Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 90
Текст из файла (страница 90)
соответственно. При надлежащих условиях мы можем найти удовлетворяю- щуго всем нашим требованиям картину течения для х ) х„пред- полагая, что вдоль соответствующих линий СР и СЕ, проходя- щих через точку С, образуются два новых ударных фронта (отра- женные скачки). Состояния частиц после прохождения через эти вторые ударные фронты будут изображаться точками 3 и 4; точ- ка 3 лежит на ударной поляре с вершиной в точке 1 (линия 1-3 перпендикулярна к СР), а точка 4 — па ударной поляре с вер- шиной в точке 2 (линия 2-4 перпендикулярна к СЕ). Две точки, 3 н 4, должны удовлетворять таким же двум условиям, как в п.3, и снова разделяющая линия тока СГ, проходящая через точку С, в общем случае будет контактным разрывом. В принципе легко найти значения величин о, 8, р, 0 за вто- рыми скачками, когда состояния 1 и 2 заданы.
Мы просто при- меним соотношения (22.21) и (22.32) к переходу череа СР и СЕ. Используя р и 0 для обозначения окончательных величин дав- ления и наклона линии тока, получаем (сч,а+й) т, 8=0 + агс16 (26) +4)(.1+ 1 для перехода через СР и (с'т1+ег) ха 0=0 +агс16 Г 27Ма а1 (у+ В (т'+ 4) 486 Гл. У. Теории интеерироеанил и скачки пение для р. Как только р определено, второе из равенств (26) дает т„ а второе из равенств (27) дает т; тогда первое равенство в каждой системе будет давать общий наклон линий тока 8 между СЮ и СЬ'. Кроме того, из уравнения (22.23) могут быть опРеделены отношении плотностей Ое/О, и 8,/Ое пРи пеРеходе через два отраженных скачка, так как известны соответствуеощие отношения давлений р/р, и р/р .
Следовательно„могут быть вычислены две плотности ое и Ое, ниже линии контактного Разрыва СР и выше этой линии. Наконец, числа Маха на каждой стороне этой линии могут быть найдены из соотношения (22.22). Практически общие значения величин 8 и р в формулах (26) и (27) отыскиваются таким же образом, как в примере, рассмотренном в п.3. Первое приближение для О, которое является точным, когда все четыре скачка очень слабые, получается путем использования результатов, полученных в п.1. Таким образом, хотя теорема, сформулированная в конце-того пункта, здесь неприменима (рассматриваются переходы разных видов), мы можем приспособить ее и для данного примера. Мы замечаем, что если Р явно не зависит от О, то от О не зависят и 'Р и Р', эти две производные отличаются только знаком, 'Р= — Р' [см.
выражения (2) и (4)). Рассмотрим течение ниже точки С. Тогда для перехода с положительным отклонением при переходе через скачок С.4 в соответствии с разложением (3) мы имеем Р,— Р„= — Р;О,+ —,' Р,"0;+О(О;), (28) а для второго перехода с отрицательным отклонением при переходе через скачок СР разложение (1) дает Р,— Р, =Р;(Π— 0,)+ —,' Р,"(Π— 0,)е+ О(0 — 0„)е. Теперь в разложении (28) мы можем заменить Р один раз па Р', а другой раз на Р" и получить Р;=Р; — Р,"О,+О(О;), Р;=Р,"+О(0,). Подставляя зти выражения в разложение (29) и складывая результат с разложением (28), находим Р, — Р, = Р,' (9 — 20,) + — Р; (8 — 20,)'+ О (Π— Оп 0,)' (30) и аналогично Р— Р, = — Р; (Π— 20,) + — Р, "(Π— 20,)е+ О (Π— 0„9,)е.
(31) ед.в. Пересечение дева скачков В частности, мы можем взять Р=р. Тогда, приравнивая правые части разложений (30) и (31), мы вццям, что для того, чтобы давление было одним и тем же выше линии контактного разрыва Сг и ниже ее, наклон этой линии должен удовлетворять равен„у  — 2Е,= (Е 2Е,) илн в=е,+в, с точностью до членов второго порядка относительно 9, и 0 . Этот результат можно сформулировать также следующим образом: отклонения, вызванные, диагонально противоположными скачками, приблигесенно равны. В качестве примера возьмем М,= 3, 0,=20' и О,= — 10' при у='(в. Тогда обычным способом для слабых скачков СА и СВ мы найдем: М, = 1,9941, р,(ро = 3,7713 и Мв — — 2,5050, ре(ро = =2,0545. При первом приближении 9=10' мы получим при переходе через СР р/р, = 1,7050 и при переходе через СЕ р(рв = 3,2158. Таким образом, р ( 6,4301 при переходе через СР, В = 10', ечв ~ 6,6069 при переходе через СЕ.
