Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 102
Текст из файла (страница 102)
1 3. 12. Понятие напра»«с«нил, которое является основой современной механики сплошных сред, было введено Коши '(1789 — 1857) и является обобщением эйлеровского понятия гидростатического давления; см. С а и с Ь у А. Е., БесЬегсЬез звг ПбдшПЬге е! 1е шов«эшен! !в!епевг «[ез согрз зо!Ыез ов Но[- без, «1аз!и]вез ов пов 4!аз!!Чош, Вой. «о«. РЬ!!«те«5. Рег!«(1823), 9 — 13, краткий обзор; подробное изложение: Ве 1а ргезз!ов оо !евз1ов бава вв согрз зо!Ые, Оеочгев Сошр!е!ев, Бег. 2, !. 7, Райз, 1889, стр.
60 — 78; другие рабсты Коши по этому вопросу цитируются в книге Трусделла [12], стр. 264, как работы 1827.3 и 1828.1. Основные свойства тензора напряжений Е, его симметрия, формулы преобразования и т. д. легко найти на первых страницах большинства учебников по теории упругости. Формальная теория тензора Б, конечно, одна и та'же независимо от того, рассматривается лв 518 Примечания и дополнения теория упругости, теория вязкой жидкости или теория пластических течений„ хотя физические предположения для различных полей совершенно различны (см. название вышеуказанной статьи Коши 1823 г.).
По вопросу об втих основных понятинх см. также следующую работу автора: М ! я е я К., ПЬег «Не Ь!яЬеНйеп Апяяьяе !и «]ег Ь!азя!ясЬеп МесЬап]й бег КопС!вва, «егЬапд1. 3 !пьегп. Сопйг. СесЬ. МесЬ., БСосЬЬо]ш, В.2, 1930, Б. 3 — 13. 13. Закон жидкого трения, согласно которому сила трения пропорциональна сдвигу слоя жидкости относительно соседнего слоя, восходит к Ньютону («Математические начала», книга вторая). Навье [Н а т 1 е г В., Мешо!ге явг1ел 1о!я Йм шовчешепья йея ПпЫея, Мет.
асад. ее!. Рагы, 6 (1822), 389] развил корпускулярную теорию, которая привела его к той системе дифференциальных уравнений с частными производными, которая при« пята до сих пор для вязкой несжимаемой жидкости. Пуассон развил другую корпускулярную теорию, которан приводит к принятой в настоящее время системе дифференциальных уравнений для вязкой сжимаемой жидкости. Сен-Венан (1843) и Стоке (1845) вывели те же самые уравнения, исходя из общего понятия напряжения для непрерывно распределенной массы [см. Б С о )с е я О. О., Оп СЬе СЬеог1ез о[ СЬе !пьегпа1 Хг!сс!ов о1 1!в!«]я !в шоИоп, апб о! СЬе ецшИЬг!вш апб шоьюп о! е1аяМс яоВй, Тгане.
СатЬг»дяе РЬПое. аоо., 8 (1845), 287, а также следующие книги: Мизес [16], Лаиб [15[, стр. 723; Вуземан [19], стр. 351]. В настоящей главе не предполагается, что существует обычная простая форма зависимости между внзкими силами и переменными р, 9, «К см.
стр. 38, а также конец п.3. Течение внзкой жидкости ие изучается в нашей книге; см. тем не менее с !1, 14 и 22. 14. Тенворный символ Бгаб2 (в смысле Гиббса) можно понять,' если рассматривать произведение символического вектора «Бгаб!епС» (см. стр. 13) на тензор Х, согласно правилу умножения матриц. Этим выявляется векторный характер величины Бга«( Е. 15. Инвариантность величины — ю' можно установить следующим образом.
Каждан из величин в круглых скобках в выражении (10) представляет собой соответствующую составляющую вектора и= 2' Ч, причем последнее произведение находится по правилу перемножения матриц. Тогда выражение (10) может быть записано как дивергенция вектора и, а именно — ю'= =Йт(Е' Ч). 16. Величина 0 обращается в нуль только тогда, когда или Р или Х' обращаются в нуль (см.
