Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Некоторые полезные частные решения двумерного волнового уравнения можно, например, найти в написанном Сирсом разделе работы [31] (см. примечание 20). См. также наши рассуждения относительно двумерного обобщенного волнового уравнения (7.45) в конце ! 7. $5 25. Эраст Мах (1838 — 1916) при помощи ивтерференционного метода, изобретенного им совместно с сыном, Лходвигом Махом [ПЬег е!и 1п!ег!егепхге!гаЫоше!ег, укгЬег. А)гаН. И'Ыг.
Иеген, АЫ. Н, 98 (1889), 1318], наблюдал снаряды, летящие со скоростью, большей скорости ввука [М а с Ь Е., 8 а1с Ь е г 1... РЬохойгарЫзсЬе Р!х!египй Нег НигсЬ Рго]еЫ!!е 1и Нег Ьий еш8е1еНе!ев Чогйапйе, Я!г»Ьег. Айад. И'!гг. И'ып, АЫ. П, 95 (1887), Глава 11 521 764 — 780; М а с Ь Е., М а с Ь 1... %е!Севе ЬаН!яНзсЬ рЬозойгарЬ!ясЬе СтегяасЬе, ЕМ»уст.
Айасд Ит!вв. Ит»вв, АЫ. На, 98 (1889), 1310 — 1326; см. также книгу [24], т. Н, гл. Х1, раздел !»,.Визуализация и фотографирование движущихся потоков]. Методу Маха предшествовал анаменптый метод тли)т, предложенный Теллером (Т о е р 1 е г А., ВеоЬасЫвпйеы пасЬ е!пег пепел орСМсЬеп МеСЬойе, Вопи, 1864). Прекрасная монография Геннннга об Эрнсте Махе (Н е ы и ! и 8 Н., Егпяз МасЬ а1я РЫ1ояорЬ, РЬуяЭгег ыпй РяусЬо1ойе, Ье!рз!8, 1915) содержит список статей и книг Маха, вышедших до 1912 г. Маху принадлежат не только эти экспериментальные методы и результаты, но также важные теоретические положения, связанные с тем, что позже было названо »конусом Маха», «углом Маха» и »линиями Маха».
Впервые, вероятно, этими терминами начали пользоваться Прандтль (1907) и Мейер .(1908). ГЛАВА П 56 1. В связи с этим параграфом и частью следующего мы отсылаем читателя к монографии Трусделла [11], в которой содержится большое количество информации, и известные результаты допблнены оригинальными исследованиями и обширным исторпческим материалом. См.
также статью того же Ьзтора [Т г п ее й е11 С., Уо»С!с!Су апй СЬе СЬегшойупаш!с яза»е ш а йаз Почт, Аувт. »ст. та»5., 119 (1952)]. 2. Термины «контур» (сысвН) к «циркуляция» восходят к Томсону (Квт(ьвиыу, 1824 — 1907) [Т Ь ош зов )дт., Оп тогзех шоС!оп, Тгаяв.
Есу. Юсс. Ей»эсигуд, 25 (1869), 217 — 260; Т Ь о ш я оп %., Т а ! С Р. С., ТгеаСМе оп пазога1 рЫ1ояорЬу, Ьопйоп авй Нечт Уогй, СашЬПйбе Балт. Ргсяз, первое издание появилось в 1867 г..; второе издание взныло в двух частях: часть ! (1879), ч. Н (1883); обе части переизданы в 1912 г.]. '3. Составляющие вектора гоС «] были введены Даламбером, Эйлером и Лагранжем; этнми состаэляюыйгми свободно, хотя и чисто формально, пользовались в гндродинамических исследованиях восемнадцатого века.
В 1841 г. Коши доказал, что компоненты гоС в) преобразуются при переходе к другой системе координат как компоненты вектора (С а ы с Ь у А. Ь., Мешоуге яш !ея й!1а»аС1овя, 1ея совйевяаС!оыз, еС !ез гозаИовя ргойойея раг йп сЬапйешепС йе 1огше йапя оп яуязбше йе рошяз ша»ег!е1я, Оевтгез Сошр1е»ез, Эег.
