Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Этз работа включена в книгу [20] и воспроизводится по существу в т. П1 издания [23] в статье Тайлора и Мак-Колла. Тэйлор рассмотрел также случай Р,=О, который ранее анализировался Репкипом [К а и Ь ! и е Ж. 1. М., Оп 1Ье !Ьегшойуваппс !Ьеогу о1 »чачея о1 1шПе !опй!!ай!Ва) й!я!агЬавсе, РМ!ое. Тгапе. Псу. 8»н. Ьопйоп, 160 (1870), 277 — 286]. Результаты, аналогичные результатам Тэйлора, были получены Ралеем [К а у 1 е 1 б И, Аег!а) р1апе ч»атея о1 Пп!!е ашр1Пайе, Ргос. Боу. Яос., А, 84 (1910), 247 — 284 илв К ау1е18Ь, Бс1епУП!с Рарегя, ч5, 1оайоа,)»[еи Уогй, 1912, р. 573 — 610].
Как указал Ралей (а впоследствии и Беккер, см. примечание 6), случай )»о — — 0 является в некоторой степени иерегулярвым; ок может трактоваться 'как предельный; см. статью Джилбарга [О ! 1 Ь а г 8 Б., ТЬе ехМ!енсе апй 1!шП ЬеЬач!ог о1 !Ье оае-й1шепя!ова1 зЬос!1 1ауег, А»лсг. Х. Ма!5., 73 (1951), 256 — 274], а также работу Лайтхилла [1, 1 8 Ь 1 Ь ! 1 1 М. 1., Ч1ясоз!!у еПес1з !в яоапй ч ачея о1 Ппйе ашр!Ппйе, Зпгчеуя ш МесЬашсз, Ьопйоп, )»]си Уогй, 1956, р. 250 †3].
4. Полная задача была впервые полностью рассмотрена Мизесом [М 1- я е я К., Оа !Ье !И!сйпеяя о1 а я!еайу яЬос)1 чаче, У. Аегопаиг. Юс»., 17 (1950), 551 †5; русский перевод: М и з е с Р., О толщине устойп»вой ударной волвы, сб. Механика, № 3 (1951), 46 — 54]. Случай несовершенного гааа исследован в работе Джилбарга, указанной в примечаиии 3. 5. Прапдтль использовал это отношение в гидродинамической аналогии задачи теплопроводпости [Р г а и й ! ! Ь., Е!Ве Вея!еЬпвй яийясЬеп »Уагшеаая!ааясЬ пай Ятгошапйчи!йегя!апй йег Р!бяя!8Ие!!еп, Рауе№п 2., 11 (1910), 1072 — 1078].
6. См. работу Беккера [В е с И о г К., 8!ояяиеПе ппй Бе!оааПоп, Е. Рйуе»)с.» 8 (1922), 321 — 362]. Беккер рассмотрел также случаи р =0 в )»=0; см. примечание 3. Глава 11/ 7. См. работу Рзлея [К а у 1 е 1 9 Ь, Оп !Ье т!ясояНу о1 агйоп аз аНес!ей Ьу !ешрега!пге, Рпк. //ау. бав., 66 (1900), 68 — 74 или К а у1 е ! 9 Ь, Зс]- еа!!Йс Рарегя, т. 4, Ьолйоп, Нет««огй, 1903, р.
452 — 458). 8. См. работу Милликана [М 111 ! Ь а и К. А., ПЬег йеп чаЬгясЬе1в- 1]сЬя!еп %ег! йез Ке!Ьап8зйое!1!з!ел!еп йег 1,аВ, Апп. Рдув//), 41 (1913), 759 — 766]. Милликан получил свой результат путем приспособления формулы Сатерленда из кинетической теории газов к экспериментальным значениям для воздуха; см. работу Сатерленда [Э а ! Ь е г 1 а л й %., ТЬе»йясояИу о1 йвяез апй шо1еса1аг 1огсея, РА//ав. Мау., Бег. 5, 36 (1893), 507 †5]. В настоящее время считаетсн, что в уравнении (43) постоянная 124 должна быть заменена постоянной, более близкой к 110 (см.,например, [37), т. 5, стр.
