Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Сравнение отклонений, вызванных скачками и простыми волнами Прежде всего получим результат; касающийся подобия пе9еходов через скачки и простые волны, который полезен при численном решении задач, связанных с этими явлениями. Рассмотрим сжатие в простой волне, в которой набегающий поток с числом М, = 2 отклоняется на 10'. Для состояния 2 после отклонений находим (см. п.18ч2):ре/р,=1,7052, 9е/9,=1,4640 и Ма=1;6514; Эти значения почти совпадают с результатами, приведеннуми в конце предыдущего параграфа для отклонения в слабом скачке.
Это можно понять из следующих рассуждений. Мы хотим сравнить переход через фронт слабого скачка из фиксированного состояния 1 к 'переменному состоянию 2 с переходом через простую волну. Для каждого из этих переходов,мы можем рассматривать состояние 2 как функцию переменного отклонения 6 = 0е — 0,. Для этих двух типов переходов найдены три аналогичных свойства. ' а. Величина р/йу'при переходе через скачдк остается постоянной с точностью до членов второго порядка относительно изменения плотности 9, — 9 .
Она остается точно постоянной' при переходе через простую волну. : б. При,фиксированном состоянии 1 между величинами р„йе и ое для обоих процессов выполняется одно и то же соотношение (22:Зв'). в: Если слабый скачок,' для которого Ь < О, сравнивается с бегущей вперед волной, а слабый скачок, длякотоэого б > О,— с бегущей назад волной, 'то в каждом случае коэффициенты первых двух членов в разложении ое — о, по степеням 0 — 0, будут одни и те же для обоих процессов. Первое свойство обсуждалось в п.14.3 и упоминалось снова з п.22.3; второе следует из того обстоятельства, что соотноеие'- ние (22.3в') является и условием на скачке и уравнением Бернулли для простой волны.
Третье является переформулировкой полученного в п.22.4 свойства касания ударной поляры и двух эпициклоид, проходящих через ее вершину. Из свойств (а) и (б) следует, что свойство разложения .(в) выполнЯетсЯ также длЯ Р вЂ” Р, и 9е — о,. Более того, если Г (р, 9, о, 6) является произвольной функцией переменных состояния р, 9, д и О, которая разлагается .в' ряд Тейлора в точке р„й„д,, 6„то это же свойство разложения выполняется.
для Ке — Г,. Таким образом, если, например, имеет место переход ° в"я. в'. Теория иитеерироваиия и скачки через слабый скачок, для которого б < О, или через бегущую вперед волну, мы можем написать разложение Р,— Р,=Р;(0,— 0,)+ —,' Р,"(0,— В,) +0(0, В,), (() отличающееся для этих двух процессов только членами порядка 0(0,— 0,)з. Здесь Р' и Р" — первая и вторая производные от Р по 6 вдоль характеристики Г', таким образом, ар дР ае дР ад дР дР Р'=- - — + — + — — + —, авар деав ае ад ав' где производные ввр/ввв, ИВ/ссе и с(д/в(0 означают скорость измене- ния давления, плотности и скорости при изменении полярного угла вдоль характеристики Г' в плоскости годографа.
Следова- тельно, 0 Вбп ( 00 ( ар + * ав ) + а ] + В ' (2) дР 1 дР дР дР так как, согласно уравнению Бернулли, сер = — 08 ввд, а с(д = = д Вй а вв8 на характеристике Г'. Аналогично, если имеет место переход через слабый скачок, для которого б > О, или через бегущую назад волну, то Р~ — Р ='Р~(В,— 8~)+ — "Р,(0 — О,) +0(0 — 8,)з, . (3) где теперь дифференцирование производится вдоль характеристики Г, т. е. 'Р=чебп ] ЕВ(а + а ) ае ]+ ае (4) Функция Р может, конечно, содержать р„0„0, и Вв в качестве параметров. Из формул (2) и (4) следует также, что если Р (как функция р, о. о и 6) является четной функцией относительно 0 — 6„ то 'Р, = — Р,' и "Р, = Р,"; этот результат является следствием симметрии в плоскости годографа пары характеристик Г, проходящих через конец вектора и„ так как это обеспечивает такое же изменение функции Р с изменением 0 — О, на характеристике Г', как и с изменением О, — 0 на характеристике Г .
