Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Эти важные результаты были получены Мизесом в статье, указанной в примечании 1.6, на основании принципа, разъясненного в конце примечания 31 и позволяющего избежать введения специальных физических рассуждений для объяснения того, что, например, 9 может претерпевать разрыв, а р не должно иметь разрыва.
Разрывы этих переменных (плотностн н тангенциальной компоненты скорости) при переходе через линии частиц (ливий тока в случае установившегося движения) действительно встречаются; они известны как контактные раарывы, вихревая пелена и т. п. (см. п.15.2). Здесь концепция Мизеса существенно отличается от концепции Куранта и Фридрихса [21[, стр. 129 и далее, и других, которые отождествляли контактные разрь«вы с ударными волнами. Согласно Миэесу, контактные разрывы в сжимаемой жидкости являются разрывами вдоль характеристик, удовлетворяющих условию (10), для которых сами переменные претерпевают разрыв, тогда как„строго говоря, ударная волна не представляет собой явление, присущее течению идеальной нетеплопроводной жидкости (см.
пА4.1, 14.2, 22.1 и 22.2). 1 10 39. Систему такого вида часто наэыва«от квазилинейной (см. также примечание 27). 40. В данном случае, когда п=)«=2, наши реаультаты могут быть получены на основании теории двух линейных алгебрэических уравнений с двумя неизвестными. Изящное представление условия вдоль этих линий дано в книге Зауера [7[, стр.' 63. Полная и симметричная система условий совместности (4а) (4г) и (5) является новой. 41. Эту теорему, сформулированную с большей математической строгостью, доказал Леви [Ь е»в у Н., ОЬег йаз Ап1апйз»чег1ргоЬ[еш Ье1 ешег Ьуре»Ьо1[зсЬев гйсй(!шеагев рагМеПев В11(егев«1а181е!сЬвпй зчсеНег Огйвввй шН з»ко[ апаЬЬавй[йев ЧегапйегП«Ьеа, »Иа«Ь.
Апп., 98, (1927), 179 — 191[. Доказательство имеется и в книге Курапта и Фридрихса [21), стр. 61— 62. Мы также снова отсылаем читателя к Леви-Чивита [6[, Трикоми (работа, указанная в примечании 27) н Зауеру [7). 42. Это рассуждение, которое в то же время дает метод численного решения, восходит к Массо [М а з з а и 1., Мбшо1ге звг 1'1в«ейгаМоп йгарЬ(Чае йез й(ва«1опз авх йбпчеез раг«Ы1ез, Оавй, 1900; перепечатано как «Ей[1(ов йв Сев«бва[ге», Мова, 1952[. Примечания и доаолнениа 43.
Мы видели, что метод Массо (см. примечание 42) становится иеприиеивмым, если какая-либо из поперечных линий имеет характеристическое иаправлеяие. Мы должиы, однако, предостеречь от ошибочного мнения, что если иет препятствий для применения втого метода (для достаточно мелкой сетки), то ои обязательно дает приближенное решение рассматриваемой задачи. Рассмотрим систему о' (ди/д*) и' (до/ду), оз (ди/ду)= =из(до/дз), характеристики которой представляют собой прямые ликии, проходящие под углом+ 45'. Оиа допускает частное рыпеяие и= [1+2(*о+ уз)) ', о =[1+4зу) е, для которого о- сео на гиперболе ау = — '/4.
Вдоль иехарактеристического отрезка, скажем, от точки (О, О) до точки(2, О) это решение прпвимает регулярные граничные значения и=(1-(-2зз) ', о = 1. Примеиеиие метода Массо (для данной сетки) к характеристическому треугольнику(0,0), (2,0), (1,— 1) не встречает никаких трудностей (все поперечные линии можно ваять горизоятальяыми, и, таким образом, ови нигде пе будут иметь характеристического направления) и приводит к хорошо определеяиым конечным значениям, которые пе дают никакого указания яа особеаиость в точном решении.
