Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Решение 8, (х, с) состоит из постоянных значении параметров состояния 1 слева и постоянных значений параметров состояния 2 справа от Ю: х=О. Решение типа УдаРного' пеРехода Т(з, Р) Равно салюмУ 8(з, Р; )ле). Это течение не зависит от времени, но из него может быть получено течение, которое зависит от времени; для этого нужно на все течение наложить течение с постоянной скоростью с.. Гл. У. Теория интегрирования и оааияи Положение в случае установившегося плоского течения является по существу таким же. Однако его описание усложняется наличием области резкого перехода второго типа, известной под названием пограничного слоя.
Эти результаты применимы одинаково хорошо и в случае, когда ро и й являются функциями Т при условии, что на их измененйя накладываются соответствующие ограничения. 1 25. ТРАНСЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ 1. О некоторых дополнительных краевых задачах В $17 и 20 мы собрали различные примеры течений,изученных с помощью метода годографа. Некоторые из них, такие, как источник, вихрь, спиральное течение и т. п., были в первую очередь примерами решений основных уравнений, и в них не делалось попытки удовлетворить граничные условия.
(Конечно, такое течение можно а роз»ег1ог1 истолковать как течение между двумя линиями тока, рассматривая эти линии тока как стенки.) Выдающимся примером точного решения заданной краевой задачи является задача Чаплыгина о струе. Различные исследователи шли при ее решении аналогичными путями. В з 21 мы изложили общие методы Бергмана и Лайтхилла; эти методы позволяли построить функции тока, сводящиеся к функции тока заданной краевой задачи течения несжимаемой жидкости при д -+со. Здесь мы обсудим некоторые дальнейшие результаты, касающиеся течения около профиля, и сделаем некоторые дополнительные замечания о течении в канале.
а. За ечанрз о течениях за профилел«. Даже в задаче о течении без циркуляции за круговым цилиндром изящные решения, получаемые с помощью интегральной формулы, такие, как решения (21.23) или (21.37), теряют смысл, если мы изучаем течение вне окружности М = 1. В п.21.3 мы начали с разложения в ряды потенциала шо (ь) в плоскости годографа; в случае круга, для того чтобы описать течение во всей плоскости ~, понадобилось три таких ряда. Мы также нашли, что течение сжимаемой жидкости не может быть получено путем «перевода» каждого иэ этих рядов в его аналог для течения несжимаемой жидкости при помощи метода, предложенного Чаплыгиным в задаче о струе, или эквивалентного метода, использующего другой множитель Кп,т,).
Ряды, полученные таким способом, не являются аналитическими продолжениями один другого; точный метод заключался в том, чтобы начать с соответствующей ветви течения сжимаемой жидкости и решить математическую задачу аналитического продолжения. (Это было сделано в п.21,.3 при помощи некоторого интегрального представле- Вал. О некоторых дололнателъных краевых вада ах 491 ния; имеются также другие методы аналитического продолжения*).) Течения, которые при д -+ со сводятся к обтеканию круга С, были исследрваны нескольйими авторами при помощи различных методов. Черри ") подробно описывает такое решение.
Он предполагает, что число Маха набегающего потока М = М, = 0,51 (т = т, = 0,05) и'что течение продолжается за звуковуюлинию М = 1 (т, = 0,17), причем достигается максимальное значение числа Маха, равное М = 1,39, т = 0,28 (рис. 166). Из этого Р и с. 166. Ливии тока и линии постоянной скорости для течения около контура, близкого к окружности; это течение построено Черри при помощи течения несжвмаемой жидкости около круга; М о=0,51, у=1,405.
рисунка видно, что для малых значений М контур С (линия тока ф = О) очень близок к окружности С,; при числах Маха около М = 0,86 (т = 0,13) контур С начинает отклоняться от окружности так, что его ордината становится меньше, чем у окружности.