Рассмотрим, например, компоненту скорости после перехода в направлении начальной скорости и,; в п.22.3 эта компонента была обозначена через Г/. Тогда Р'= У = д соз(8 в Вв) является четной функцией отклонения 0 — 0 . Применяя дифференцирование по формуле (2) к этой функцйи, получаем Р' = д (Сд а соэ ( — О,) — з1п (8 — 8,)], Р"=2двда ] (1 — ~+, )Сйа соз(8 — 0) — гйп(0 — О)] рл.т. оравнвнив отклонений, вывванныз скачками и простыми волнами 445 Полагая в этих выражениях 0 = Вд и подставляя результаты в разложение (1), получаем ~' = й (8 — 8,)-(- Ь (О, — 8,)' + () ( — В )', Яз где 1 й=$яа,= 'в' М) — 1 / 1 у (-1 ) з (3 — у) М1 — ВМз-(-4 з(азха ./ ~ з 4(М) — 1)з Эта формула применяется при переходе через скачок, для которого 6 ( О, или через бегущую вперед волну. Для другого случая отличие заключается только в замене й на — а.
Предположим, что теперь мы ограничимся рассмотрением волн, бегущих вперед, и скачков, для которых отклонение отрицательно. Будем обозначать конечное состояние индексом 2,1 при переходе через скачок и индексом 2,2 прк переходе через простую волну. Разложение (1) определяет Рьз как функцию О, вдоль характеристики Г', проходящей через точку (8„0,). Так как эта характеристика является также характеристикой Г', проходящей через точку (дзл, Оз,з), мы можем дифференцировать разложение (1), что дает Р;,=Р;+Р„"(8,-0,)+О(В,— В,)з, Рз =Р" +О(8 — О,).
(5) Но производные Рз ы Рз ~ отличаются от Рз з, Рз,з членами порядка 0(0,— О,)', так как Р' и Р" являются функциями переменных состояния (см. формулу (2)), а состояния 2,1 и 2,2 отличаются на величины этого порядка. Следовательно,' формулы (5) будут верны также для Рз з и Рз,1. Если далее в течении происходит второй переход к третьему состоянию 3, то мы имеем Р, — Р, = Р,'(В, — В,) + †', Р„(0, — В,) + О (В, — 8,)', (б) если первый переход является скачком, то Рз=Рз,1 Рз=Рз,1 а если простой волной, то Рз =Рз з, Рз= Рз з. Б любом случае Р;=Р,'+Р,"(В,— 0,)+О(0,— В,)з, (7) Из формул (1), (6) и (7) получаем Рз Рз =(Рз Р )+(Р— Рд) = — Р (Оз Оз)+ Р (Оз Оз) +0(Вз Оз Вз Вз) .
Гл. г'. Теория июнегри ввкник и скачки- Ясно, что такое же рассуждение можно провести для любого числа переходов. Если некоторое фиксированное начальное состояние 1 связано с переменным конечным состоянием 2 рядом переходов, каждый из которых является либо слабым скачком с стриг)ательным отклонением, либо бегущей вперед волной, то для любой функдии Р(р, о, о, 0) з') имеет место соотношение Р,-Р,=Р;(0,— 0„)+ —,' Р,"(0,— 0,)~+О(й~), где Ь вЂ” наибольшее (по абсолютной величине) отклонение, вызванное переходалш, а штрих означает дифференцирование по форлсуле (2).
Если каждый из переходов является либо слабым скачком с положительным отклонением, либо бегущеи назад волной, то в формуле (8) надо заменить Р'„Р," на 'Рп "Р, соответственно, а штрих будет означать дифференоирование по формуле (4). Кроме того, если Р является четной функггией 0 — 0„ то р,'= — 'р, и, р,"="р,.