2, С. 12, РагМ, 1916, р. 343 — 377). 4. Важное интегральное преобразование (6) в действительности было открыто Кельвиыом (1850), как следует из письма Кельвина к Стоксу. Эта же теорема была независимо установлена Ганкелем [Н апйе1 Н., Евг аПйешезвеп 'ГЬеог1е йег Векейвпй йег р!тТзя!8Ье!Сеп, Оо111пбев, 1861]. 5. Интерпретации го»т( были даны Стоксом и несколько иыым путем Коши в работах, указанных в примечаниях 3 и !Л2.
Дальнейшие подробности см. в книге Трусделла [11], стр. 59 — 65, а также в книге Адамара [4], стр. 74. 6. Эти понятия были введены Гельигольцем [Н е1 ш Ь о 1 С з Н., ОЬег !ВСейга!е йег ЬуйгойуваппясЬеп 61е!сЬвыйев, »те!сЬе йеп !!У!»Ье1Ьечтейопйетт 522 Примечания и дополнения еп1зргесйел, у. гебы апхеш. Ма«Ь., 55 (1858), 25 — 55»)]. Данная работа и работа Кельвина, указанная в примечании 2, являются основными работами по теории вихрей Гельмгольца — ' Кельвина. 7. Заметим, что при таком определении интенсивность является положительной величиной подобно массе и скорости, в то время как циркуляции может быть положительной или отрицательной. Сы. также детальное изложение в работе Мивеса [16], гл.
11 и 1Х. 8. Вместо частного вывода, данного в нашем тексте, можно вычислить по аналогии с формулой (2.28) производную (Ы/дг) ~ а д), где а зависит си> от и, у, е и г, а С(г) движется со скоростью Ч. В результате получаем — ~ а е][= ~ [ д, +Ига«[(а.Ч) — ЧХ гоЬЧ[ е][, с(С сбб и если а=й, а С вЂ” замкнутый контур, то лг —— ф ( д + Ига![ д~ — Ч К гоЬЧ) ° е][ = ф (Юга«[ 2 + «) ° е[], как в равенстве (11). 9. Теорема Кельвина дана в статье, указанной в примечании 2. 10. Соответственно можно определить «потенциал ускорения« ш» при помощи равенства е]Ч/де=йтай ш». Это было сделано Эйлером (1755) в работе, указанной в примечании 1.3. Очевидно, что неко«сжав формулы в тексте могут быть переписаны с использованием ш». То обстоятельство, что вихрь ускорения равен нулю, было известно Далзмберу (1752); см.
работу, указанную в примечании 1.4. 11. В п.4 можно избежать понятия «вихревой нити» или «трубки бесконечно малого поперечного сечения«, если воспользоваться предельным переходом или заметить, что вихревая линия является пересечением любых двух трубок, на которых она лежит. 12. Обобщение см.
в п. 24.1. 13. Течении, длн которых Чкго«Ч=О, называются полями Бельтрами [В е11 г а ш ! Еч Соле!е[егаз!ов! !Йгоб1паш1с)ге, Лепд. 1«ь ьотЬагдо, Эег. 2, 22 (1889), 300 — 309]. Многие свойства этих полей были ранее открыты И. Громекой (1881): Дальнейшие сведения и ссылки на литературу см. в книге Трусделла [11], стр.
24 и стр. 97. Эти течения интересны как промежуточные между беввихревым и общим вихревым движением. 14. Известно, что первоначальное доказательство Гельмгольца пер. вой теоремы о вихрях не было строгим; см., например, кингу Ламба [15], стр. 256 и далее и ссылки там же на Стокса, стр. 33. В п.6.6 автор воспроизвел оригинальные рассуждения Гельмгольца с той только разницей, что он считает плотность переменной. Несколько доказательств «) Существует русский перевод этой статьи, а также статьи, указанной в примечании 23: Г е л ь и г о л ь ц Г., Два исследования по гидродинамике.
1. О вихревом движении. Н. О прерывном движении жидкости, перевод под ред. С. А. Чаплыгина, 1902. — Прим. ред. Глава 11 теорем Гельмгольца и равличные обобщения представлены в книге Трус- делла [11]; см. также книги Зоммерфельда [17], стр. 161 и Кочина Н. Е., Кибеля И. А. и Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, стр. 150 — 157.