С другой стороны, в достаточно малой окрестиостп отрезка(0,0),(0,2), расстоякиеточек которого от оси х пельше, чем 1 — )/ 3/2, точное решение всюду конечно, и метод Массо дает приближеяие к яему. (Этот пример был получен Гейрингер от Шиффера.) Мы яе хотели бы создавать впечатление, что подобная же ситуация возникает в гидродинамике, хотя обратного еще никто ие доказал. 44. Может возникнуть вопрос, можно ли наложить иа коэффициевты системы (1) соответству1ощие ограиичеяия так, чтобы исключить случаи, оппсапяые в примечании 43.
Ответ отрицателен, так как для нелинейных диффереициальвых уравнений особые точки решений яе определяются особыми точками коэффициеятов. Например, общее решение у=(а — а)-т обыкяовекного нелинейного уравнения ду/На=уз имеет полюс в точке з=а, существоваяие которого никак иельая предсказать по коэффициентам уравнения. 45. Часто ошибшотся, считая, что в аадаче с граничными условиям~, заданными яа характеристиках, гаравтируется решение в малой окрестпости дуг АВ и АС. В действительности оио гарантируется только в окрестности точки А (соответствующие примеры можно построить различвыми способами).
Интуитивно это ясно из сравнения рис. 45 и 46. На рис. 45 вся последовательность точен А 'В', примыкающих к АВ, определяется иепосредственно через даииые значения иа АВ; ка рис. 46 только положевие точки Р, определяется яепосредствеиио заданными зиачеииями. Для всех остальных точек, скажем для точек, примыкающих к АВ, мы должны, кроме заданных значений, пользоваться вкачеииями, вычисленными в точке Р, и т.
д., следовательно, требуется некоторая ревиомеряость втих вычисленных зпачеиий. Строгое математическое доказательство существования для этой краевой аадачи принадлежит Леви (см. работу, указакиую в примечаяии 41) и приведено также в клите'Курапта и Гильберта [2), где эта задача сведеиа к аадаче о системе обыкиовеивых дифферепциальяых уравнений 46. Для усмешаипой» краевой задачи, когда задавы совместимые аиачеиия и и о вдоль характеристики АС и одно из перемеявых вдоль АА„ суще- Гааза 11 529 ствовэние может быть доказано только в окрестности точки А . Относительно этих краевых задач болев общего вида см.
работы Беккерта [В е с Ь в г ! Н., ()Ьи с(ваз!1(веете ЬурегЬо11зсЬе Бух!вше рвгг!е11ег В!1(егевс!е131е!сЬппйев егв!ег Огйвввб ппх хчес впаЬЬэвй!йев гаг!аЫеп. Вез Ав!элбзчтегсргоЫеш, гВе беш!зсЫе Кавймегсви1явЬе, йаз сЬвгэйсвг!в!!зсЬе РгоЫеш, Вет. Узтйатий. засйз. АС«ай.
Итгзз. В««расу, Масй;)уаситит. ХС., 97 (1950), 68], Хэкэ и Хельвнга [Н а а с !с Кт., Н е 1 1 и с 6 О., ОЬег Бух!вше ЬурвгЬо1МсЬег В!1(егевс!в[6!в!сЬовбеп егзсег Огйпввб, 1, Ма!в. У., 53 (1950), 244 — 266; П, тэм же 340 — 356], а также Куранта и Накса [С о в г а в ! К., Ь э х Р., Ов посй!. пеаг рэгМа! й!НегевИэ1 ебвас!овз (ог (эвсс1овз о1 !тго шйерввйев! таг1аЫев, Саттаииз. Рите аий Арр(. Магд., 2 (1949), 255 — 273]. 47. Римви развил этот метод в работе, указанной в примечании 23, в качестве приложения к изложенной там физической теории. Он рассматривает уравнение, которое совпадает с уравнением (12.43), за исключением того, что коэффициент 2с(з+ц) заменен на коэффициент — т, явлнющийся функцией от 3+0.
