Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Соответствующие изменения в 4 11, которые приводят к этому результату, получаются путем сохранения в уравневии (11 5) выражевия У вместо замены его на уЛ Т)(Ч вЂ” 1) . Полное обсуждевие этого вопроса можно найти в работе Джилбарга, укавапной в примечаиии 3. 'Гогда в оставшейся части этого пункта должвы быть сделаны аналогичные изменения. 43. 'Гакие решения называются также слабыми решениями уравиеиий теории течеиия идеальной жидкости и могут определяться и некоторыми ивтегральнмми условиями; см., например, работу Лаков [Б а х Р. В., 1ш11а1 ча1ае ргоЫешз 1ог поп-11пеаг ЬурегЬо11с епва!(овв, Сои!гас! Ыовг 58304, Пер!.
Ма1Ь., Уп1ч. Кавзаз, ТесЬ. Вер(. 14„1955, р. 13 — 57]. 44. См. работу Римана, указанную в примечавии 11.23, работу Репнина, указанную в примечании 3, и работу Гюгонио, укавакную в примечании 32. Гюгоиио также считал доказанным существовавие этих разрывов. Ренкин подтвердил его результаты, основываясь только ка теплопроводиости, по ие обнаружил, что этот случай является особым. Ни Римаи, ви Ренкик, ни Гюговио не включали в условия неравенство (14.9) и, следовательно, рассматривали как скачки сжатия, так и скачки раврежекия (см. следующий пункт).
Рэлей в работе, указанной в примечании 3, дал обзор литературы по данному вопросу и, в частности, подтвердил условия Ренкииа— Гюгопио на скачке па основе теории течевия вязкой жидкости; см. также работы Рюденбврга [В 6 й е и Ь е г 6 В., ОЬег й!е Рог!р11апзвпбзйезсЬче!ий[БЬе!1 ппй 1шра1ззтагйе чов Чегй(сЫпвбзз(оззев, АгмПег!емеейе Малагой. )Чое., 113, Ы4 (1916), 237 — 265; 285 — 316] и Лайтхилла (см. примечание 3). 45. См. примечание 42. Результаты, получаемые в следующих пунктах, были распространевы яа случай иесовершевного газа; см. работы Дгогема Бете и Вейля [В и Ь е ш Р., Яаг 1а ргорайа1)оп йез опйез йе сЬос ап зеш йез ПвЫев, 2. рйуе!7е.
Сйет., 69 (1909), 169 — 186; В е 1 Ь е Н. А., ТЬе !Ьеогу о1 зЬосЬ иачез 1ог ав агЫзгагу вцпаМоп о1 зза1е, ОЯВВ Верь. № 545, 1942; ЪЧ е у 1 Н., БЬосЬ чеачаз ш агЬ)!гагу Пв!йз, Соттиое Риге Арр!. Маел., 2 (1949), 103 — 122]. 538 Примечания и допоянения 46. Эта обстоятельство часто кладется в основу приближения, в котором результаты, полученные в 4 12 и 13, снова используются за скачком. См., например, работу Фридрихса [Р г ! ей г ! с Ь з К. О., Рогшаз!ов авй йесау о1 зЬосЬ матов, Соттипв Риге Арр!. Маей, 1 (1948), 211 — 245[и работу Пиллау, указанную в примечании 35. См.
также примечавиеЧ.24 и работу Лайтхилла, указанную в примечании 3. 47. Для этого случая равенство (14.22) эквивалентно соотношению Прандтля, см. примечание Ч.25. 48. Эта кривая называется кривой Гюгонио. Бали бы переход из состояния 1 в состояние 2 был связан с адиабатическим процессом при отсутствии вязкости, то эта гипербола заменялась бы кривой цьт=1, которая асимптотически приближается к осям 9 и в) и касаетсн гиперболы в точке А. 49.
См. работу Гюгонио, указанную в примечании 32, и предыдущее примечание. 50. Это замечание и то обстоятельство, что изменение энтропии при переходе через скачок является величиной третьего порядка малости атно- сительно разности Е, — Е„ приводят к теореме, аналогичной той теореме для плоского установившегося течения,которая будет рассмотрена в п. 23.1. Отличие состоит только в том, что 6 заменяется на и, Р теперь будет функцней р, Е и и, а ее производные будут таковы: дР Е дР дР , / дР Е дР Ь дР р'=еа — + — — + — и р= — [ Еа — + — — )+ —.