примечание 17). 17. Чтобы установить инвариангность 0, образуем по законам матричного умножения тенаор а=2'.Р; тогда з=а„„+аоя+а,е. [Это !выражение есть «след» квадратной матрицы порядка и и, следовательно, инвариантно; см. равенство (4). 18. Как и в примечании 15, — ю'=о!т(Е' Ч) жй!чп. Формула (2.27) применяется к ] Йтп«(у, и легко проверить, что и„=С„' Ч, как я залпу сана в формуле (20). 19.
Эта общая форма аямыкающего уравнения была предложена и исследована автором в его работе, упомянутой в примечании 6. Наше урав- Глава / 519 невке (8') замеиеио там уравнением йц/йс+(1/9)3«ай р=Р. В рассматриваемом нами «идеальяом» случае (см. примечаяие 8) величины А, В, С и Р зависят от девяти перемеивых г, д »Ь р, 9, яо яе зависят от их производных.
В более общем случае в вырзжеяия для А, В, С и Р могут также входить некоторые производные первого и второго порядка от ц, р и 9. 44 20. В атой книге величины, соответствующие состоянию покоя, в общем случае обозначаются индексом з от английского слова 3«аула«1ов (торможевие). Но здесь мы воспользовались индексом О, так как зтим индексом обозиачево невозлущенное течевие, яа которое какладываются возмущения и которое ие обязателько является состоянием покоя (см. $5). В акустическом случае вевозмущеииое состоявие газа (воздуха) представляет собой состояние покоя; в аэродииамических задачах мы чаще рассматриваем малые возмущения в параллельном потоке. Осиовой теории малых возмущеиий также является волновое уравиевие. Обозначения, принятые в 4 4, применяются и в 3 5.
Теория малых возмущений,,играющая важную роль в аэродинамике, далев ие рассматривается в втой книге. Упомяяем следующие источники: книгу Уорда (14з а г й 6. Ы., 1йпезпзей 1Ь«огу о1 Ь(ЯЬ-зреей Почз, Ьовйов, Ые«в Чогй, 1955); краткую мовографию Гольдштейна (О о 1 й з 1 е 1 и Я., (йвеаг1«ей «Ьеогу о( зврегзошс 11о«г, подготовлеяа к печати Вай Ши-и (Рш Я. 1., 1вз1. 1ог Р)в(й Вуваш1сз авй Арр1. Ма«Ь.
()п1т. о1 Магу1авй, 1 ее«вге Яег. № 2, 1950), работу Имаи (1 ш а 1 1., Арргох1ша«1оп ше1Ьойз ш сошргезюЫе 11вЫ йуваш1сз, (ЬЫ., ТЫ ВН-95, 1957) и статью Оирса (Я е а г з %. К., Яша!1 рег«вгЬа«!оп «Ьеогу в книге (31), стр. 61 — 121). Ом. также примечавия П1.46, Ч.24 и Ч.64. 21. В своей знаменитой работе «ВесЬегсЬез звг 1а совгЬе две 1огше впе согйе «епйве ш(зе ев т)Ьга«)ов», Куд А/сай. )Р«зз. Вегпк, 3 (1747), 214, Даламбер рассматривает струну как иепрерывиузо среду.
Эта теория была заново открыта и тщательно разработана Эйлером. В другом исследоеаяип Эйлер и Лагранж рассматривали струну как совокупяость копечиого числа равиоотстоящих частиц и устремляли расстояиие между частицами в пределе к пулю; см., например, работу Лагрзшка «ВесЬегсЬез звг 1а ва«вге ез 1а ргорайаИов йв зов», М«зев)/аква Таис«кепс(а, 1 (1759), 1 — Ы2. 22.
