Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Так как, согласно равенству (22.19), полный напор Н для всех частиц за скачком оказывается одним и тем же н так как аначения р, и до во всех точках скачка будут одинаковыми [см. формулы (22 17)), то и энтропия также будет одной и той же.
Однако в случае криволинейного скачка течение за ним' не будет изэнтропнческим, так как значения р, и йк зависят для каждой частицы от наклона линии скачка в точке, где частица совершает переход (см. формулы (22.17)). С другой стороны, полный напор все еще остается постоянным за скачком, но больше нет общей свяаи между р и 9 после скачка, так как разные частицы имеют различные значения энтропии. Условие адиабатичиости течения в области за скачком приводит, как мы видели в п.1.5, только к условию ~=0, (1) где Я вЂ” энтропия или любая заданная фуннцня энтропии — является известной функцией от Р и 9.
Для изучения течения невязкой жидкости за скачком или леобого течения невязкой ' жидкости, для которого р является заданной функцией 9 только для каждой частицы, мы должны прежде всего вывести уравнение, заменяющее уравнение (6.17). Последнее было получено из уравнения Ньютона (1.1) путем введения обозначения Р для (отайр)19 и использования некоторых векторных тождеств. Это может быть сделано только для баротропного течения, и поэтому мы поищем другой путь преобразования величины (дгайр)19. В соответствии с равенствами (2.11) и (2.23), которые связывают три функции 1(РМ) Н(РЯ) и Ю(р,й), мы имеем йу=й(1 — ~ йо+ — Р=ТйЯ+ —.
9' 9 9 Поэтому для реальных изменений, происходящих в потоке, — ягай р = ягай 1 — Т ягай Я, 1 е что дает нужное преобрааование. Б уравнении (6.17) слагаемое ягай Р теперь должно быть ~вменено на бгай 1 — Т огай я; при атом уравнение запишется следующим образом: дч — + го$п хц = ТдгайЯ вЂ” ягайбН, (2) Га. У. Теария инагегрираеания и скачки где зг 1 Н=,— +й+— йе е (2') Для установившегося течения это уравнение сводится к следующему "): гоь» х»=ТйтайЯ вЂ” йтайф7.
(3) » бгайЯ = О. Таким образом, каждый из векторов. го$» Х» и бгабЯ перпендикулярен», и, следовательно [см. уравнение (3)), то же будет верно для вектора ягайуй. В этом случае производная от Й вдоль линии тока равна нулю, и поэтому величина Й сохраняет вдоль линии тока постоянное значение е'). Но полный напор Н отличается от Й только тем, что функция 1 заменена на функцию Р, а в адиабатическом течении, как мы видели в конце п.2.5, значения последней для различных частиц отличаются одно от другого самое большее на постоянное слагаемое. Следовательно, величина Н остается постоянной вдоль линии тока, и мы снова получаем уравнение Бернулли (2.20'). Для изэнтропичвского движения Ю=сопз|, и имеется общая для всего потока связь между р и о. При этом величина Р, которая для каждой частицы отличается от 1 самое большее на постоянное слагаемое, будет отличаться от нее самое большее на одинаковое для всех частиц постоянное слагаемое.
Тогда в уравнении (2) мы можем положить ягайло=О и заменить Й на Н, так чтобы вернуться к уравнению (6.г7), которое справедливо для произвольного баротропного течения. Последнее уравнение уже было рассмотрено в п.6.5. Ввиду того что величина Й может использоваться вместо Н всякий раа, когда движение является адиабатическим, она может быть названа в этом случае полным напором или функ»пей Бернулли. Теперь мы рассмотрим установившееся течение, которое не обязательно является адиабатическим, и в уравнении (3) при- Заметим, что при выводе этого уравнения мы не использовали замыкающего условия (1). Полученное уравнение является следствием уравнения Ньютона и первого закона термодинамики.
Теперь мы исследуем уравнения (2) и (3) в самом общем случае. Позднее мы ограничимся рассмотрением установившегося плоского. течения и, в частности, задачей, сформулированной в начале этого пункта. В 'случае адиабатического установившегося движения уравнение (1) запишется так: 2е.г. Адиаботоческое течение неекекоа жидкости 474 равняем нулю сначала ягайЙ,.а затем гоьц. Если величина Й постоянна во всем потоке, то зто уравнение запишется так: гоьц х ц =.Т;.йд. (4) Это означает, что вектор огай Я перпендикулярен как вектору «(, так и вектору гоь ц.
Таким образом, при установившемся движении невязкой жидкости, в которой величина Й постоянна, поверхности, на которых энтропия имеет постоянные значения, составляются линиями тока и вихревыми линиями. Из уравнения (4) вытекает следующий важный результат. Если при этих условиях гоь ц = О во всем потоке, то ягайло=О, и мы можем утверждать, что при установившемся безвихреволс движении невязкой жидкости, в которой величина Н постоянна, все частицы имеют одну и ту же знтропию. В п.6.5 мы, видели, что обратное утверждение не оказывается обязательно верным.
