Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Н., 'Гччо-й!шепзюва! сошргеяыЫе 11отчя Ьач!пй агЫ!гап1у ярес)Пей ргеязше й1з!пЬи!1оы 1ог йаяея аИЬ йашша ев]иа! !о ш!пиз опе, Эушроюиш оп ТЬеогеИса1 Сошргеяя!Ые Р1очв, ЖЬИе.Оа)г, Магу)апй, 1949, 1 — 32]. 20. См. статью Линь Цзя-цзяо [Ь 1 и С. С., Ол ап ех!еышв о! !Ье чоп Кагшби — Тя!еп ше!Ьой !о !мо-й1шепя!опа! яиЬяошс !1оня и!!Ь с)гси1а!!оп агошк1 с1озей ргоП1ея, 4!иагц в.
Арр!. Маей., 4 (1946), 291 — 297], перепечатеиную в сборнике [20), а также работу Берса [В е г я 1., Оп а шетЬой о1 сопя!гис!!пб 1мо-й(шепя!опа) зиЬяоп1с сошргеяя)Ые Йощя агоний с1ояей ргоБ1ез, Ь?АСА ТХ 969, 1945) н работу Джелбарта [О е 1 Ь а г ! А., Оп яиЬяоп)с сошргезя[Ые Потея Ьу а ше!Ьой о! соггеяропйепсе, МАСА ТХ И70,1945). Простой метод, принадлежащий Еккелю [1 а е с Ь е1 К., Чета!16ешешегипй йея Тя1еп'зсЬеп Чег]аЬгеия], описан Лайтхнллом в [24], т. 11, стр. 250. 21. См., например, книгу Мили-Томпсона [М 11 и е-Т Ь о ш р з о и Ь. М., ТЬеоге!!са! аегойупаш[сз, Хечч Уогй, 1947, р.
128 и далее]. См. также оригинальные статьи Мизеса [М'1я ее Б., 2иг ТЬеопе йея Тгай!1йсЬепаи(- !г!еЬез, егз!е М!!!еПипй, 2. Р!идгееш Магог!и)гвед!Гуайгг, 8 (1917), 157 — 163; зчче!!е М!!!е11ипй, тям же, 11 (1920), 68 — 73 и 87 — 89]. 22. См., например [31], стр. 505. Оригинальные исследования Цянь Сюэ-сэня см. в статье, указанной в примечании 15. 23. См. [31), стр. 509, и статью Цянь Сюэ-сзня (см. примечание 15). 24.
См. работу Берса [В е г з 1., Ап ех1з!епсе 1Ьеогега 1п смо-й[шепя!оиа1 йая йупаш!ся, Ргос. зушр. Арр1. Ма!Ь. (А.М.8.), ч. 1, 1949, 41 — 46]. Г вава 1г' 545 4 18 25. Двумерные простые волны изучались Прандтлем [Р г а в й 11 Ь., Неве Пп!етяасЬппбеп 6Ьег й!е я1гошепйе Вепейввй йег Саяе шн1 Пйшр(е, Рйуяг)г. 2., 8 (1907), 23 — 30]. Их систематическое описание было дано Мейером [М е у е г Т., ОЬег зпе!й!шепа!опа1е Вепершйзчогйапйе !в ешеш Сая, йая шИ ОЬегясЬаПйеяс]пгпн113йе!! яггбяа1, ]гсгждилуяй.
Рег. Ыеик 1лб., 62 (1908), 31 — 67; перепечатано в [20]]. Двумериые простые волвы часто называют течением Прандтял — Мейера. См. также примечаяие 1П.31 и статьи, упомянутые в примечании 29. 26. В простой волне параметры течения постояивм вдоль прямых линий; иначе говоря, ояи зависят только от угла ф, который такая ливия образует с некоторым фиксированным направлением. В этом отяошеияи простая воина подобна течеииям, рассмотрепвым в 4 17 (вихрь, радиальное течение, спиральное течение), где параметры течении зависят только от радиуса. 27. Коническое течеяие, т. е. течение, в котором параметры постоялвы на лучах, проходящих через один цеитр, мокше рассматривать как обобщение течения в цеятрироваиной простой волне (см., например [27], стр.
262). Если в дополнепиек этому свойству течение обладает еще осевой симметрией, то тогда поверхностями постоявпых значений параметров будут круговые конусы. См. статью Тайлора и Мак-Колла, упомяпутую в примечании 11.21, и статью Мак-Колла [М а с с о 1 1 !. %., Тйе сошса1 яЬосй паче 1огшей Ьу а сове шоч!пб а! ЬййЬ яреей, Ргос.
