Р. Мизес - Математическая теория течений сжимаемой жидкости (1161654), страница 112
Текст из файла (страница 112)
статью Крафта и Дибла [К г а 1 ! Н., В ! Ь 5 1 е С. О., Боше !мо-й!шепа!ова! ай!вЬа!!с сошргезз!Ые Пов. рашегэз, Х. Аегопаиг. Юе!., 11 (1944); 283 †2]. 52. См. работу Чжана и О'Брайеи [СЬ а и 8 С. С., О'В г ! ел Ч., 8огсе ехас! зо1пИоы о1 !вой!шевз1опа1 Почв о1 сошргезз!Ые ПвЫ чв!!Ь ЬойойгарЬ ше(Ьой, НАСА ТХ 2885, 1953]. 53.
См. статью Крагса [С г а 8 8 з 1. ЬЧ., ТЬе сошргеез!Ые Погч со1тезропй!пй !о а 1(ве йоаЫег, Оиагп Арр!. Ма!Ь., 10 (1952), 88 — 95; русский перевод: К р а г с Дж., Плоский диполь в сжимаемой жидкости, сб. Мекакика, йй 4 (1953), 106 — 110]. 54. См. часть П1 мемуара Чаплыгина, укаэанного в примечании 5. Чаплыгин дает общую теорию и решает различные задачи, свяваиные с рассматриваемой им струей.
Рисунок 137 в нашей квиге построен по давным Фергюсона и Лайтхилла [Р е г 8 в з о и В. Р., Ь 1 8 Ь 1 Ь ! 11 М. 1., ТЬе ЬойойгарЬ !гапз(отша!!оп !и !гаызошс Поч. 1Ч. ТаЫез, Реве. Вву. Вве., А, 192 (1947), 135 — 142]. Если бы мы, однако, воспользовались данными Чаплыгина, то этот график измеиился бы весьма иезначителько. 55. Для ориентировки см. Раздел, написакиый Ферри в книге [31], стр. 700'и далее. См.
также статью Франкля [Ф р а н к л ь Ф. И., Истечение сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими степками, Дакл. АН СССР, 58 (1947), 381 — 384], статью Пака [Р а с 1с В. С., Ов !Ье 1огша!!оп о1 зЬосй мачез ш зэрегзошс йаз !е!з, Оиагп в. Меей. апй Арр!.
Магд., 1 (1948), 1 — 17] и работу Биркгофа и Царавтоиелло [В ! г Ь Ь о 11 О., 2 а г а и ! о в е 1- 1 о Е. Н., уе(з, ма1гез апй сач1!!еа, Нем Чог)г, 1957] *). ГЛАВА Ч й 21 1. См. работу Лайтхилла [Ь ! 8 Ь ! Ь ! 1 1 М. 1.,ТЬе ЬойодгарЬ !гапз1огша!1оп ш !гавззошс Пов. Ш. Р1ом агоппй а Ьойу, Реве. Вау. Вве., А, 191 (1947), 352 — 369] и написанный им равдел книги [24], гл. ЧП, $4, 5, 7, 10. «) Относительно решения задач о газовых струях см. также работы Фрапкля [Ф р а и к л ь Ф.
И., О вадачах Коши для уравнений смешанного аллиптико-гиперболического типа с начальными условиями на переходной линии, Нев. АН СССР, сер. матем., 8 (1944), 195; О задачах Чаплыгина для смешаивых до- и сверхввуковых течений, там же, 9 (1945), 121 — 143].— Нрик. перев. 552 Примечания и дополнения Описание свойств гипергеометрической функции можно найти в литературе, укааанной в примечании ГЧ.42, и, в частности, в работе Лайтхилла .(см.
