Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 104
Текст из файла (страница 104)
бее. Иггее. Сдмгпуеп, Магй;рйу«1й. К!., 8 (1858/9), 43 — 65, или Овяашше[ье ша1ЬешаМясЬе %егйе, 2 Авй., 1892, Я. 157]. См. также примечание 1Ч.5. 24. См. работу ПрандтляиБувемана (Р г а в 411 Ь., В и з е ш а ли А., Хайегвпйзтег1айгев гвг зе1сЬпепясЬеп Егш1Швв8 чоп еЬевев Эьгошвпйеп ш!1 ()Ьегясйа1!8еясйм!ве])8Ье!1, 81обо1а Рея!ясЬг!В, 1929, Б.
499 — 509), перепечатанную в книге [20], стр. 120 — 130. 25. Это — один из самых ранних результатов в теории течений сжимаемой жидкости, принадлежащий Сен-Веиану и Ванцелю [81. Ч е и а и ! В., 1Ч а в 1 з е 1 Ь., Мдшо(ге ез ехрйгбепсея яиг !'есов1ешевт е]е 1'а!г ЙЖегшше раг доя 4ГПйгевсея йе ргеее1опв сопзМдгаЫев, л. еео!е ро?угеей., Бег. 1, 27 (1839), 85 — 122]. 26. Мы отсылаем читателя к таблицам в книгах [34, 36„37].
Много диаграмм в книге [35]. Изобилует таблицами книга Ферри [Р ег г! А., Е1ешевзя о! аегобуввш!ся о! зврегяоп!с Поп, Нем Чогй, 1949; русский перевод: Ф ер ри А., Аэродинамика сверхзвуковыхтечений, Гостехиздат, 1952] й 9 2?. В свявн с этим следует сделать несколько замечаний относительно терминологии«*). Автор называет уравнения вида (2) планарними (р1аваг) независимо от того, зависят нли не зависят коэффициенты от семой функции Ф. Такой вид имеют уравнения для потенциала и функции тока.($ 16 и 24), а также для функции частицы ([ 12 и 15).
Уравнения этого вида иногда называются пееедолинейньиеи (рееве]о1!веет); см., например, книгу [7]. Если коэффициенты А, В, С и Р зависят от х, у, дФ!дх и дФ/ду, но не вавпсят от самой функции Ф, эти уравнения часто называются неаеиливейными (цваю1!веаг). Однако в монографии Трикоми [Т г1с ош 1 Р. О., Еея!оп! яи!!е ее(аах!ов! а бепчате рагз!а11, ТоНпо, 1954; русский перевод: Т р и к ом и Ф., Лекции по уравнениям в частных производных, Издатинлит, 195?] уравнение (2) называется квазнлинейным в том случае, когда А, В и С зависят только от х и у, в то время как Р может вависеть от х, у, Ф, дФ!дх, дФ/ду; такие уравнения обычно называются полулинейними (яеш(11пеаг).
Линейное уравнение второго порядка всегда записывается так: «) См. сноску на стр. 522.— Прим. ред. «*) Мы сохраняем в переводе это примечание как пример возможной терминологии, несмотря на то, что не пользуемся терминологией, принятой автором; см. сноску на стр. 120. — Прим. ред. причем коэффкциевты А, В, ..., г" и свободвый член С являются функциями только от в к у. 28. В ранних исследованиях главным образом иаучались характеристики одного дифферевцкальяого уравнения в частвых производных первого порядка или одного дифференциального уравиеяия в частвых пропаводвых второго порядка, см., например, книгу [3] л книгу Эокмерфельда [8 о ш ш е г 1 е 1 6 А., РагМеПе В!1(егеп!!»181е!сЬвпбеп бег РЬув!)с, 2 Апй., 1,е!рв!8, !948; русский перевод: 8 о м м е р ф е л ь д А., Дифференциальные уравнекия в частвых проиеводвых физики, Иадатяялит, !950].
В противоположность этому в настоящей книге и в работах [2, 4, 6, 21] в основу положены системы уравнений первого порядка. Этот подход был развит Адамаром [4] к Леви-Чявита [6]. Клита Адамара, указанная в примечавик 1.24 и предъявляющая более высокие требования к математической подготовке читателя, чем вто делаем мы, содержит в предисловии и в гл. 1 ивтересяые сведения по болев ранним работам.
Метод изложения, прииятый в нашем тексте и делающий особое ударение па «разрывных решениях» в снимаемой жидкости, дап в весьма сжатой форме в статье, укааапной в примечании 1.6. 29. Подробное изучение случая в=2, 7»=2 будет дано в $ !О. Случай л=З, в=2 рассматривается, например, в книге [7], стр.
!47 †!52, а случай в=2, Л=З вЂ” в книге [29], стр. 170. 30. Если уравнение такой характеристической поверхности записано в виде 1(*п л», ..., х„)=соле!, то ясно, что функция 7' должка быть решением дифференциального уравнения в частных проиаводвых первого порцдка, которое получается иа уравкеяия (1О') прк аамене Х ка 61/двв; (»=1,2, ..., в. Так пааываемый ковус Мовжа (см. [2], стр. 28, 67) для атого уравнения первого порядка является ковач«ской огибающей плоскостей, направления нормалей к которым удовлетворяют уравнению (1О'), т. е. конусом, сопряженным с конусом нормалей (см.