Его метод полностью объясняется на етом примере. Общее уравнение (И) было впервые подробно рассмотрено Дарбу [Б а г- Ь о и х О., Ьедовз звг 1а сЬеопе йевега!е йев зиг(ввез, 2 ей., !.П, РаПз, 1915, 1ей., 1888]. 48. Формула (17) называется формулой Римана. Метод Рнмена был обобщен многими мвтематвками, прежде всего Адэмзром, который в работе, указанной в примечании 1.24, развил теорию интегрирования для общего линейного уравнения второго порядка с я независимыми переменными. См. книгу Зауера [7], стр.
194, книгу Бергмана и Шиффера [1], стр. 365, и работу Рисса, укаэанную в примечании 1.24. 49. Относительно определения функции (7 Римэн добавляет: «Определение такого решения (нэшего О) часто становится возможным при рассмотрении частного случеяв э Вебер, издатель трудов Рнмвнв, поясняет это замечание следующим образом: так как определение (С не зависит от частных гравичвых условий для (т, то мы можем попытаться найти частное решение (т для специально выбранных граничных значений функции У и ее производных нв специально выбранной кривой С; тогда формула Римана (17) дает О.
Эта простая и очень плодотворная идея выполнена для урввнення Римана (см. примечание 47). 50. Относительло примеров функций Римана см. п. 12.4 и примечание П1.22. 51. На данном этапе наша точка зрения такова: если все переменные рассматриваются кэк функции и и и, то а(и, и) и у(и, и) должны удовлетворять уравнению (22) при условии, что после обращения (которое гарантируется условием уфО) и(а,у) и г(ату) удовлетворяют уравнению (1). Не все решения уравнения (1) могут быть получены таким образом: те, для которых 1=1/у обращэетсн в нуль, будут «потерявыз (см.
$18). Если два преобразования — преобразование плоскости э, у в плоскость и, и и обратное преобразование — рассматрившотся раздельно, то мы видим, что 1~0 является условием воэможности первого, а уфΠ— условием возможности второго. Дальнейшие сведения можно найти в Э 17, 18 и 19. 34 р. мизес Примечания и допопненин ГЛАВА 1и 1 !1 1. См. примечание 1АЗ. 2. Полный качествеивый анализ этих течений был дви Ладфордом [Ь»1 й 1 о г й О. 8.
8., ТЬе с1аяз»ПсаПоп о1 ове-й!шева!опа) Потчя апй !Ье йепега! яЬос!1 ргоЫеш о1 а сошргсяя!Ые, ч)ясопя, Ива!-сопйас!шб ПаЫ, У. Аеголаип Юсг.» 18 (1951), 830 — 834; русский перевод: Л а д ф о р д Дж., Классификация одиомераых потоков и общая задача скачка в сжимаемой, вязкой и теплопроводпой жидкости, сб. Механика, № 5 (1952), 27 — 35]. Для частного случая Рг=е/» [см. уравнение (32)] уравкепия могут быть проинтегрированы в явном виде; см. статью Мордухова и Либби [М о г й во Ь о чч М., Ь 1 Ь И у Р.
А., Оа а сошр1е1е зо1в1!оп о1 !Ье опе-й1шепя!опа! По»ч ецпаПовя о1 а ч1ясовя, Ьеат-сопйпс!!Вй, сошргеяя!Ые бая, У. Аеголаиг. Яс!., 16 (1949), 674 — 684; русский перевод: М о р д у х о в М., Л и б б и П., О полном решении уравяепий одномерного течопия вязкого теплопроводного сжимаемого газа, сб. Механика, № 1 (1950), 22 — 38). 3. См. Работу Тэйлора [Т а у 1 о г О. 1., ТИе соайП!оаз песезяагу 1ог й!ясов!!Ваоая шо!1ов ш баяая, Ргос. Коу. Бес., А, 84 (1910), 371 — 377].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