примечание 1Ч.50). Теории Чаплыгина — Черри — Лайтхилла наложена также в работе Пака [Р а с Ь В. С., НойойтарЬ ше!Ьойз !в баз йулаш!сч, 1лз!. 1ог р!в!й Вуваш1сз авй Арр!. Ма!Ь., Пл!т. о1 Магу!алй, Веры 17, 1951/52]. 2. Преобрааовывая далее зту формулу для Т, получаем к+1 Ме Т=— (1 — Мз) 'е Для функции У, входящей в формулу (7), мы имеем у=(1 — М') — Ое(1+" — 'М ) 2 Уравнение для потенциала ер, которое соответствует уравнению (6), запишется следующим образом: дерр де1е д~р — + — +Т= — 0; дее д6з де уравнение для уо (уо=уу), которое соответствует уравнению (8), будет дефо дзич + +Рфч доз д6е где Р= — [16 — 4 (3 — 2х) Ме+(3 — х) Ме].
х+1 Ме 16 (1 Ме)э Эти формулы заимствованы из работы Бергмана, указанной в примечавии 1Ч.44, стр. 465. 3. Множитель !(п,т1)=е пе',соответствует нашей цели. Лайтхилл в своей работе (см. примечание 1), а также в написанном нм разделе книги [24], стр. 250, характеризует свойства, которыми должен обладать такой нормнрующий множитель !(и, те) в случае течении с циркуляцией, когда множитель е шг оказывается неподходящим [см. уравнение (81) в книге [24Ц. Мы не рассматриваем течения с циркуляцией. Доказательство справедливости соотношении (10) можно найти в работе Лайтхилла, указанной в примечании ГЧ.50. 4. Мы излагаем работу Гольдштейна, Лайтхилла и Крагса [О о ! йз ! е ! и] 8., 1:.! 8 Ь ! Ь 1 !]!] М .
!., С г а 8 8 з Х. %н Ов !Ье ЬойобгарЬ !гавз1опваИоп !ог Ь!8Ь-зреей [Пои. 1. А Почт иВЬовз с1гсо!ат!ов, Оиатг. Х. Моей апй Арр!. Ма!А., 1 (1948), 344 — 357]. 5. См. работу Барнса [В а,'г и е з Е. %'., А вето йете!оршев! о1 !Ье !Ьеогу о1 !Ье Ьурегйеогве!Нс 1впс!!ов, Ртое. Хопйоп Ма!й. бое., Зег. 2, 6 (1908), 141 — 177], а также 1 14.5, 14.51 книги Уиттекера и Ватсона [8], где также исследуютсн свойства используемой здесь гамма-функции. 6. Полюсы функции фп(ъ)(фя(т,) расположены в точках з (т=2, 3, ...), та<ем< (тл 1) где тче (тг)=0; соответствующие выражения для выче- еоч Глава тов оказываются весьма сложными: См.
приложение в работе Лайтхилла, указанной в примечавии 1. 7. См. работу Лайтхилла, укаааюгую в првмечании'1. Тому же вопросу посвящена работа Цянь Сюз-сеня и Го Юн-гуая (см. примечание.!Ч.ЗО), которая в некоторых отвошенинх является недостаточно точной (см. критику Лайтхилла в приложении к его работе). Ревультаты, полученные в этой работе, изложены в написанном Го Юн-гуаем разделе книги [31]. 8. См. работу Лайтхилла, укааанную в примечании 1, стр.
366. 9. См. работы Бергмана [В е г6ш а в Б., 2аг ТЬеог!е йег Рвлйс!онов, й1е еше 1!веаге рагС1еПе Б!Пегевс!а[6!е!сЬш6 Ье!г!ей!Бев. 1, Бее. таей. А/ем аее., 2(44) (1937), 1169 — 1198; В е г 6 ш а в Я.„ТЬе арргох!шайол о1 Ьшсс!овз зас!з]у!пй а !!веаг рагПа! СИПегевПа1 ейваПов, Ри/се Маей. у., 6 (1940), 537 — 561], а также его статью [В е г6 ш ал Я., ОрегаСогевшеСЬойев !в йег Оазйупашйс, 2.
аауеш. Масл. иад Меей., 32 (1952), 33 — 45; русский перевод.' Б е р г м а н С., Операторные методы в газовой динамике, сб. Мелаиииа, № 6 (1952), 69 — 84], которая содержит достаточно полный список литературы, и работу [В е г 6 ш а и Б., Хем шеСЬойз 1ог зо1чшй Ьоввйагу ча[ве ргоЫешз, Е. аллею. Масл. илй Меей., 36 (1956); 182 — 191]. Эта теория наложена также в книге Бергмана и Шиффера [!]. 10. Трудно получить доказательство непрерывности отображения профиля Р, на Р.