й 7 15. Термин «безвихревой» («!гго!а!!ова)») был введен Кельвином в работе, указанной в примечании 2» 16. Эта теорема, как и бблыная часть теории вихрей для случая несжимаемой жидкости, уже была предвосхищена в «уравнениях Коши», которые можно обобщить для течения сжимаемой жидкости [см., например, Ламб [15], стр. 255, уравнение (3)]. 17. Точное решение, которое дано в этом пункте, впервые, вероятно„ рассмотрел Тэйлор [Т а у)от О. 1., Зоше саяея о1 Поч о1 сошргезя!Ые Пк!»[я, Аегоиаис. !7ев.
Соиисп Персе аит) Меот., 1382 (1930); ВесеЫ ттог)«оп !Ье Почт о1 сошргеяюЫе ПвЫя, Х. Г,оиатои Ма»5. Яос., 5 (1930), 224 — 240]. См. также статью Бейтмана [В а ! е ш а в Н., 1»го!а!!опа) шоПоп о1 а сошргвяя1Ые т'»МсЫ ПиЫ, Ргос. Атак Асат). Юс!. У.8.А., 16 (1930), 816 — 825). 18. Эта задача рассматривается в пЛ7.4 при помощи «мегода годографа», который будет объяснен в 1 8. См.
также примечание 23. 19. Эта задача — с другой точки зрения — была рассмотрена Тейлором в работе, указанной в примечании 17. 20. Заметим, кстати, что автор приводит и другой вариант решения, развернутый и иллюстрированный графиками (см. конец п.5 и п.б). Метод, который будет там использован, ближе к указанному адесь методу для случая радиального течеаия, так же, впрочем, как и к методу Тэйлора.
Вводятся новые безравмервые переменные Э=(2яав/Г)г, т)=де/а„чем исклточается случай чисто рвдиального течения Г=О, и выводится дифференциальное уравнение е(т) т! 2 †(к — 1)т!»+(3 — к)7$» ~Ц с 2 — (к+1) т!» — (и — 1)Я» ' которое затем исследуется.
Конечный результат таков же, как и здесь. 21. Рассматривая течение аа полубесконечным конусом, Тэйлор и МакКолл получили точное решение для установившегося безвихревого потока сжимаемой идеальной жидкости при наличии осевой симметрии [Т а у- 1 о г С. !., М а с с о 11 Я. %., ТЬе а!г ргеяянге оп а сове шот!вй а! Ы6Ь яреебз, Ргос. Воу. 8ос., Бег. А, 139 (1933), 298 — 311]; см. также книгу [24], т. 1. стр. 187 — 192. Числейвые таблицы составлены Каналом ]К о р а ! Е., ТаЫея о( зирегяоп1с Пот» агоипт) сопев, Сап»ЬгЫде, Маяз., М.! Т.
РвЫ!са!!ов, 1947]; см. также графики в работе [35], $111. 68 22. Эти ревультаты имеют очень важное приложение при «одномерном» или «гидравлическом» исследовании течения в канале (см. п.25Л). 23. Первоначальная идея преобразования годографа, по-видимому, принадлежит Гельмгольцу и Рнмаяу [Н е! ш Ь о 1!а Н., ОЬег б!з)«овПпшегВсЬе Р[йяз!6йе!!яЬетвейивй, Мола»»бег. ргеивв. А)ват!. Иг!вв. Вег!!и, 524 Примечание и дополнения 125 (1868), 215 †22)]. Гельмгольц использовал ее для решения вадач о течениях со свободными границами (см. п.20.6). Важность этого преобразования как способа для сведения задачи к линейным уравнениям впервые, вероятно, была обнаружена Риманом (1826 — 1866) в работе, которая является основой для этой книги [В ! еш аз и О. В., ()Ьег е]!е Рог!рйапзвпй еЬепег Ьв!яме[)еп тов евбПсЬег Зсйччпршйяме1!е, Аййапе?!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