Получающееся течение является таким образом течением за симметричным овалом С, который остается близким к кругу. Это течение около С не содержит предельной линии. Если, однако, вычислить лишенное физического смысла продолжение решения внутри С, то вблизи линии тока ф = — 0,06 появляется предельная линия, которая имеет точку возврата, расположенную на достаточно большом расстоянии от контура ф = О. Черри получил оо) также при тех же условиях на бесконечности течение ") См., например, работы, укаэанные в примечании 52.
Гл. В. Теврия инвиевриревания и еиаиии за слегка изогнутым цилиндром (контур С больше не симметричен относительно осп х, а имеет бблыпие положительные и меньшие (по абсолютной величине) отрицательные ординаты, чем контур С). В этом случае максимальное число Маха возрастает до М = 1,56 и точка возврата предельной линии подходит гораздо ближе к С: в этой точке число Маха равно приблизительно 1,34. Конечно, если эта точка возврата предельной линии оказалась бы вне контура, то это решение не было бы больше физически возможным. Для М = 0,6 было рассчитано течение (С, — окружность) с предельной линией, которая действительно пересекает кривую изнутри, тогда как для частей контура,, где М <0,5, полученная кривая немного отличается от окружности и никаких других предельных линий в атом течении не появляется. Следует помнить, что мы здесь рассмотрели для одного и того же заданного контура Рв семейство течений (с числом Маха набегающего потока М в качестве параметра); каждое из них сводится к течению около контура Р, при д — + со; однако форма контура Р, т.
е. определяемого профиля, зависит от М, так что при изменении М мы не изучаем различные течения около одного и того же профиля. (Это важно также для оценки так называемого предположения о предельной линии; см. п.4.) Черри также показал, как провести аналогичные исследования в задаче обтекания круга при наличии циркуляции. В методе Лайтхилла в этом случае встречаются некоторые теоретические трудности "). Лайтхилл, так же как Черри, указал общий метод продолжения решения для течения около контура в сверхзвуковую область.. (Решения в дозвуковой области см.
в п.21.3 и 21.4.) Как и в примере для круга, эти методы основываются на разложениях в ряды функции шв (е",); указывается систематияеский метод нахождения аналитического продолжения, начиная с соответствующей ветви течения в плоскости годографа. При этом возникают значительные практические трудности.
Независимо от этих трудностей пересмотрим основу наших исследований (см. также начало п.21.1). Мы собираемся найти течение сжимаемой жидкости около заданного замкнутого контура Р,; иначе говоря, мы хотим найти решение уравнений течения сжимаемой жидкости с контуром Ра в качестве линии тока. Мы получаем, однако, зависящее от параметра М семейство течений, которые имеют заданный контур Р, в качестве линии тока только тогда, когда некоторая характерная величина стремится к пределу.
Форма, в действительности получающаяся для контура Р в плоскости х, у, зависит от величины М и изменяется вместе с ней. Из результатов Бергмана, Черри и Лайтхилла можно заключить, что для значений М, лежащих в некотором интервале 0( М ( М„в физической плоскости получается чисто дозвуко- 25.в. О некоторых дппалнапвелъпых краевых вада«ах 493 вое течение около замкнутого профиля Р (М ) = Рм.
Можно даже утверждать, что.для значений М, превышающих М, н меняющихся в некотором интервале, скажем М,< М < М„< 1, существует течение около контура Рм со сверхзвуковой областью. Это значение М, может быть, однако, очень близко к М,. Размер этой сверхзвуковой области и величина максимального числа Маха в этой области зависит от величины М (в интервале (М,, М») ). С другой стороны, даже тогда, когда решение в плоскости годографа строится путем совершенно точного аналитического продолжения, мы не меже»е быть уверены в том, что конечный профиль Рм в плоскости х, у будет замкнутым, не будет иметь двойных точек и т. д., до тех пор пока не определена величина М» (а следовательно, не известно, превьппает ли она выбранное нами значение М ). Практически, если построено до конца решение, действительно определяющее течение в физической плоскости, и если кривая Рм (как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