Однако для достаточно малых скоростей и достаточно гладкого профиля Р, может быть дана оценка для максимума отклонения. Кроме того, в некоторых случаях можно доказать, что контур М является аамкнутым для замкнутого Р, (см. книгу Бергмана и Шиффера [1], стр. 151 — 152). 11. Для Р как функции Х мы получаам Р=)С-»[ос+а ( — )») /»+а,( )») /»+ .], се=, а,=О. »в Мы добавим следующее (см. книгу Бергмаьз и Шиффера [1], стр. 146 в далее): уравнение (8) с функцией Р, определяемой формулой (26), умноженной на некоторый параметр, не имеет собственных значений, так что епервая краевая аадача» для этого уравнения имеет решение.
12. В атом и следующем пунктах мы в общих чертах следуем изложению, данному в первой части работы Миаеса и Шиффера [М 1 з е з Б., Я с Ь ! 1- ! е г М., Ов Вегйшав'з !лсейгаС!ол шеСЬой !и Ссчо СПшелзюва! сошргеез!Ые Поч, Айчалсез !и арр!1ей шесЬал(сз, ч. 1, 1948, р. 249 — 285; русский перевод: М и з е с Р., Ш и ф ф е р М., О методе Бергмана интегрирования уравнений плоского движения сжимаемой жидкости, сб.
Проблемы механики, Издатинлит, 1955, стр. 489 — 518]. Большинство результатов, содержащихся в этой работе, было опубликовано Бергманом [В е г 8 ш а и Б., А (оппн!а !ог сЬе есгеаш !васс!оп о1 сегса1в Посте, Ртае. А/ас. Аеай. Бес. (/.Б.А., 29 (1943), 276 — 281], после того как ови были представлены в его лекциях (В е г 6- ш а л Б., ТЬе ЬойойгарЬ шеСЬой !л СЬе сЬеогу о! сошргезюЫе Пшйз, дополнение к лекциям Миаеса и Фридрихса [25]). Таблицы для функций Са(Х), входящих в выражение (27) для политропического течения (к=у=1,405), были даны Бергманом и Эпштейном 554 Примечания и дополнения (В е г йш а и Э., Е р э ! е1 в В., Ве!епшва!!ов о1 а сошргелз!Ые Пшй Почс раз! ав о гаМЬарей оЬз!ас1е, в. Звагй. апд Рйув., 6 (1947), 195 — 222).
13. Использоваыие перемеыиого Я=Л вЂ” !О вместо перемеыыого Бергмана с=Х+00 было предложено Ладфордом, который многое сделал для того, чтобы изложить описанный в этой кыиге метод Бергмана ыаиболее просто. Это переменное Я позволяет ыам восстановить фуыкцию тока фо(д, 0) течения ыесжимаемой жидкости по фуыкции тока ф(д, 0) течеыия сжимаемой жидкости, как это делается в соотношении (39). Это ые предприыималось в работах Бергмана, где осиовыое виимаиие уделялось ыреобразоваыию (36). Одиако в кашей трактовке аадачи такое восстаыовлеыие является важвым. Следует помнить, что ыужыо различать два раэвых перехода к пределу.
1) д фиксировано, д меняется, т. е. мы рассматриваем одну и ту же скорость для переменной степени сжимаемости. При воврастаиии дт жидкость становится все менее и менее сжимаемой. Тогда при дт - сю будет: д! — ч со, М- ч0, ч- в0, Х вЂ” + — со, Л 1в 7. 2) дт фиксировано, д меняется от дт до нуля или от щ до нуля, если мы рассматриваем дозвуковое течеыие. Это — более обычное рассмотреыие картины течения при некоторой фиксировапиой степени сжимаемости. Тогда при д -в 0 будет: д! = дт('г' 6, М н О, т — О, Х вЂ” ь — со, Л= Х+(о+ !в дт) л — оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