1504.1 — 1), но зто не влияет на выводы. 9. См. Работу Лейби и Нелсона [Ь а Ь у Т. Н., Х е 1 з о п Е. А., ТЬегша1 солйасМтМу; давая апй тарогз, 1а!егпа!1опа1 сгП!са1 !аЫез, т. 5, 5]ем Уогй, 1929, р. 213 — 217]. Формула (44) точна з интервале от 190 до 220' С. 10. Это — формула Эйкена; см. книгу Джинса [1 е а в я 1. Н., К1пеМс !Ьеогу о! 8яяея, 1олйоп, Ь]ем г'огЬ, 1952, р. 190]. 11. Для всех скачков, кроме весьма слабых, зта толщина будет величиной того же порядка, что и средняя длина свободного пробега.
Беккер (см. его статью, укааанную в примечакии 6) высказал сомнение в применимости лри этих обстоятельствах уравнений механики сплошной среды к данной задаче, и появилось мнение, что только кинетическая теория газов способна правильно описать такой переход. Однако ряд авторов, начиная с Томаса [Т Ь о ш аз Ь. Н., Ыо!е оп Весйег'я !Ьеогу о( 1Ье зЬосЬ 1гоаЬ У. Слет. Р/»ув., 12 (1944), 449 — 453], подчеркивал значительное увеличение толщаны, певуча/ощееся при более близких к действительности предположениях, таких, как вависимость вязкости и теплопрозодности от температуры.
Критическое обсуждение и литературу по данному вопросу можно найти в статье Джилбарга и Паолуччи (О!1 Ь а г 6 В., Р а о1 а с с 1 П., ТЬе з!гас!аге о/ яЬосй матея !и «Ье соп!шпаш !Ьеогу о! Пшйя, У. Ламвпа/ 31«ЬЬ. апа/ Апа/ув/в, 2 (1953), 617 — 642). Эти авторы исследовали также влияние предположений относительно вязкости, отличных от предположения Навье н Стокса ]формулы (6)]. $ !2 12. Как указывалось в примечании 1.8, следует делать различие между терминами «идеальный» и «совершенвьгй». В.етом параграфе мы первоначально будем иметь дело с идеальным совершенным газом при изэвтропическом движении.
Однако исследование проводится для общего случая баротропного течении идеальной жидкости; длн иллюстрации берется политропическое течение. 13. Общий обзор вопроса и список литературы по одномерному неустаноеившемуся течению можно найти в' работе Цалдастани [2 а 1 й а я ! а л ! О., ТЬе опе-й1шепя!опа1 Мел!гор!с 11шй-йоч, Айгалсея !в аррИей шесЬап!су, т. 3, 1953, р. 21 — 59; русский перевод: Ц а л д а с т а ни О., Одномерное 34" При ечания индопоянения иззнтропическое течение жидкости, в сб. Проблемы механики, Издатинлвт, 1955, стр. 519 — 522].
14. Переменное о было введено Риманом в работе, указанной в примечании 11.23; Риман испольэовал так называемые инварианты Римана г=(о-]-и)/2= =$/2 н е=(с — и)/2=т)/2 вместо переменных и и о. Здесь 3 и х).являются характеристическими переменвыми, которые будут применевы в п.
12.4; см. также формулы (10.6). Лнпшиц [Ь 1р з с Ь ! ! х В., Ве[згзб хп йег ТЬеог!е йег Вемебвв8 е!вег е1аз!МсЬеп Р1йзз!81се11, Х. ге!пе ануем. Магд., 100 (1887), 89 — 120] обобщил исследование Римана, з частности, на случай, когда на жидкость действует сила тяжести. 15. При обсуждении уравнения (27') мы уже пользовались результатаки теории интегрирования гиперболических дифференциальных уравнений, раввитой Риманом; см. примечание П.47.
16. Общая связь между р и 9, приводящая к уравнению типа (34), была дана Зауером [Я а в е г В., Е1ешепхаге Ьбзппбеп йег ЖеПеп31е1сЬвпб !зепХгоРМсЬег Сазе!гошсвбеп, 2. апхеш. Меев. ипй Месйн 31 (1951), 339 — 343; русский перевод: 3 а у е р Р., Элементарные решения волнового уравнения изэвтропического потока газа, сб. Механика, № 5 (1952), 97 — 102]. 17. Уравнение (34) является частным случаем уравнения, которое теперь называется уравнением Эйлера — Пуассона — Дарбу; см. работу Дарбу, указанную в примечании 11.47, а также работы Эйлера [Е п1 е г Ь., 1вз!Ип!1овез са1свП !пзе3та1!з, Орега Оштй, Яег. 1, т. 13, Ье1рх!3, Вег11п; 1914; 212 — 230] и Пуассона [Р о ! з з о и Я.
