Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 99

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 99)

Кроме того, где бы ни находились предельные линии, они не обнаруживали и не могли обнаружить связи с упоминавшимся вылив асиммеглричммм поведением, а именно с тем обстоятельством, что скачки представляются связанными главным образом с трансзвуковьпи замедлением, а не с ускорением. Повторяем: результаты наших вычислений и наши примеры (пЛ7.4, $20, п.21.3 и 25Л) взаимно подтверждают друг друга и согласуются с математическими результатами, изложенными на предыдущих страницах. Кажется, что предположение о предельной линии (даже в общем смысле некоторого рода параллелизма между физическими скачками и математическими предельными линиями) не улавливает существа реальной задачи.

5. Локальное исследование Положение дел, описанное в п.2 — 4, при противопоставлении физических наблюдений и математических результатов, внушало бы больше беспокойства, если бы мы располагали математической теоремой существования и единственности решения для задачи, сформулированной в начале п.2. Поскольку дело обстоит не таким образом, усилия исследователей были приложены в другом направлении и ставили перед собой следующую цель: доказать или хотя бы сделать правдоподобным, что'известные примеры течений являются не типичными, а исключительными случаями. Для последующего изложения полезно ввести термин «хорошо поставленная» или «корректно поставленная» задача в смысле Адамара" ).

Говорят, что краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных будет корректно поставлена или корректно формулирована, если решение существует, является единственным и зависит непрерывным образом от заданных граничных данных. Конечно, точный характер непрерывной зависимости от этих данных должен быть установлен в каждой задаче, так же как класс функций, в котором следует искать решение. В качестве примера корректно поставленной задачи мы упомянем теорему существования для дозвукового течения (см.

п.2), где можно показать, что решение меняется непрерывно с д и с Р. Возвращаясь к интересующему нас теперь вопросу, мы покажем, что в окрестности профиля Р, около которого существует трансзвуковое течение со сверхзвуковыми «карманами», может быть найден другой профиль, для которого не существует таких смежных течений, хотя они удовлетворяют всем предположениям, сделанным в начале п.2. Мы видели в пЛ8.3 (см. рис. 118), что в характерном примере мы разрушили гладкое течение введением произвольно малой вогнутой дуги в заданный контур.

Однако выпуклость профиля была одной из гипотез нашей задачи (п.2). Но можно показать, что течение рассмотренного типа становится невозможным даже Гм У. Тоорил интпссрировения и скачки в том. случае', когда часть контура внутри сверхэвуковой зоны представляет собой проиэвольно малый прямолинейный отрезок. Этот интересный результат был впервые получен А. А. Никольским и Г. И.

Тагановым (см. примечание 69); мы дадим краткое„ но полное его доказательство, получив сначала простое основное неравенство. Если в первом иэ уравнений (16.7) мы положи»» М = 1, то получим дб/ди = 0 или дб/ду = 16 О (дб/дх); тогда второе уравнение (16Л) может быть переписано следующим обраэом: дв .

дв в' дб — э»п 9 — — соэ 9+ — — = О. дг ду со».В дг Выберем далее эа направление у направление нормали к звуковой линии В с положительным направлением в сторону дозвуковых скоростей, а эа направление х — направление касательной к линии Я с таким положительным направлением, чтобы угол поворота от положительного направления х к положительному направлению у был равен +90', затем мы напишем д/дп вместо д/дх, д/дч вместо д/ду и О, вместо угла между звуковой линией и направлением течения. Так как дд/да .= 0 вдоль линии Я, мы сразу получаем дв в дэ дт сое' Од до ' (1) Из неравенства дд/дч (О следует, что дб/да<0, и мы получаем следующий евакон монотонности». Если точка деиокетея 'вдоль звуковой линии 8 так, что догвуковая область остается слева, то полярный угол О вектора скорости с1 в втой точке не может увеличиватьел Теперь мы применим этот результат к,нашей задаче.

Рассмотрим часть контура, вдоль которой скорости являются сверхзвуковыми, т. е. которая лежит в сверхзвуковой зоне, и выберем на ней две точки, А и В. Через каждую иэ них мы проведем обе характеристики и найдем точки пересечения этих характеристик со внуковой линией, например, в таком порядке: А„В„А„В»*). Рассмотрим иэображение в плоскости годографа дуги АВ и четырех точек пересечения. В силу закона монотонности изображения А;, В,', А,', В; должны лежать на звуковой окружности в плоскости годографа в том же порядке, что и их образы в физической плоскости. Деформируем затем этот контур следующим образом: вставим внутри сверхзвуковой эоны прямолинейный отрезок АеВ . Это может быть сделано таким образом, что проиэводные любого порядка от функции, которая определяет контур, остаются непрерывными.