' 2. Сверхзвуковое течение около профили о прямолинейными стенками. Рассмотрим теперь предельный случай задачи, обсуждавшейся в и. 22.1. Во-первых, возьмеы в качестве начала координат точку А, а точку, В удаЛим в бесконечность. Таким образом, мы предполагаем, что жидкость течет горизонтально через положительную часть оси У с постоЯнным давлением Р„ плотностью йг и постоаниой сверхзвуковой скоростью ов. Эти граничные условия, а именно а=ив, о=ос) ав, 0=.0 при х=О для всех у) О реализуются, если система координат движется со скоростью о в отрицательном направлении оси х в жидкости, находящейся в состоянии покоя.
Во-вторых, мы.рассмотрим стенку, часть которой до точки В длиной 1 отклонена вверх на угол 6„ а далее идет горизонтально (см. рис. 154). Такая стенка вносит дополнительные граничные условия 0 = 6, ) О 'прп у = х гд 6, для О < х < 1соз 6„ 0=0 - при у=1з(п6, для х)1соз6,. (9) Эта схема представляет собой предельный случай стенок, которые имеют малую кривизну везде, за исключением окрестности двух точек А и 1), где кривизна становится очень большой; такие стенки были рассмотрены в п.22з1. Граничные условия на прямой х=О определяют единственное непрерывное течение, лежащее выше линии АС, которая 28.2.
Течение около профиля с прлмолинеаными стенками 447 наклонена на угол ао = агс з1п (а (до) к горизонтали. Данное течение представлено йа рис. 154 рядом горизонтальных линий тока, а этот рисунок сделан в предположении, что 6, больше, чем угол Маха аь. В этом случае 'очевидно, что зто непрерывное У течение несовместимо с граничными условиями на А)л, 'поэтому должно быть найдено такое течение, которое включает скачок. Как было показано в п.22.7, при условии, что 6, меньше некоторого максимального значения А Х (зависящего от М,), имеются два возможных положения для пря- прн которых не существует не-. молинейного скачка АЮ (рис.
155), прерывного течения. который резко отклоняет набегающий поток в направлении 9 = бс. Здесь мы ие будем рассматривать скачки с(дозвуковым течением за ними Таким образом, наше обсуждение будет ограничено У Окрооееность а О Р Ре Р Ь Р н с. 155. Сверхзвуковое течение около профиля с прямолннейнымв стевкамн.
значениями бс(баь, и, более того, случаем слабого скачка для таких значений а'). Точка Р с полярными координатами д = ро и 0 = О в плоскости годографа (рис. 155) соответствует целой области в физической Гл. г'. Теории интегрироеанил и екачки плоскости, в которой д и 0 остаются постоянными. Конечная точка ударного перехода Р, лежит на звуковой окружности или вне ее на верхней половине ударной поляры с вершиной в точке Р„ и ее полярный угол равен 0, = 6 . Прямолинейный ударный фронт АЯ в физической плоскости перпендикулярен прямой ЄЄ и частицы жидкости после прохождения через него двигаются параллельно стенке АР.
Отклоненные линии тока можно отклонить второй раз на равную величину в противоположном направлении с помощью простой волны с центром в точке Р (см. п.18.3). Возможны дзе такие волны: волна, бегущая вперед, и волна, бегущая назад, которые соответствуют отрезкам Р,Р,* и Р,Р, характеристик Г' и Г, соединяющим точку Р, с осью д„. Однако ясно, что если точка Р, лежит слишком близко к точке пересечения Т поляры со звуковой окружностью (т.
е. если 6 слишком близко к 6„), то характеристика Г', проходящая через точку Р„, не дойдет до оси дк, и точка Р, "не будет существовать. С другой стороны, характеристика Г, проходящая через точку Р„всегда пересекает ось 0„. Легко показать, что это условие выполняется для любой звуковой или сверхзвуковой точки на верхней половине окружности предельной поляры Л, соответствующей до — из . Следовательно, оно выполняется для любой звуковой или сверхзвуковой точки, лежащей выше оси д„и внутри Л. Поэтому мы выбираем дугу Р,Р, характеристики Г, соответствующей бегущей назад волне. Йа первом из рис. 155 показана центрированная волна разрежения, заключенная между характеристикой 1Ю (перпендикулярной к касательной в точке Р,) и характеристикой РИ~ (перпендикулярной к касательной в точке Р ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