Псу. Бес., А, !59 (1937), 459 — 472]. В работе Гизе [0!ее е 1. Н., Сошргезя1Ые Вопя пПЬ йейевегаге ЬойойгарЬя, АЬегйеев Ргоч!пй Огоивй, Ва1!!я1!с ВеяеагсЬ Вер1. 657, 1948] проводится систематическое исследование устаиовившихся течений с вырожденными годографами. Автор рассматривает двумеряые течения с одномерными годографами и трехмерные течения с одно- или двумерными годографами. Течения с одвомервыми годографами строятся как простые волвы, а другие течеяия — как двойные воляы. См.
также яеизэнтропические простые волны из п.15.7. 28. Числеяные примеры изложены здесь более подробно, чев» обычво, для того чтобы выяснить и проиллюстрировать условия, при которых существуют два решения, одно решение или яе существует ии одного ржпенив. Подобной же целью вызваяы наши замечания яа стр. 335 о даияых Коши. См. также п.
20.4, где мы рассматриваем еще одно, но совсем другое течение сжимаемой жидкости около угла. Оно удовлетворяет, конечно, иным грапичиым условиям. 29. Примеры, выбранные в этом пункте, апалогичяы примерам, приведенным в [21], стр. 282 и далее. Однако все рисунки вдесь построены заново Гибсоном. См. также статью Гиве (примечаиие 27), статью Стейнберга [Я ! е1 в- Ь е г б Ь., ТЬе йеошеггу о1 1Ье епче1оре о1 МасЬ 1!вея 1огш1пй а сошргеяз1оп паче, ОЬ[В Сов!гас!562 (07), Огай. П(ч.
Арр1. Ма1Ь., Вготгп Пшч., 'ГВ 4, 35 р. мвэес Примечания и дояоянения 1955, 1 — 41] и статью Мейера [М е у е г К. Е., Оп геачся о1 Ппйе ашр1Нвйе 1п йвссз. 1. Жаче Ьоп1з. Н. Жачев о1 шойегасе ашр1!1вйе, 4!иагь е. Месй. апй Арр1. МаП»., 5 (1952), 257 — 291). й 19 30. Поынтие предельной линии (но ые сам термин) появилось в упомянутых и выше статьях Тэйлора (см.
првмечание 11А7) и в статье М. У. Клаузера и Ф. Х. Клаузера [С1 а па е г М. О., С1ав ее г р. Н., ]чем ше1Ьойз о1 яо1ч(вй 1Ье ег)вас!овз 1ог 1Ье Почи о1 сошргезз1Ые Пп1йя, ТЬея1з, Са1Иогп1а 1взс. ТесЬпо1., 1937]. В 1937 г. в статье, указаиыой в примечании 13, Толмпн определил и исследовал точное траысзвуковое решение, имегощее предельную линию (»Огепз1[п[е»), за которую течение нельзя продолжить; он установил ыекоторые свойства такой линии. В 1940 г. Ринглеб в статье, укаэанной в примечании 12, дал пример предельыой линии с точками возврата и подробно изучил такую линию. Карман [К 4 г ш 4 и ТЬ., Сошргезз1Ьг11- !у еПес!я !в аегойувюшсз, е.
Аегопаив дс!., 8 (1941), 337 — 356] рассмотрел этот вопрос в целом и получил некоторые новые ревультаты (см. также наше исследоваыие в п. 25.4). В другой статье Ринглеба [К 1 и 8 1 е Ь Р., ОЬег й1е ЕййегепПа181е1сЬппйев е1пег ай[аЬа1!зсЬеп Оаяясгошпвб впй йеп 81гошвпдяя)ояз, Рень. Ма!А., 5(1940), 377 — 384) некоторые результаты, найденные ранее им н другими авторами, доказываются длн общего случая (вта статья, однако, представляется спорной). Термином «81гошвпйззсозз» Ринглеб обозначает геометрическое место таких точек, где ускорение становится бесконечным и где линии тока имеют точки возврата. Эта проблема была рассмотрена еще раз Толмином [Т о11ш! е в Ж., Огепя)!п1еп ай!аЬа!!ясЬег Россы!!а!ясгошвпйеп, 2.
аяуею. Магд. ипй Месйн 21 (1941), 140 — 152), причем были получены некоторые новые результаты. Однако ни в одной пз этих ранних немецких работ не было проведено общего исследования точен возврата предельной лиыии (см. и. 4). Это относится также и к книге Куранта и Фридрихса [21), стр. 74 — 80 и стр. 248 — 250. Течение, аналогичное течениго Ринглеба, впоследствии было найдено и исследовано Темплом и Ярвудом [Т е ш р1е Он г а г ма ой 1., Сошргеяз1Ые Поч !п а совчегйепс-й!чегйеп!. позз1е, А.В.С. Персе.