др а дЕ ди [ др а дЕ ) ди ' 51. См. работу Римана, указанную в примечании 11.23, в которой рассматривается задача о начальном разрыве, разделяющем области однородного течения. Более точное рассмотрение см. в книге Вебера (33), стр. 522— 531. Два начальных разрыва в этом примере эквивалентны частным случанм разрывов, рассмотренных Риманом (отражение начальных условий около г=0, х=!). Более общее рассмотрение задачи Римана принадлежит Куравту и Фридрихсу [С о п г а в ! В., Р г 1 е й г ! с Ь з К. О., 1п!огас!!оп о1 зЬосЬ апй гаге(ас!!оп мачез !и ове-йппевз!ола! шоПоп, ОЗКВ Бер!. Рй 1567, 1943[. 1 15 52. Эта задача отражения была рассмотрена Гюгонио (см.
примечание 32), который исследовал также последовательные отражения от равномерно движущегося поршня и неподвижной стенки. В болев позднее время она привлекла внимание Пфрима [Р 1 г 1 е ш Н., Нейех!опзбше!хе Рбп еЬеве ОгасЫюеПеп йгоззег ЗсЬчипйапйзме!!е, рогвел. Сед!еее 1пдеп!еигюегепв, 12 (1941), 244 — 256). 53. Этот результат был получен Гюгонио, который в рабате, указанной в примечании 32 (стр. 94), рассмотрел и использовал соответствующий разрыв.
54. См. работу Гельмгольца, указанную в примечании 11.23. 55. См. Раздол о теории крыла Ланчестера — Правдтля в книге Мизеса и Фридрихса [25), а также гл. 1Х книги' [16). Глава П1 539 56. Существование контактных разрывов в течениях со скачками впервые было отмечено Дж. Нейманом [Н е п га а и в 1., ТЬеогу о1 яЬос!с тватея, ОЯВП Вар!. № Н40, 1943]; см. также примечание 53. 57. Отражение, рассмотренное в п.1, эквивалевтно частному случасо данной задачи, в котором два скачка имеют равную интенсивность. Второй тип взаимодействия имеет место тогда, когда два скачка двигаются в одном и том же направлении так, что один догоняет другой. Изучение взаимодействия скачков и волн разрежения в одномерных течениях было проведено Курантам и Фридрихсом (см.
примечание 51). Теория и эксперимент сравниваютсн в работе Гласса и Паттерсона [6 1 а я я 1. 1., Р а ! с е г я о и 6. Х., А СЬеоге!!сэ) авй ехрепшепга1 яспйу о1 яЬос!с-!пЬе 1!омя, у. Аегокаис. Бе!., 22 (1955), 73 — 100; русский перевод: Г л а с с И., П а т т е р с о н Г., Теоретическое и экспериментальное исследование потоков в ударной трубе, сб.
Механика, № 2 (1956), 3 — 51). 58. Теорема, упомянутая в примечании 50, предскааывает, что и=ив+из с точностью до малых второго порядка (см. аналогичный результат в п.23.6). Следовательно, в этом примере (ив+ив))ив=2/(бг' 7)=0,1512 равно приближенно вычисленному значению х, вто находится в хорошем соответствии с результатом, получевяым при рассмотрении интенсивности скачков.
59. Идея метода, описанного в этом пункте, принадлежит Мизесу. Она была развита Ладфордом, Полячеком и Зегером [1.п й 1 о г й 6. Б. Б., Р о1 а с Ь ей Н., Б е ей е г В. 1., Ов пвясеайу Поп о1 сошргеяМЫе чисопя Пв!йз, Х. Арр!. РАув., 24 (1953), 490 — 495; русский перевод: Л а д ф о р д Дж., П о л я ч е к Г., 3 егер Р., О неустановившемся течении сжимаемой вязкой жидкости, сб. Механика, №. 1 (1954), 70 — 80]. 60. См. работу Дж.