П., Мбшо!ге звг 1'1п!ебгаМоп йез ебва!!опз 1!пеа!гез авх й1!14гепсез раг11еПез, Х. есо!е ро!усесй., Яег. 1, 19 (1823), 215 — 248]. В последние годы математический интерес к этому уравнению и его обобщениям были стимулированы главным образом трудами Вайнштейна; см., например, следующую его работу: % е 1 и з ! е 1 и А., Оп 1Ье паче ецваМоп апй 1Ье ебваИоп о1 Еп1ег — Реизов, Ргос.
Яушр. Арр1. ЫахЬ. (А.М.Я.), т. 5, 1954, р. 137 — 147. 18. Для любого ив этих отношений такие значения н будут равны н=(2Ф+3)/(2дс+1), где Ас — любое целое число. В частности, 77=1 дает к=с/з, что равно величине у для одноатомиого газа. Соответствухощие значения и тогда будут: п=1 для хя=(/ или 9Ь и= — 1 для Е или х — ис, пас 2 для ф и п= — 2 для к Таким образом, наиболее интересным с физической точки зрения случаям одно- и двухатомного газов соответствуют математически простью уравнения (34). 19. Формулы (37) и (38) дают решение Эйлера уравнении (34); см. примечание 17.
Эти формулы могут быть записаны более компактно з следующем виде: (37) (38) Втораа из этих формул была выведена Лявом и Пиддаком. [Ьо те А. Е., Р [й й в с Ь Р. В., Ьайгапое з ЬаН!зМс ргоИеш, РИ!ое. Тгапе. /]оу. Бос. Глава 1/1 533 йопв/оп, А, 222 (1922), 167 †2), а первая монет быть получена из вес с помощью метода, предложенного Дарбу в работе, укааанвой в примечании 1!.4?. 20. См. работу Миаеса [М !вез И., Опе-йвшевз!опа! ай!аЬаМс Почв о1 ап пн1зсЫ Пшй, Хачогй Верэ. 1719, 195Ц.
Основная иден содержится уже в работе Эйлера, указанной в примечании 17. Интегральные представления были использованы Копсоном [Со рвов Е. Т., Оп зоввй тчачез о1 1!в!!е ашр!!!вйе, Ргос. Лоу. оос.,А, 216 (1953), 539 — 547) и Макки [Маса! е А. О., Сов!опт штебга! зо!вМопз о1 а с1азз о1 й!1!егев1!а! ецпаь!опз, У. Ломова! /Увсй.
апй Апа!ув/в, 4 (1955), 733 — 750]. 21. Решения (37) и (38) могут быть выражены и через характеристические переменные ! 5 и Ч. Таким образом (см. примечание 19)„прн 2в=( — 1)" зо/2" (?п — 1) (2п — 3) ... 1=Р(Ц)+О(ч!) после некоторых преобразований мы находим ,„„ Г д' Р (5) д С (Ч) '"="+"'" ' [.~ГК+Ч)" +дЧ" К+Ч)" 1 (37) а при Я,=( — 1)м-ь2мв /(2чв — 3)(2т — 5) ... 1=Р(З)+С(Ч) получаем Р(5) д - С(Ч) 5.— (5+Ч) "+дЧ™- К+Ч)- ' (38) Эти формулы были получены Дарбу в работе, указанной в примечании П.47. 22. В более общем случае в характеристических переменных уравнение (34) запишется так: двв„п дв, два — — — 0 дауд?! $+Ч( д5 дч!) дэК Г дч' др 1 — +й( — + — ) =0, 3$дЧ (.д5 дЧ ) ' 4с ' Функция Римана е этом случае будет О вщт+ч)/в (29 )Гтч) где т=з — чп ч=Ч вЂ” ч)„а ?о — функция Бесселя нулевого порядка (от мнимого аргумента).
Точная связь между этими двумя функциями Римана была указана Ладфордом [Ьвй1огй О. Я. 8., Тмо тор!сз !в ове-й!шеп- Функция Римана тогда будет где и =($ — оьв) (Ч вЂ” Чвщ+Ч) ($д+Чд), Р— гипергеометрическая функция, а Є— функция Леиандра; при и= — 2 мы снова получаем выраженно (46). Этот результат, был получен'Риманом в работе, указанной в примечании П.23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