Вдоль А В мы имеем дб/дг = 0 и, следовательно, о) Такой порядок может быть обеспечен выбором достаточно малого отреека АВ; для всех дуг, являющихся частью дуги АВ, получается тот же самый порядок. Другой вогможный порядок таков: Аь А», Вь Вс '25.2. Локальное иоооедооаяао дд(дп = О. Рассмотрим сначала случай, когда скорость д увеличивается (или уменьшается) вдоль АаВ, илй когда имеется часть отрезка АеВ, вдоль которого скорость д меняется монотонно, Тогда изображение А' В' в плоскости годографа отрезка (или части отрезка) АеВе будет отрезком радиуса, проходящего через йачало координат 0'.

Ясно, что точки пересечения четырех эпицнклоид, проходящих через точки А' и В';со звуковой окружностью будут расположены в порядке (опускаем звездочки) А,',В,',В,',А,' (или В,',А,',А,',В,') и, следовательно, не в том порядке, который требуется законом монотонности. Таким образом, мы приходим к противоречию'з).

Предположим теперь, что скорость д постоянна вдоль АаВ . Иэображением этого отрезка в' плоскости годографа будет одна точка А', и ясно, что вьппеприведенное противоречие не может возникнуть. Однако мы можем заключить, что в сверхзвуковой зоне к прямолинейному отрезку, вдоль которого д и д постоянны, примыкает маленький треугольник, ограниченный этим отрезком и двумя проходящими через его концы пересекающимися прямолинейными характеристиками, внутри которого вектор и = сопзВ.

Обозначим этот треугольник через А„ВеР. Тогда к прямолинейной характеристике А„Р в этой сверхзвуковой зоне должна примыкать, скажем, простая 'волна И' с прямолинейными характеристиками С' и поперечными характеристиками С . Однако это приводит к противоречию, так как мы видели (з 18, стр. 327), что расстояние между двумя поперечными характеристиками, измеряемое вдоль прямолинейных характеристик, стремится к бесконечноети, когда угол Маха а стремится к 90'.

Таким образом, невозможно, чтобы простая волна, содержащаяся в конечной сверхзвуковой зоне, распространялась до звуковой линии. С другой стороны, как легко видеть, невозможно также, чтобы характеристика С выходила из области простой волны, не достигнув звуковой линии. Следовательно, мы снова получаем противоречие. Таким образом, мы доказали, что наличие прямолинейного отрезка контура внутри сверхзвуковой области несовместимо с нашими предположениями. Следовательно, существуют профили, близкие к допустимым, и такие, что для них не будет существовать решения, близкого к решению для допустимого профиля. Поэтому.

(если профили с прямолинейными участками не исключены из рассмотрения) исходная задача оказывается поставленной некорректно*). «) Мы должны в принципе допустить воэможность того, что при спрямлении части контура.вся картина течения резко изменяется, так что сверхзвуковая вона сдвигаетсн и больше не содержит прямолинейного отрезка. Такое резкое изменение течения, соответствующее пронавольно малому изменению контура, свидетельствует о том, что задача поставлена некорректно. Тя.

У. Теория интегрироеония и оконки 510 6. Предположения о существовании и единственности в большом Вспомним задачу, которая была взята нами за отправной пункт, и спросим себя, почему мы в самом деле думаем, что для трансзвукового течения может иметь место теорема существования. Ответ, очевидно, таков: задача была сформулирована по аналогии с классической задачей о течении несжимаемой жидкости (линейной задачей) и аналогичная теорема верна для течения сжимаемой жидкости (нелинейная задача).

Однако некоторые результаты, относящиеся к линейным задачам смешанного хипа, указывают скорее на отрицательный, чем на положительный ответ; на некоторые размышления наводят, в частности, соответствующие предположения относительно. нашей задачи. Здесь мы ограничимся лишь несколькими намеками. В 1923 г. Трикоми изучил уравнение смешанного типа д»и деу у — + — =О дк» ду« (2) С другой стороны, рассмотрим классическую задачу потенциального течения Лапласа. В бесконечно малой близости к допустимому контуру (т.

Характеристики

Список файлов книги