. Следовательно, р /р,~(1, так что М',п не может быть меньше единицы и М,'„ ке может быть больше единицы. Только в случае нулевого скачка каждое иэ этих чисел может быть равно единице.
Кроме того, имеют место неравенства, аналогичные неравенствам (14.14), а именно Для физически возможного скачка компонента скорости, норлеальная к фронту скачка, является сверхзвуковой перед скачком и дозвуковой после него. Отношение плотностей й (й, не л»ожет превышать Ьи (равного 6 длл воздуха), а квадрат числа Маха, соответствуют»»его нормальной скорости после скачка, не Гл. й'. Теория интойрнровония и скачки лсожепс бить меныие (у — 1)/2у(='/,); гти Вкстремальные значения соответствуют бесконечному отношению давлений р,/р, = = оо. Заметим, что, так как д> и, число Маха Мй не может быть меньше 1, а М вЂ” меньше Ус(у — 1)/2у.
Кроме того, так как иэ уравнения (9) следует, что ай>а„мы имеем М'=М' +ой/а' ( й л 2 й В В 11 й йя й <Мй„, о /а,=М„. Таким образом, скорость дй будет сверхзвуковой, тогда как скорость дй может быть либо дозвуковой, либо сверхзвуковой, причем ~( М, < М, < оо. 2у Скорость и, является сверхзвуковой, поэтому Мпа,=ай/дй> >ай/уй =вши,.
Аналогично,'ввиду того что скорость и, является дозвуковой, мы имеем зшой<з(паз всюду, где М,>1. Следовательно, острий угол между линией тока,и скачком не меньше, чем угол Маха а перед скатом, и при Мй>1 не больше, чем угол Маха а, ва скачком. Кроме того, поскольку М'зшйай= й В й й =Мш>(у — 1)/2у, угол перед скачком никогда не меньше, чем агсзш)/2у/М )/у — 1. г. Пересекая линию скачка, частица жидкости испытывает увеличение энтропии (а следовательно, и величины р/оч), причем степень этого увеличения зависит от значений р и р до ударного перехода и после него. С другой стороны, теория установившегося 'плоского течения, развитая в 1 16 — 21 в применении к совершенной жидкости, основывается на предположениях, что связь р/йт=сопзФ выполняется всюду в жидкости и что течение является безвихревым.
Иначе говоря, результаты, полученные в шести предыдущих параграфах, могут не выполнлтьел в плоскости х, у в области, расположенной га линией скачка. Случай, когда все частицы подвергаются одному и тому же изменению энтропии, является исключением. В этом случае течение за скачком снова будет изэнтропическим и, как мы увидим в п.24.1, безвихревым. Однако можно вспомнить (см. п.14.3), что изменение энтропии является в большинстве случаев малым. Действительно, оно является малой третьего порядка относительно (з — 1), 5=йй/О„ так что для скачков небольшой интенсивности предположение о постоянстве р/от будет неплохим приближением. Поэтому выводы, полученные в $ 16 — 21, являются приближенно верными для течений за слабыми скачками").
д. Условия на скачке (За) — (Зв) являются тремя связямп междУ двУмЯ гРУппами пеРеменных им Р„йй и ий, Р„й . Оставшееся условие (Зг) утверждает, что тангенциальные компоненты скорости о„о, должны быть равны. Каждое из четырех условий не изменяется, когда индексы 1 и 2 меняются местами. Из'первых трех соотношений переменные и„р, ой могут быть выражены через и„р„о„таким образом, мы приходим к соотношениям, 22.З.
Исследование условий но скачко аналогичным соотношениям (14.20), а именно и,= + [2уР +(у — 1)и ~, 1 р,= [ — (у — '1)р,+2ти,], ) (у+1) т» вур,+(у — ») тис ' (17) е. Если величина Н„является суммой скоростного напора, соответствующего нормальной колшоненте и, и напора давления, т. е. если дН„=(и»/2)+ур/(у — 1) о, то (18) Согласно условию (Зг), отсюда вытекает, что Н,=Ню (19) и,и,= — »(о,„— е») =д„— —,, (20) Если скачок является прямым, т. е. если с=0 и о,=о»=90', то это соотношение сведется к равенству В этом случае скорость звука на линии тока является средним геометрическим скоростей частицы до скачка и после него' »). Так как д,>д», отсюда следует, что для прямого скачка скорость д» всегда будет сверхзвуковой, а д — дозвуковой. Этот вывод охватывается также первым результатом, полученным в подпункте (в), так как нормальная компонента скорости теперь является самой скоростью.
где Н вЂ” вполный напор», который входит в уравнение Бернулли. Таким образом, мы видим, что полный напор в частице не изменяется при переходе через линию скачка. Этот вывод может быть получен прямо из соотношения (Зв'). Мы предположили (п.2), что течение по обе стороны от скачка является адиабатическим, а нам известно (см. п.2.5), что для такого.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