Это показывает, что точное значение 0 должно быть несколько меньше. Поэтому мы попробуем взять р ( 6,5400 при переходе через СР, ° о ~ 6,4946 при переходе через СЕ. Линейной интерполяцией мы получим второе приближение 0=9'44', что дает значение р(р,=6,52, верное с точностью до двух десятичных знаков при переходе как через СР, так и через СЕ. СоответствУющие отношениЯ плотностей бУдУт ев(94 =* 3,56 и ов(0 =3,61, так что 0' = 1,016, ев что мало отличается от единицы. Аналогично этому очень мало различие между М,=1,63 и Мв — — 1,66, так что разрыв незначителен, даже если мы исходим из больших отклонений О, и О,.
Эти величины были использованы при построении, рис. 163; очевидно равномерное распределение линий тока в области РСЕ иллюстрирует слабость разрыва СР. Наконец, мы должны рассмотреть условия, при которых данное решение обосновано. Кслн два скачка АС и ВС имеют одинаковую интенсивность и, следовательно, равные, но противоположные наклоны, то решение будет симметричным относительно горизонтальной линии, проходящей через точку С.
Эта разделяющая линия тока может быть заменена неподвижной стенкой, и тогда мы получаем задачу о косом отражении, рассмотренную ЗОе 468 Гл. Е. Теорие интеврированик и скачки в предыдущем пункте. Таким образом, в этом случае достаточно, чтобы интенсивность и скачка АС и его наклон к горизон1вали во определяли точку на рис. 161, лежащую на кривой или ниже ее.. Мы видели, что когда точка лежит ниже кривой, имеются две возможные картины течения. Теперь рассмотрим случай скачков различной интенсивности. Значения их интенсивности и соответствующие наклоны определяют две различные точки на рис.
161. Довод о непрерывности, подобный данному в п.3, показывает, что если одна из этих точек лелснт ниже кривой, а вторая находится достаточно близко к первой, то спова имеются два решения данного вида. Это можно увидеть нз рассмотрения кривых в плоскости О, р, определяемых соотношениями (26) н (27) при переменных т, и т, (см. кривую р=рв на рис. 157). Тот же самый рисунок показывает, что всякий раз, когда имеется одна такая картина течения, имеетсн, вообще говоря, н вторая.
Одна из них соответствует паре сильных отраженных скачков, а другая — паре слабых отраженных скачков. К последней применима аппроксимация (32). В частности, мы можем всегда получить зти картины течения для достаточно слабых скачков АС и ВС. Это указывает на некоторые условия, при которых наше решение имеет смысл. О другой стороны, оно определенно не имеет смысла в том случае, когда какой-либо из скачков АС н ВС является сильным скачком, о чем можно судить по величине вызываемого этим скачком отклонения. Течение за сильным скачком всегда будет дозвуковым (см.
п.22.7), тогда как течения перед отраженными скачками должны быть сверхзвуковыми. 1 24. НЕИЗЭНТРОНИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ 1. Адиабатическое течение невязкой жидкости Во всех примерах, которые рассматривались в предыдущем параграфе, решения могли быть представлены с помощью областей однородного течения или простых волн, отделенных одна от другой прямолинейными скачками или прямолинейными характеристиками.
Ясно, что задачи с более общими граничными условиями не могут быть решены таким путем. Так„в примере, обсуждавшемся в п.23.2, решение было получено только в ограниченной области. Состояние жидкости на границе этой области определяет систему граничных условий, накладываемых на внешнее течение, для осуществления которого, как мы предсказывали, потребуется криволинейный скачок.
В этом пункте мы будем исследовать характер течения невязкой жидкости за криволинейным скачком. В 6 16 — 21 была развита теория плоского установившегося течения невязкой жидкости в предположении, что это течение 24.1. Адиабатичеокое течение неекеков кеидкоети 469 является баротропным и безвихревым. Оба зти предположения реализуются, когда движение. является изэнтропическим и функция Бернулли Н постоянна во всем потоке. Так будет в случае адиабатического течения за прямолинейным скачком, когда набегающий поток является однородным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