примечание 32). 31. В статье, укавакпой в примечании 1.6, Мизес ввел понятие ра»ры«- »»о»о р«и»»ния, чтобы раалкчать в тексте «условяя совместности» и «дополпятельпые уравпевия». Совокупность функции в, в, ..., аь называется раврывкым решением уравнений (9.6), претерпевающям разрыв па поверхности 8», если !) по обе стороны от поверхности бв все диффереяциальвые уравпения удовлетворены и 2) ло крайней мере одна иа функций и! или ее проиаводвых претерпевает раарыв при переходе черев 8». Мы увидим далее, что в общей постановке задачи в п.б такие раврывы при переходе черве характеристические поверхности 8« действительно во»вякают, включая «сильные» разрывы, т. е.
раврывы в самих переменных и;. Это определение приводит к критерию для решепия важного вопроса о том, какие иа й перемеявых могут претерпевать раарыв при переходе через Ю». Ясно, что перемеякая может претерпевать разрыв при соблюдения двух вышеукаааввых условий, если проиаводпая ее по нормали к Юч не входит в (7» — г) дополнительных уравнений (см. примечание 38). Вместо этого и Адамар и Леви-Чиввта кспольаовали специальное фиакческое рассуждение, чтобы показать, почему, например, в сжимаемой жидкости дав- 526 Примечания и доноянения ление не может претерпевать раерыва, а некоторые компоненты скорости не могут иэменяться проиавольно.
32. Уравнение (20) для трехмерного установившегося потенциального потока можно еаписать в следующем виде: (д» вЂ” ав) рв+(ди — ав) дв+(дв — ав)+2д»дврд+2додед — 2дзд»р=О где р и д — производные первого порядка от функции, прн помощи которой задается уравнение характеристической поверхности, р: д: — 1=)вс:2,в: Хв. Конус Монжа для этого уравнения, рассматриваемого как уравнение в частных проиаводных от функции, определяющей характеристическую поверхность, совпадает с нашим конусом Маха.
33. Теорию систем уравнений второго порядка, нз которой сразу следуют результаты для одного уравнения второго порядка, можно найти в работах [4] или [6], стр. 9. 34. Настоящие рассуждения применимы в самом общем случае вдвижения идеальной жидкости», рассмотренном в п.б.б.
Решение в случае упругой жидкости при и=3=4 можно найти в книге [6], стр. 63. 35. В п.4 статьи, указанной в примечании 1.6, Миэес также исследовал характеристики для случая, когда допускаются вяакость и теплопроводность. При обычных предположениях система уравнений в этом случае состоит иа четырех дифференциальвмх уравнений второго порядка и одного уравнении первого порядка. Соответствующее уравнение девятой степени для )ч превращается в проиаведение множителя д)а+Хе на полинам восьмой степени, который может обратиться в нуль только в том случае, когда все )чс равны нулю. Следовательно, е этой аадаче могут существовать только разрывы, связанные со множителем дав+)вв.
Испольэуя более раннюю работу Дюгема, тот же самый результат для нетеплопроводной жидкости получил Лампариелло [Ь а ш р а г 1 е 11 о С., ЗвП 1шровесЫ1Иа сП ргорабас1оп1 опс)оее пе1 Па(61 ч1есоэ1, Ассс ассад. наес. Ьснеес, ЛенсС. Ссавве вес. [св. тас. е нас., 8ег. 6, 13 (1931), 688 — 691]. 36. Пересечение исключительной плоскости в пространстве х, у, в, нормаль.)ч к которой удовлетворяет уравнению (27), с плоскостью х, у в общем случае не является линией Маха. Аналогично пересечение исключительной гиперплоскости в пространстве х, у, в, с, нормаль )ч к которой удовлетворнет уравнению (26), с пространством х, у, в в общем случае не являетсн касательной плоскостью к конусу Маха. 37.
Адамар [4] ввел другой подход, который часто использовался в недавних работах по механике сплошных сред [см. также ясное и сжатое наложение в работе (6) ]. Рассмотрим поверхность разрыва Я, неменяющуюся во времени. Если этот раарыв неподвижен относительно среды, то он называется стационарным раврывом [например, д)чс+)чв=О в уравнении (26)]; в противном случае он называется волной [второй множитель в уравнении (26)]..
В этой теории характеристическое условие (10) получается при помощи метода, совершенно отличного от метода, прнменяемого в нашем тексте. Глава 11 527 38. Таклм образом, применительно к случаю тройного корня наши пять исходных уравнений преобразованы в три «условия совместности» и два «дополнительных уравнения». Этими дополнительными уравнениями являются, во-первых, проекция уравнения Ныстона на направление )», во-вторых, уравнение нераарывности. Первое иэ этих уравнений включает производную от р в направлении 7«; следовательно давление р не кооюет попяться скачком при перекоде черве поверкяость, 'состоящую ив линий частиц. Рассматривая уравнение нераарызности аналогичным образом и сопоставляя полученные результаты, находим, что раврыв яоеут претерпевать только 9 и таквеяциолькая составляющая ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