Первая попытка дать математическую теорию ввука была предприпята Ньютоном. На освоваяви довольно тумаявых рассуждений ои вывел фоумУлу а«=УР»/9»з полУчив таким обРазом тот же РеаУльтат, котоРый получается при предположении, что движение является изотермическим. В издании «Рпвс! р)а» 1687 г. ои указал зпачекие 968 фут/сек (около 295 зв/сек); в издании 1713 г. 979 фут/сек (около 298 л/сок).
Исследоваиие, осиоваияое иа волновом уравнении при р=К9, восходит к Даламберу и Эйлеру. Возможность вычислеяий, осяоваявых яа другом соотношении между р и 9, была обнаружена, вероятно, в ХЧ1Н в. Физкческие рассуждеяия, обосяовывающие соотиошеиие р=К97 и соответствующее зиачевие а,=)' уро/9», были выдвинуты Био (1774 — 1867) (В 1 о 1 1. В., Явг 1а 1Ь4опе Прилег«анна и дополнения Ни зоп, У. РЬуг., 55 (1802), !73 †1], который указал, что он пользовался помощью Лапласа (1749 — 1827); этот результат был поаднее включен в книгу последнего (Ь а р 1 а с е Р. Я., ТгаН4 Не шдсапщие се!ез!е, Ь 5, Раг!з, 1825). Современное объяснение, основанное на понятии адиабатического процесса, стало возможным, конечно, лишь в Х1Х з. после создания механической теории теплоты.
Математики Даламбер, Д. Бернулли, Эйлер и Лагранж разработали значительную часть теории возникновения и распространения звука. В Х1Х в. эта теория была далее равввта трудами Пуассона (1781 — 1840), Стокса (1819 — 1903) и в особенности Гельмгольца (1821 — 1894), Кирхгофа (1824 — 1887) н Рэлея (1840 — 1919). В 1862 г. была опубликована работа Гельмгольца (Н е 1 ш Ь о 1 ! х Н., Гйе ЬеЬге чов Неи Топешр!!ийшйев а)э РЬуз!о!ой!зсЬе Опшб!айе Иг «Пе ТЬеопе Нег Миз!Ь; русский перевод: Г е л ь иг о л ь ц Г., О физиологических причинах мувыкальной гармонии, СПБ, 1896).
Книга Рэлея «Теория звука» [28] до сих пор является неисчерпаемой сокровищницей внаний по данному вопросу. (См. тамп«е историческое введение Линдон к книге Рэлея.) 23. См. работу, Пуассона [Р о ! з з о в Б. В., Яиг !е шоичешев! Нвз Пшйез е1аз!щиез йапз 1ез !иуаих суПпдгщиез, е! зиг !ез !Ьбог!ез дев !пз!гошев)з Ь чеи«, Мет. асаН. ге!. Раме, Эег.
2, 2 (1817), 305 — 402]. Мы пользуемся методом Пуассона в том виде, в котором им пользовался Рэлей [28), т. Н, п. 273. 24. Метод, которым мы воспользовались в этом пункте, представляет собой еметод спуска» («шб!Ьоде Не Нбзсеп!е») Адамара (Н а Н а ш а г Н !., Ьес!игез ов СаисЬу'з ргоЫеш ш 1шеаг рагНа1 оВПегеиНа1 ециаМоиз, Ралз, 1932, р. 49). Очень интересна статья по волновому уравнению с обсуждением принципиального различия между случаем нечетного и четного и (в нашем случае п=1 и п=З противопоставляется п=2), принадлежащая Риссу [В 1 е з х М., Ь'!и!48га[е Не В!ешавп — Ь!оичП1е е! 1е ргоЫбше Не СаисЬу, Аега Ма»Ь., 81 (1949), 1 — 223]. Более короткая статья того же автора почти под тем же названием представлена в Аипа1ез Соп!егепсев Не 1а геишоп !в!егпаМоиа!е без ша!Ьдша!!с!епз, Раг!з, 1937 (опубликованы ивдательстзом Саи!ЫегЧП!агз в 1939 г.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