опд Мет., 2077 (1942) [. Физический и математический смысл предельных ливий рассматрпваетсн в работе Цянь Сюэ-сеня [Т з 1 е в Н. 8., ТЬе 1!ш!!!пд 1!ве )п ш1хсй явЬяоп!с апй зврешошс Пом о( сошргеяз[Ые Пшйя, НАСА ТН 961, 1944]. См. танисе работу Цянь Сюэ-сэня и Го Юн-гуан [Т я г е в Н.
8., К в о г. Н., Тво-й)шепа!опа1 ыгосаПопа1 ш)хей звЬяошс апй зврегзошс По»ч о1 а сошргеяя!Ые Пшй апй 1Ье вррег сП11са1 МасЬ ппшЬег, МАСА Т)ч 995, 1946). Систематическое описание, содержащее также тщательное исследование точек возврата предельной лилии, некоторых особенностей высшего порядка в т. д., дано Крагсом [С г а 8 8 я 1. Ж., ТЬе Ьгеаййочш о1 1Ье ЬойойгарЬ !гапя1опша1(оп 1ог пто!аИопа1 сошргезз1Ые Пшй По»ч 1в 1»чо.й!шепз)опя, Ргос. Сатд»Яде Рй!!ое. 8ос., 44 (1948), 360 — 379). Продолжение библиографии см. в примечаиинх 32 и 35 и в п.
25.4. Глава / у 547 31. Изображеыие предельной ликии в плоскости годографа часто кааывают также предельной линией (то же отыосится и к линии ветвления), подобью тому, как мы используем термин влииия токае в данной книге. 32. Наш метод отличается от методов, применявшихся в [24] и в работах Крагса, Лайтхилла, Кураыта и других авторов, упомянутых в примечаиии 30. Тот же метод использовак в статье Мейера [М е у е г В. Е., Росыз[лй ейес1з 1л 1мо-вНшепз)опа1 зырегзов]с 11ом, РЬПав.
Тгапв. Лау. 8ее. Еапдап, А, 242 (1949), 153 — 171]. В этой статье, однако, рассматриваются ие основные свойства линий ветвления и предельных линий, а более топкие задачи с точки зрения римаковой геометрии. Маыдель [М а и е] е1 1., Ев(ш115гез раг згалсЬез р1апез е]ез зо1!в]ез й 1а 1поНе 4Мсоо1ешеп1, РаНз, 1942] в теории плоского идеально пластичного тела изучает таким же методом отображеыие физической плоскости ка «плоскость напряжений». На нашем изложеыии скавывается влияиие главным образом работы Манделя. 33.
Уравкеыия (7), которые соответствуют целям этого параграфа, могут быть упрощены, если а + 90'. Положив Мк 2а 1 — а'Я' рассмотрим в качестве кезависимой переменкой Д, а ие д и обозначим штрихом ' диффереыцироваыие по 47. Тогда, введя фуыкцыво ТЯ) с'помощью равеыства Т ' / Т= — 2 соз 2а/А и функции е, и е, с помощью равеиств )вв= ее/ у' Т и/вв=ев/у' Т, получим непосредственным вычислением следувощие простые уравыепия: А дев/дт) =ее, А дев/д5= е,; из ких следует, что Ав — +АА ' — — е, =0 и Ав — + АА ' — — ев = О. дзед, дев деев , дев д5 дв) ' дв) д$ дт) д$ 34.
Здесь можыо привести следувощую геометрическую интерпретацию. Соответствие между плоскостью х, у и плоскостью 5, в) определяет в четырехмерном пространстве х, у, 5, ц некоторое двумерыое подпростраиство ,Т. Многообразие,7 состоит из двух листов, связаиыых вдоль «иетинноеа вентура»; проекции зтих листов ыа плоскость х, у перекрывают ыекоторую область дважды. Линия квв плоскости х,у (и аналогично ликии,~в) является частью проекции истинного контура.
Рассмотрим кривые, которые проходят через некоторую точку хй ив вТ и'пересекавот истикыый контур. Проекциями таких кривых иа плоскость х, у будут проходящие через точку дв (см: рис. 126) кривые, которые либо касаются проекции Хы либо в исключительком случае имеют здесь точки возврата. С этими соображениями можно сравнить геометрические идеи Ггогоиио (примечаыие 1Н.32) для одыомерного кеустаковившегося течения, которые приводили к понятию «ребро возврата». 35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