Неймана [)Ч е п сп а и и 1., Ргорояа1 авй апа1увя о1 а печ впшепса! шесЬой 1ог СЬе !сея!шел! о1 Ьуйгойупаш1с зЬосй ргоЫешз, НПВС Арр!. МасЬ. Вер!. № 108ЛВ, 1944]. Нейман установил, что частицы приобретают малые колебания, которые накладываются на их траектории после прохождения через положение скачка. Он свявывал этот процесс с иаменением внутренней энергии. 61. См., например, работу Гейрингер [6 е с г ! и 9 е г Н., Оп ппшеНса1 шесЬойя 1п згате спсегасг!оп ргойепш, Айтапсез !и арр11ей шесЬасцся, тЛ, !948, р. 201 — 248) и замечания Фридрихса в книге [31), стр. 50 — 58. 62. См.
работу, упомянутую в примечании 59. Второй подход, дающий аналогичный эффект, ваключается в изменении закона вязкости, см. работу Дж. Неймана и Рихтмайера [Кепшапп 1., В1сЬсшеуег В. П., А шес!сей 1ог сЬе пвшегсса1 са1св1аИоп о1 Ьуйгойуваппс яЬос!ся, Х. Арр!. РЪуе., 21 (1950), 232 — 237; русский реферат: Н ей м а н Дж., Р и х т м а йе р Р., Метод численного расчета гидродинамнческих скачков, сб.
Механика, № 1 (1951), 27 — 30] и работу Мизеса, указанную в примечайии 1.6. 63. См. примечания 46 и У.45. 64. Данные результаты получены Мартином [М а г с ! и М. Н., ТЬе ргораяаИоп о1 а р1апе яЬос!с шсо а цп!е! асшоярЬеге, Сак. Х. Масй., 5 (1953), 37 — 39].
Этот подход к решению задачи был развит Ладфордом и Мартином [Ь в й 1 о г й 6. Я. Я., М а г С ! и М. Н., Овс й!шепя1ошй аз!вел!гор!с Пома, 540 Примечаниа и допоанонип Соттипе Риге Арр!. Ма>Ь., 7 (1954), 45 — 63] и Ладфордом [Ьпй1огй О. 8. 8., Оепегэ1Ией К!ешапп шчапвл!з, Рос!/!с Х.
Ма>Ь., 5 (1955), 44!в '450]. ГЛАВА «Ч $16 1. Если чеРез 9« обовначить хаРактеРнУю плотность, а чеРез фх и фэ— частные производные от >Р, то уравнение (21) можно заменить уравнением фхх ~фэ> — ( — ) ~ — 2фхэфхфэ+фэз ~ фхз — ( — ) ~ =О. Здесь (9а/9,)' — известная функция от ф*+фэ (см. п.24.2). В тех же обозначениях уравнение второго порядка для установившегося течения с осевой симметрией будет иметь вид ф, ~ ф„* — (" — йа)'1 — 2ф., М,+ф„~ ф„— ( — "')'~+"— "(" — ")'=О. Здесь (9а/9«)> — известяая функция от (1/у') (ф/>+фу). Если течение является аднабатическим, но необязательно баротропным, то уравнение (16.21) заменяется уравнением (24.9). 2. Задача об неустановившемся одномерном течении '(гл.
1П) невависимо даже от того обстонтельства, что она всегда является гиперболической, оказывается значительно проще рассматриваемой теперь задачи. В [ 12 мы могли укавать некоторые общие решения в явном виде. В рассматриваемой же вадаче никаких подобных решений не существует. 3. Относительно характеристик как линий Маха см. примечание 1.25. 4. Можно рассмотреть два математически интересных частных случая: а) случай, когда характеристики в плоскости х, у прямолинейны; б) случай, когда характеристики в плоскости и, о прямолинейны (см. Зауэр [7), стр. 90 и далее).
В нашей вадаче оба этих случая могут быть реализованы с помощью рассмотрения специально выбранного вида соотношения между р и 9: первый случай — с помощью соотношения, предложенного Пересом и Мунком р=А+В[агс!8 9 — йг(1+9>)], а второй — с помощью соотношения р= =А — В/9 (см. п.17.5 и 17.6), приложенного к сверхзвуковому течению (см., например, [7], стр. 100 и далее). С фивической точки врения такое приложение является спорным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