Возвращаясь к уравнению (3), мы теперь предположим, что движение является безвихревым, т. е. что гоь ц = О. Тогда Т ага й Я = огай уй, так что ' гоь (Т огай Я) = ягай Т Х огай Ю = О. Таким образом, либо течение является изотермическим: стай Т = О, либо оно является иззнтропическим: ягайЮ = О, либо поверхности, на которых величина Т имеет постоянные значения, совпадают с поверхностями, на которых Я имеет постоянные значения. В аднабатнческом течении первый и третий варианты включают условие, что как о', так и Т остаются постоянными на линиях тока.
Так как, согласно уравнениго (2.12), Я и Т не свяваны функционально, это означает, что давление р и плотность о также остаются постоянными вдоль линий тока. Второй вариант означает [см. уравнение (3)], что величина Й также является постоянной во всем потоке. При произвольном безвихревом адиабатическом установившемся движении невязкой жидкости либо в частицах сохраняются посгяоянные значения р и о, либо течение являегпся изэнтропическим с поспюянным полным напором ее). Для совершенного газа в соответствии с равенствами (2.13) н (2.23) 1 = У+ р/о = ур/(у — 1) й.
Следовательно, равенство (22.19) должно быть более строго записано в виде Й,=Й, так как не обязательно существует какая-то связь между выражениями для Р на обеих сторонах скачка. Таким образом, если при установившемся движении перед плоским скачком Й= совзь как в случае, когда движение является равномерным, то для адиабатнческого течения Й= совзс и после скачка. Если, кроме 472 Гл. У. Теория ' интегрирования и гаачаи того, величина Ю после скачка ие является постоянной, как бывает в упомянутом случае, когда скачок не является прямолинейным, то движение после скачка будет завихренным. Это следует нз второго результата, приведенного выше.
Для равномерного набегаюи~его потока адиабатическое установившееся плоское движение за криволинейным скачком будет зКвихренным 43). В адиабатнческом установившемся течении как величина Й, так н величина Я постоянны вдоль линии тока, и мы можем предположить, что их нзмененпе от одной линии тока к другой в каждой конкретной задаче определяется граничными условиями. Если движение является не только установившимся, но и плоским, то, чтобы удовлетворить уравнению неразрывности,мы можем ввести (как в п.16.2) функцию тока ф(х,у) дф гф (5) Соотношения (5) означают, что функция гр остается постоянной вдоль линий тока.
Таким образом, Я п дй будут функциями только от гр, скажем Р (гр) и 6 (ф), которые определяются граничными условиями. Кроме того, для плоского движения вектор. вихря го1е( имеет компоненту лишь по оси з, скажем ео. Поэтому уравнение (3) сведется к скалярному уравнению вдоль нормали к линии тока, а именно Таким образом, окончательно получаем *) (6) ео = о (Тг ' — С'), где штрих обозначает дифференцирование по ф; при этом мы использовали уравнение (16Л9), оо = дф/дп.. Этот результат, по существу полученный Крокко"), истолковывается следующим образом. Прямая линия, состоящая из частиц жидкости н первоначально перпендикулярная . плоскости х, у, остается ей перпендикулярной и является поэтому в каждый момент времени вихревой нитью.
Из соображений непрерывности можно считать, что поперечное сечение вихревой нити обратно пропорционально о и, следовательно, ееинтенсивность пропорциональна ео/д. Таким образом, на основании уравнения (6) мы можем утверждать, что в адиабатическом установившемся плоском течении интенсивность вихря на любой а) для совершенного газа это означает, что средняя интенсивность вихря еа является линейной функцией р н й нз каждой линии тока. ва.е. Уравнение дпп функции пика 473 линца тока изменяется, линейно с температурой.
Для изэнтропического течения, Р' = О, интенсивность вихря постоянна в соответствии со второй теоремой Гельмгольца (п.6.4). 2. Уравнение для функции тока Теперь мы можем вывести уравнение для вр, заменяющее уравнение (16.21) в том случае, когда течение является адиабатическим, но не обязательно баротропным. Возвращаясь к уравнению (16.20), мы видим, что нельзя больше заменять производную др/дп выражением аздр/дп, так как нет обшей для всего течения связи между р и д. Вместо этого мы должны поступить так же, как в п.15.6. Таким образом, из равенства Я(р. 9) =Р(вР) мы получаем + — — = Р'( у) — = 9(/Р', дЯ др дд дз, дв)в др дп до дп дп та7в что .д, з до ОЕР' — —.— а — + —, дп дп дд/др ' где, как и ранее, в соответствии с уравнением (1) (7) дд/дс др/дз а'=— дЯ/др дс/де ' (8) Должны быть также внесены изменения и в уравнение (16.20').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
